Kolmannen asteen ratkaisuyhtälöstä...

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kolmannen asteen yhtälö:

x^3+a*x^2+b*x+c=0

Mitä tapahtuu jos sijoitetaan:
x=a+d ja x=b+e?

Sijoittakaapa ja ratkaiskaa x^3:nnen suhteen!
Samaistakaa neljällä eri tavalla saadut yhdistelmät x:sistä!

Edelleen, jos ratkaistaan:
a=-x1-x2-x3
b=x1*x2+x1*x3+x2*x3
c=-x1*x2*x3=x1*x2*(a+x1+x2)...

x1=Re+Im ja x2=Re-Im
Imaginäärisiä juuriakin tuosta saa...

Äkkikseltään laskin ja sain d:ksi
d=(2*a*b-2*a^2)/(2*a)+-
((-2*a*b+2*a^2)^2-4*a*(a^3-a*b^2-2*a^2*b))^(1/2)/(2*a)

Mystistä on, ettei tuossa näy ollenkaan termiä c?
Luultavasti tossa on joku virhe, eikä a:ta ole vielä supistettu kaikista termeistä...

Mutta kax juurista on varmaan AINA toi, jos sillä on reaalisia juuria...

Ja voihan sen sijoittaa x^3=-(a^3+2*a^2*d+a*b+b*d+c) yhälöön!
Tossa on sijoitettu siis x=a+d...
Kuka jaksaa tehä?
Jos a termi on nolla, niin jotain onnistunee?

Olenko ihan ulalla vai onko tämä totta?

EDIT:
Sangen pienellä vaivalla sen c:nkin sinne saa...
Mutta jätän teille loppupähkäilyn, oon itte sen jo ratkaissut...
Tai kohta...

Pistetään toiselle puolen x^3-c ja toiselle puolen tuo ratkaisuyhtälö, jossa SAATTAA olla virhe...
a-ainakin supistuu pois, monesta kohden...

Sivut

Kommentit (27)

Vierailija

http://solmu.math.helsinki.fi/2000/2/saksman/

Lue toi niin ymmärrät ehkä vähän enemmän. Ite en jaksanut.
Sieltä löyty näköjään tollanen pieni harjoitustehtävä minkä ratkaisit, mutta et laittanut sitä liian pienin välivaihein ainakaan tänne esiin, jotta olisin vakuuttunut.

HARJ. 2. Olkoot luvut x1,x2,x3 yhtälön x3+rx2+px+q=0 juuret. Osoita, että r=-(x1+x2+x3), p= x1x2+x2x3+x3x1 ja q=-x1x2x3.Muodosta kolmannen asteen yhtälö, jonka juurina ovat luvut -3, 2 ja 7.

Eli joko olet yrittänyt keksiä pyörää uudelleen tai sitten olet lukenut esim. tuon artikkelin ja yrität päteä. En tiedä kumpi on pahempi vaihtoehto.

Vierailija
suolaasuolaa
http://solmu.math.helsinki.fi/2000/2/saksman/

Lue toi niin ymmärrät ehkä vähän enemmän. Ite en jaksanut.
Sieltä löyty näköjään tollanen pieni harjoitustehtävä minkä ratkaisit, mutta et laittanut sitä liian pienin välivaihein ainakaan tänne esiin, jotta olisin vakuuttunut.

HARJ. 2. Olkoot luvut x1,x2,x3 yhtälön x3+rx2+px+q=0 juuret. Osoita, että r=-(x1+x2+x3), p= x1x2+x2x3+x3x1 ja q=-x1x2x3.Muodosta kolmannen asteen yhtälö, jonka juurina ovat luvut -3, 2 ja 7.

Eli joko olet yrittänyt keksiä pyörää uudelleen tai sitten olet lukenut esim. tuon artikkelin ja yrität päteä. En tiedä kumpi on pahempi vaihtoehto.




En oo vielä lukenut artikkelia, mutta kiitos nyt kuitenkin...
Kohta varmaan luen...
Eli olen yrittänyt keksiä pyörää uudelleen... Mutta PAREMPI(ei pahempi) vaihtoehto on, jos pyörästä tulee entistä ehompi?

Vierailija

No ei sitten muuta kuin onnea. Voi olla aika vaikea tehtävä. Kai olet kuitenkin koko ajan huomioinut sen, että sinun kolmannen asteen yhtälö ei ole yleisessä muodossa vaan vain joukko erikoistapauksia?

Vierailija

En ymmärrä, mix tossa artikkelissa on haluttu a-kertoimesta eroon?

Mutta nyt se ratkaisu:
x=a+d
x=b+e
Nämä voivat tarkoittaa samaa lukua, eivä ole eri juuri...

x^3=-a*x^2-b*x-c

sijoitetaan ensin pelkkää x=a+d:tä
x^3=-(a*(a+d)^2+b*(a+d)+c)
x^3=-a^3 - 2*a^2*d - a*d^2 - a*b - b*d - c
Sijoitetaan x=a+d ekaan, ja tokaan x=b+e
x^3=-a^3 - 2*a^2 - a*d^2 - b^2 - b*e - c
Sitten x=b+e molempiin x:n potensseihin:
x^3=-a*b^2 - 2*a*e*b - e^2*a - b^2 - b*e - c
Sitten x=b+e ja x=a+d
x^3=-a*b^2 - 2*a*e*b - e^2*a - a*b - b*d - c
Samaistetaan yhtälöt:
=>b^2+b*e=a*b+b*d
=>e=a-b+d

Sitten se 2. asteen termi:
a^3+2*a^2*d+a*d^2=a*b^2+2*a*b*e+e^2*a
=>...= a*b^2+2*a*b*?*(a-b+d)+?*(a-b+d)^2*a
=>...= a*b^2 + 2*a^2*b - 2*a*b^2 + 2*a*b*d+
... +(a-b)^2*a + 2*a*(a-b)*d + a*d^2
=>...=a*b^2 + 2*a^2*b - 2*a*b^2 + 2*a*b*d+
... a^3 - 2*a^2*b -2 + a*b^2 + 2*a^2*d - 2*a*b*d + a*d^2

0=0

Emme tulleet hullua hurskaammax!

Vierailija

Olleellista tossa edellisessä ratkaisussa olikin se, että ei saada mitään aikaan, lisäämällä termeihin a ja b...

Mutta se kolmannen asteen termi tarkoittaa, että yx noista x:istä säilyy!

x^2*(a+d)=-a*(a+d)^2-b*(a+d)-c
x^2=-(a*(a+d)+b+c/(a+d))
x^2=-(a^2+a*d-b+c/(a+d))

Samoin sekoitetaan pareja x=a+d ja x=b+e

Noin se ratkijaa luulisin, koska saadaan c:kin mukaan...

Vierailija

Oliko sun tehtävänä nyt siis kehittää kolmannen asteen yhtälölle yleinen ratkaisukaava, joka on jotenkin selkeesti parempi kuin tuo linkissä oleva? Jos on, miksi et tarkastele yhtälöä

a*x^3+b*x^2+c*x+d=0,

vaan

x^3+a*x^2+b*x+c=0?

Mitä noihin sun raapustuksiin tulee niin en usko, että kukaan niitä jaksaa lukea ja tarkistaa.

Vierailija

Sain seuraavanlaisen muodon:

b/c=((a+d)^2-(b+e)^2)/((b+e)-(a+d))

Eli (b/c)=(xa^2-xb^2)/(xb-xa)

x=a+d=b+e=c+f

Yhtä hyvin voitaisiin pistää:
b/c=((b+e)^2-(c+f)^2)/((c+f)-(b+e))

(b/c)+-i*2*xa*xb/(xb-xa)=xa-xb

Mutta ongelma on edelleen, että ei tiedetä d,e ja f:ää...

Vierailija
suolaasuolaa
Oliko sun tehtävänä nyt siis kehittää kolmannen asteen yhtälölle yleinen ratkaisukaava, joka on jotenkin selkeesti parempi kuin tuo linkissä oleva? Jos on, miksi et tarkastele yhtälöä

a*x^3+b*x^2+c*x+d=0,

vaan

x^3+a*x^2+b*x+c=0?

Mitä noihin sun raapustuksiin tulee niin en usko, että kukaan niitä jaksaa lukea ja tarkistaa.




No toihan ei oleellisesti eroa, koska yhtälön voi kertoa tai jakaa jollakin luvulla...

Mutta sellaista on olla vähäuskoinen, tai ainakin kielellisesti... Mutta eihän pitänytkään rakastaa sanoin ja puheessa vaan teoin ja totuudessa...

Vierailija
Agison
No toihan ei oleellisesti eroa, koska yhtälön voi kertoa tai jakaa jollakin luvulla...
Eli kuten toisenkin asteen tapauksessa x^2+a*x+b=0 x=-b sqrt(b^2-4c) : 2 saadaan se yleiseen muotoon täysin kivuttomasti? Voi olla, mutta en mä sitä ilman todistusta niele.

Agison
Mutta sellaista on olla vähäuskoinen, tai ainakin kielellisesti... Mutta eihän pitänytkään rakastaa sanoin ja puheessa vaan teoin ja totuudessa...
Tätä en käsitä, mutta ihan sama.

Vierailija
suolaasuolaa
Agison
No toihan ei oleellisesti eroa, koska yhtälön voi kertoa tai jakaa jollakin luvulla...
Eli kuten toisenkin asteen tapauksessa x^2+a*x+b=0 x=-b sqrt(b^2-4c) : 2 saadaan se yleiseen muotoon täysin kivuttomasti? Voi olla, mutta en mä sitä ilman todistusta niele.

Agison
Mutta sellaista on olla vähäuskoinen, tai ainakin kielellisesti... Mutta eihän pitänytkään rakastaa sanoin ja puheessa vaan teoin ja totuudessa...
Tätä en käsitä, mutta ihan sama.



Siis eikö nolla jaettuna millä tahansa luvulla paitsi nollalla ole nolla?

A*x^3+B*x^2+C*x+D=0 | /A
x^3+B/A*x^2+C/A+D/A=0

eli a=B/A ja b=C/A ja c=D/A

kylllä se noin menee, usko pois!

Jos siis on kyse jostakin kolmannen asteen yhtälöstä ei A voi olla nolla, joten: mot...

Vierailija

Hiukkasen ihmettelin tossa linkissä sitä aselta:

x^3+px+q=0
x=u+v
(u+v)^3+px+q=u^3+3*u*v^2+3*u^2*v+v^3+p(u+v)+q
=>= u^3+v^3+q+(3*u*v+p)*(u+v)

Miten tosta voi saada muodon, että
u^3+v^3+q=0 tai 3*u*v+p=0

Mix jompikumpi noista olisi nolla?

Ja se seuraava askelkin oli hämärä:
Se toisen asteen yhtälön otto!
(y-v^3)(y-u^3):n muodosta!

Vierailija
Agison
Hiukkasen ihmettelin tossa linkissä sitä aselta:

x^3+px+q=0
x=u+v
(u+v)^3=u^3+3*u*v^2+3*u^2*v+v^3+p(u+v)+q
=>= u^3+v^3+q+(3*u*v+p)*(u+v)

Miten tosta voi saada muodon, että
u^3+v^3+q=0 tai 3*u*v+p=0

Mix jompikumpi noista olisi nolla?

Ja se seuraava askelkin oli hämärä:
Se toisen asteen yhtälön otto!
(y-v^3)(y-u^3):n muodosta!




Kyseistä muotoa ei saada vaan se on vaatimus, jos halutaan
että yhtälö toteutuu.

Silloin v=-p/(3u) ja se sijoitetaan =>

u^3+(-p/(3u))^3+q=0 =>

u^6+qu^3-p/3=0 =>

u^3= (-q+-sqrt(q^2+4p/3))/2 = -q/2+-sqrt((q/2)^2+(p/3)^3)

ja siitä sitten u on kuutiojuuri tuosta. jne.....

Vierailija

Nyt se taisi ratketa, mutta en ole varma paljastanko OMAN ratkaisuni täällä...

"Älä tuhlaa työtäsi armottomalle, äläkä raadantasi tuloksia armottomalle, ettet päätyisi huokaamaan: "Miksi en kuunnellut vanhempieni ohjeita...""(mukaelma Salomon sananlaskuista)

Se perustui näihin:
a=-x1-x2-x3
b=-x1*x2-x1*x3-x2*x3
c=-x1*x2*x3

Noita kun aikansa pyörittää tulos tulee...

1,2,3 ovat x:n eri juuret...
Tarvitset myös sitä tietoa, että
x1=Re+Im
x2=Re-Im

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat