Vinkkejä kyseiseen geometrian tehtävään?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Elikkäs tehtävä kuuluu seuraavasti:

Astia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio. Kartion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana 11,0 cm. Astia on täynnä vettä. Astiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartion vaippaa. Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri.

Arkhimedeen(kö?) mukaan kappaleen syrjäyttämän veden tilavuus on sama kuin kappaleen tilavuus (uponneen osan), mutta en oikein keksi miten tätä tehtävää lähtisi ratkaisemaan.
Veikkaan, että ongelmana on oikean muuttujan valinta. Vihjeitä?

Sivut

Kommentit (40)

Vierailija

Kartio asettaa rajat, joiden sisällä pallon säde voi vaihdella. Derivoimalla selvitetään pallon tilavuusfunktion maksimiarvo.

Vierailija
ville-v
Kartio asettaa rajat, joiden sisällä pallon säde voi vaihdella. Derivoimalla selvitetään pallon tilavuusfunktion maksimiarvo.



Ratkaise aluksi vaikkapa kartion korkeus sinillä...
Kulman saat tuosta, ja sitten h cosinilla tai tangentilla...
TAI Pythagoraalla...(Sama tulos)

Sitten vain integroit ympyrän alaa, säteen funktiona, mutta suhteen, millä kartio suppenee saat kun ratkaiset R:n vaikkapa h:n funktiona tai päinvastoin...
Eli ei erikseen korkeutta ja R:ää vaan lopux on oltava yksi integroitava, R tai h...

Vierailija

Onpas vaikea tehtävä jos tää on tarkotettu koululaiselle.

edit. en oo piirtänyt kuvaa, mutta vaikuttaa siltä, että jos pallon säde on 6,6 niin pallo ei mahdu edes puoliksi kartioon. Millä pallon säteellä pallo mahtuu kokonaan kartioon? Tarkasteltava funktio pitäisi jakaa osiin tuosta kohtia. Sen vaikeamman puolen yhtälön keksiminen voi olla aika haastavaa. Samoin ei ihan heti tule mieleen kartion leikkauksen korkeuden suhteen ympyrän sädettä eli siis jos korkeus on 0 on r=6,6 ja jos korkeus on h on r=0, mutta miten se välissä oleva ratkeaa?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26870
Liittynyt16.3.2005

Tehtävä lienee lukion pitkästä matematiikasta. Tuossa on kaksi oleellista juttua, pyörähdyskappaleen (katkaistu pallo) tilavuuden laskeminen ja funktion ääriarvon etsiminen.

Tehtävässä lähdetään siitä, että oletetaan r-säteinen pallo, joka sivuaa kartion reunoja. Lasketaan, kuinka pitkältä matkalta pallo uppoaa lasiin, josta saadaan säteen funktiona tilavuus, jonka pallo syrjäyttää. Lopuksi lasketaan säde, jolla syrjäytetty tilavuus saavuttaa maksiminsa.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
Neutroni
Tuossa on kaksi oleellista juttua, pyörähdyskappaleen (katkaistu pallo) tilavuuden laskeminen ja funktion ääriarvon etsiminen.

Katkaistu pallo on toiselta nimeltään pallon segmentti. On siis haettava ääriarvo pallosegmentin tilavuudelle.

Vierailija

Niin siis vaikka intuitiivisesti ajateltuna eniten vettä syrjäyttää pallosegmentti, voi oikea vastaus olla toki pallokin. Eikö?

Vierailija
suolaasuolaa
Niin siis vaikka intuitiivisesti ajateltuna eniten vettä syrjäyttää pallosegmentti, voi oikea vastaus olla toki pallokin. Eikö?

Toki, hieman kartion mitoista riippuen. Pallonhan ei tehtävässä tarvitse kadota kartioon kokonaan, kunhan syrjäytetty vesimäärä on mahdollisimman suuri. Tekeekö työn pienempi pallo, joka katoaa kartion sisään, vai suurempi, joka jää suulle kiinni kuin jäätelöpallo tötterön päähän? En nyt jaksa ruveta laskemaan.

Vierailija

Itseasiassa mulla on sellanen mielikuva, että se olis sellanen pallo, joka menee öbaut 3/4 kartioon. Mutta se nyt vaan on tollanen heitto.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Tällainen tuli pikaisesti mieleen:

Tehtävänhän voi kääntää niinkin päin, että kasvattaa kartiota pitäen kartion kärjen ja pallon paikallaan. Silloin pitää tietysti maksimoida syrjäytetyn veden suhdetta koko kartion tilavuuteen. Kun tilannetta lähestyy näin, näyttäisi, että kartion kasvaessa pallon syrjäyttämän veden osuus kasvaa niin kauan kuin pallon ja kartion pohjan leikkaus on pinta-alaltaan suurempi kuin kartion pohjan pallon ulkopuolelle jäävä rengas.

We're all mad here.

Vierailija

Vihje, laskekaa kulma tai sivujen suhde sille janalle joka tarttuu palloon kiinni, kun se upotetaan kartioon...

Ne sen kai tajusittekin, vain tämmöinen pieni "hint"...

Leikkauskappaleen tarkkailu auttaa asiaa...

Missä vaiheessa pallo tarttuu kartion reunoihin kiinni?

Eli missä vaiheessa kartion sivu on samansuuntainen kuin palloon piiretty tangentti tai derivaatta...

Vierailija

Pallon tilavuus ja myös kartion sisälle mahtuvan pallosegmentin tilavuus voidaan laskea pallon säteen avulla. Ovat verrannollisia säteen kolmanteen potenssiin. Kun lauseke derivoidaan, saadaan toisen asteen yhtälö josta säde on helppo ratkaista. Ei paha lukion matematiikan tehtäväksi.

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347
Liittynyt27.4.2008

Joo suhteellisen hankala lukion tehtäväksi. En muista, että olisi ollut itsellä ihan vastaavaa. Samalla apinoinnillahan se tuokin tietysti menee, jaksaisi vain kaivaa yhden vastaavan esille
Luultavasti oikea vastaus ei ole kokonainen pallo, näin mututuntumalla. Aluksihan pallo syrjäyttää vettä upotessaan kiihtyvällä tahdilla mutta melko vähän enää esimerkiksi, kun 3/4 palloa on uponnut. Onko jo vastauksia löytynyt?

Everything you know, is about to change.

Vierailija

Ellen väärin laskenut niin pallon säde on 4,48 cm eli yli puolet pallosta on upoksissa. Pallosta jää pinnan yläpuolelle 3,15 cm korkuinen segmentti.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26870
Liittynyt16.3.2005

Kyllä siitä tuo r=6,0 cm näyttäisi tulevan. Aika vääntö tuo on lukion laskurutiinille, mutta ei siinä mitään polynomin integrointia ja derivointia tai toisen asteen yhtälön ratkaisua korkeampaa matematiikkaa vastaan tullut. Huolellisuutta vain, niin lasku ratkeaa..

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat