Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu sijoituksen avulla

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.

Keksin tämän ratkaisumetodin päästäni, enkä ole sitä mistään löytänyt. Onko se ylipäätään edes pätevä ja voiko sitä käyttää esim. yo-kokeessa? Toki useimmat trigonometriset yhtälöt ratkeavat helpomminkin, mutta huomasin tuon menetelmän joissain tilanteissa käteväksi.

Sivut

Kommentit (46)

Vierailija

Alkuoletuksesi on siis, että

f(a) = b
g(a) = c
j(h(f(a)), h(g(a))) = n

Oletko miettinyt, vaikuttaako funktioiden f ja g jaksollisuus ylläoleviin oletuksiin mitenkään?

Jos pystyt todistamaan alkuoletuksesi paikkansapitäviksi, voit olettaa, että myös j(h(b), h(c)) = n.

Vierailija
ville-v
Alkuoletuksesi on siis, että

f(a) = b
g(a) = c
j(h(f(a)), h(g(a))) = n

Oletko miettinyt, vaikuttaako funktioiden f ja g jaksollisuus ylläoleviin oletuksiin mitenkään?

Jos pystyt todistamaan alkuoletuksesi paikkansapitäviksi, voit olettaa, että myös j(h(b), h(c)) = n.




Öö, nyt vetää vähän yli (olen siis lukiolainen). Olen miettinyt jaksollisuutta, mutta kun lopulta saadaan vaikkapa v:n arvo selville, saadaan lopullinen vastaus alkuperäisistä yhtälöistä, joten jaksollisuus säilyy (eiku tä?! ).

Voidaanhan yhtälö e^2x+e^x=3e ratkaista oppikirjojen mukaan sijoittamalla vaikkapa y=e^x ja silleen (onhan e^x :kin funktio (eikös se ole vieläpä transkendentaali (tai joku), kuten ovat nuo trigonometrisetkin funktiot), joten luulisi sen pätevän yleisestikin).

Eli valistakaapa tietämätöntä lisää, tahtoo nimittäin tietää.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.


Sijoittamalla heti (cosx)^2 = 1-(sinx)^2 saa toisen asteen yhtälön sinille, eikä yo. kiertotietä tarvitse käyttää.

Vierailija
JAM
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.


Sijoittamalla heti (cosx)^2 = 1-(sinx)^2 saa toisen asteen yhtälön sinille, eikä yo. kiertotietä tarvitse käyttää.



Olen tietoinen tuosta, mitenkäs saatu yhtälö muuten ratkaistaan (sijoittamalla sain vastauksen, mutta onko muita tapoja?).

Kysymys onkin nyt lähinnä siitä, onko tuo esittämäni sijoitusmenetelmä validi, ts. voiko sitä käyttää, jos haluaa saada aina oikeita vastauksia (alun yhtälö on siis käytännössä ihan "random-periaatteella" valittu.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.

Keksin tämän ratkaisumetodin päästäni, enkä ole sitä mistään löytänyt. Onko se ylipäätään edes pätevä ja voiko sitä käyttää esim. yo-kokeessa? Toki useimmat trigonometriset yhtälöt ratkeavat helpomminkin, mutta huomasin tuon menetelmän joissain tilanteissa käteväksi.




En minä näe tuossa mitään sellaista joka olisi väärin. Tuossa pitää sitten kuitenkin olla tarkkana että pitää lukua siitä että saadut ratkaisut ovat sopusoinnussa alkuperäisten yhtälöiden kanssa. Samaan tapaan kuin siinäkin että yhtälöstä u^4+u^2=1 saadaan toisen asteen yhtälö u²:lle. Siitä tulee kaksi ratkaisua, mutta vain toinen on sopusoinnussa sen kanssa että u² täytyy olla positiivinen, koska u on reaalinen jne.

Sitten vasta pitää ottaa jaksollisuus huomioon yhtälön lopullisia ratkaisuja x:lle haettaessa, kun cosx:lle ja sinx:lle ollaan saatu ratkaisut.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.

Keksin tämän ratkaisumetodin päästäni, enkä ole sitä mistään löytänyt. Onko se ylipäätään edes pätevä ja voiko sitä käyttää esim. yo-kokeessa? Toki useimmat trigonometriset yhtälöt ratkeavat helpomminkin, mutta huomasin tuon menetelmän joissain tilanteissa käteväksi.




En minä näe tuossa mitään sellaista joka olisi väärin. Tuossa pitää sitten kuitenkin olla tarkkana että pitää lukua siitä että saadut ratkaisut ovat sopusoinnussa alkuperäisten yhtälöiden kanssa. Samaan tapaan kuin siinäkin että yhtälöstä u^4+u^2=1 saadaan toisen asteen yhtälö u²:lle. Siitä tulee kaksi ratkaisua, mutta vain toinen on sopusoinnussa sen kanssa että u² täytyy olla positiivinen, koska u on reaalinen jne.

Sitten vasta pitää ottaa jaksollisuus huomioon yhtälön lopullisia ratkaisuja x:lle haettaessa, kun cosx:lle ja sinx:lle ollaan saatu ratkaisut.




Joo nuo määrittelyt täytyy tosiaan aina muistaa. Kiva että joskus menee nää laskut edes sinne päin .

Mutta siis jos tuon alkuperäisen yhtälön muokkaa muotoon:
1-(sinx)^2-sinx=0
(sinx)^2+sinx=1
Onko tällöin muuta mahdollisuutta edetä, kuin sijoittaa sinx=y, jolloin saadaan:
y^2+Y-1=0 jne...

Vierailija
Cosinivalas
Mutta siis jos tuon alkuperäisen yhtälön muokkaa muotoon:
1-(sinx)^2-sinx=0
(sinx)^2+sinx=1
Onko tällöin muuta mahdollisuutta edetä, kuin sijoittaa sinx=y, jolloin saadaan:
y^2+Y-1=0 jne...
Eipä ole. Laskin huvikseni ehdottamallasi menetelmällä, joka näyttää tässä tilanteessa toimivan:
(cosx)² - sinx = 0;

Oletetaan, että on olemassa sellaiset muuttujat u ja v, joilla
u = cosx, u välillä [0, 1]
v = sinx, v välillä [0, 1]

u² - v = 0 => v = u²

Koska (cosx)² + (sinx)² = 1 (lähde: taulukkokirja), pätee alkuoletuksen ollessa voimassa myös eo. muuttujille yhtälö u² + v² = 1
Sijoitetaan v = u²

u² + u^4 = 1
(u²)² + u² - 1 = 0
Sijoitetaan t = u², t välillä [0, 1]

t² + t - 1 = 0

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava (lähde: taulukkokirja):

t = (-1 + sqrt(1 + 4))/2 = (sqrt(5) - 1)/2, on välillä [0, 1], käy
tai
t = (-1 - sqrt(1 + 4))/2 = (-1 - sqrt(5))/2 < 0, ei käy

t = u² = (sqrt(5) - 1)/2
u = +-sqrt((sqrt(5) - 1)/2)
Määrittelyjoukon takia u = sqrt((sqrt(5) - 1)/2)
Jolloin v = u² = (sqrt(5) - 1)/2

Em. sijoituksiin viitaten pätee siis alkuperäisessä yhtälössä
cosx = sqrt((sqrt(5) - 1)/2) => (cosx)² = (sqrt(5) - 1)/2
ja
sinx = (sqrt(5) - 1)/2

Määritetään funktioiden arvoille mahdolliset x:n arvot, kun funktiden tulos tiedetään.

x = ... + 2n*pii tai x = ... + 2n*pii tai x = ... + 2n*pii tai x = ... + 2n*pii, kun n on muuttuja joka kuuluu kokonaislukujen joukkoon.

Näistä neljästä arvosta huomioidaan todennäköisesti vain 2.




Kuten näkyy, näin tulee paljon enemmän turhaa laskettavaa ja kohtia, joissa on helppo tehdä virhe esimerkiksi unohtamalla määrittelyjoukko. Saatoin tehdä jossakin virheen tai sitten en.

Vierailija

Juu, on tuo yleensä suhteellisen työläs tapa, olen siitä erittäin tietoinen, mutta joissain tapauksissa en vain ole keksinyt parempaakaan tapaa.

Alkuperäinen ongelma taisi olla juuri tuon yhtälön taustalla sellainen, että oli määrättävä kulmat, joiden kosini ja tangentti ovat yhtä suuret. Likimääräistä vastausta haettiin ja kaksi vastausta siitä muistaakseni tuli. Miten "oikea matemaatikko" ratkaisisi muuten tuon ongelman?

Vierailija
Cosinivalas
Alkuperäinen ongelma taisi olla juuri tuon yhtälön taustalla sellainen, että oli määrättävä kulmat, joiden kosini ja tangentti ovat yhtä suuret. Likimääräistä vastausta haettiin ja kaksi vastausta siitä muistaakseni tuli. Miten "oikea matemaatikko" ratkaisisi muuten tuon ongelman?



cos x = tan x ,sijoitetaan tan x = (sin x)/cos x, jolloin saadaan pienen pyörittelyn kautta (cosx)^2-sinx=0. Sijoitetaan (cos x)^2 = 1- (sin x)^2 ja ratkaistaan ratkaisukaavalla. Periaatteessahan ratkaisuja on ääretön määrä jaksollisuudesta johtuen, mutta ilmeisesti haetaan niitä, jotka ovat välillä 0 <= x < 2Pii.

Vierailija
Cosinivalas
JAM
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.


Sijoittamalla heti (cosx)^2 = 1-(sinx)^2 saa toisen asteen yhtälön sinille, eikä yo. kiertotietä tarvitse käyttää.



Olen tietoinen tuosta, mitenkäs saatu yhtälö muuten ratkaistaan (sijoittamalla sain vastauksen, mutta onko muita tapoja?).

Kysymys onkin nyt lähinnä siitä, onko tuo esittämäni sijoitusmenetelmä validi, ts. voiko sitä käyttää, jos haluaa saada aina oikeita vastauksia (alun yhtälö on siis käytännössä ihan "random-periaatteella" valittu.




Varmaan kannattaa ottaa tangentti esiin?
Cos^2(x)=Sin x
Cos x=Sin x/Cos x
Cos x=Tan x

Tosta se varmaan ratkijaa, mutten muista miten...

Milla kulmalla on tangentti sama kuin kosini? Siis kulmakerroin sama, kuin viereisen suhde hypotenuusaan?
X2=Y2/X2
X2^2=Y2
X=Y^(1/2)
x^2+Y^2=1
Y+Y^2=1
Y^2+Y-1=0
Y=(-1+-(1-4*(-1)))/2
Y=(-1+-sqrt(5))/2

Sitten vain ascsin ja vastaus on siinä...

Vierailija
cos x = tan x ,sijoitetaan tan x = (sin x)/cos x, jolloin saadaan pienen pyörittelyn kautta (cosx)^2-sinx=0. Sijoitetaan (cos x)^2 = 1- (sin x)^2 ja ratkaistaan ratkaisukaavalla. Periaatteessahan ratkaisuja on ääretön määrä jaksollisuudesta johtuen, mutta ilmeisesti haetaan niitä, jotka ovat välillä 0 <= x < 2Pii.



Joo tietenkin niitä on ääretön määrä, mutta siis kaksi "perusratkaisua". Onko se ratkaisukaava toisen asteen yhtälön ratkaisukaava (ja näinollen vaaditaan jonkinlainen sijoitus) vai joku ihan muu?

Vierailija
Cosinivalas
Joo tietenkin niitä on ääretön määrä, mutta siis kaksi "perusratkaisua". Onko se ratkaisukaava toisen asteen yhtälön ratkaisukaava (ja näinollen vaaditaan jonkinlainen sijoitus) vai joku ihan muu?



Juu, ratkaisukaavalla mennään. Sijoituksen voi tietysti tehdä, mutta ei se (mielestäni) ole välttämätöntä. Kirjoittaa vain, että "Ratkaisukaavalla sin x = ...". Sijoitus on vain (lähes) idioottivarma vakuutus siitä, että kaikki menee oikein.

Vierailija

Siis se X2 oli cos(x) ja Y2=sin(x)
ja tietenkin se on +- eli voi olla peräti neljä ratkaisua...

EDIT: Korjaan, sehän heti perään koroitettiin toiseen, joten etumerkki häviää plussaksi takas...

Ja se toinen vastaus oli yli -1 joten ei kai käy, ellei se ole sitten sen seuraavan kierroksen arvoja?

Sin x=0,618033988
x=38,17270762 astetta + N*pii
Nolla siitä tulee varmasti, kokeilin laskinta, ja oikein män...

Vierailija

Haluatteko oikein visaisen trigonometrisen ongelman?

Eli: Vuohi on narussa kiinni jonka säde on 5 metriä...
V=5m, voi olla tietysti mitä tahansa...

Lammas on myöskin narussa 12 metrin päässä siitä tolpan keskeltä...
Sen lieka on 7,5 metriä...
Sitten, ne venyttävät naruaan, ja pääsevät syömään toisen alueelta... Kuinka suuren alan ne syövät ruohoa toisen alueelta...

Kulma pitäisi saada selville tietysti molemmista ympyröistä, sillä se ratkijaa!

Voin autta jos ei heti ratkija...

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
Cosinivalas
Onko mahdollista ratkaista vaikkapa yhtälö (cosx)^2-sinx=0 sijoittamalla cosx=u ja sinx=v, josta sitten muodostetaan yhtälöpari (koska tiedetään, että v^2+u^2=1):

u^2-v=0
v^2+u^2=1

eli v=u^2, josta sijoitetaan, saadaan u^4+u^2=1, joka on bikvadraattinen (tai joku) ja täten ratkaistavissa.

Keksin tämän ratkaisumetodin päästäni, enkä ole sitä mistään löytänyt. Onko se ylipäätään edes pätevä ja voiko sitä käyttää esim. yo-kokeessa?


Kyseessä on toisen asteen yhtälöpari, jolla on 0-4 reaalista ratkaisua. Yhtälöpari voidaan ratkaista kuten yllä ratkaisemalla v 1. yhtälöstä tai sitten niin, että ratkaistaan ensin u (u^2) 2. yhtälöstä. Molemmat ovat oikeita yhtälöparin ratkaisutapoja.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat