Seuraa 
Viestejä45973

Elikkäs tehtävä kuuluu seuraavasti:

Astia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio. Kartion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana 11,0 cm. Astia on täynnä vettä. Astiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartion vaippaa. Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri.

Arkhimedeen(kö?) mukaan kappaleen syrjäyttämän veden tilavuus on sama kuin kappaleen tilavuus (uponneen osan), mutta en oikein keksi miten tätä tehtävää lähtisi ratkaisemaan.
Veikkaan, että ongelmana on oikean muuttujan valinta. Vihjeitä?

Sivut

Kommentit (40)

ville-v
Kartio asettaa rajat, joiden sisällä pallon säde voi vaihdella. Derivoimalla selvitetään pallon tilavuusfunktion maksimiarvo.



Ratkaise aluksi vaikkapa kartion korkeus sinillä...
Kulman saat tuosta, ja sitten h cosinilla tai tangentilla...
TAI Pythagoraalla...(Sama tulos)

Sitten vain integroit ympyrän alaa, säteen funktiona, mutta suhteen, millä kartio suppenee saat kun ratkaiset R:n vaikkapa h:n funktiona tai päinvastoin...
Eli ei erikseen korkeutta ja R:ää vaan lopux on oltava yksi integroitava, R tai h...

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Onpas vaikea tehtävä jos tää on tarkotettu koululaiselle.

edit. en oo piirtänyt kuvaa, mutta vaikuttaa siltä, että jos pallon säde on 6,6 niin pallo ei mahdu edes puoliksi kartioon. Millä pallon säteellä pallo mahtuu kokonaan kartioon? Tarkasteltava funktio pitäisi jakaa osiin tuosta kohtia. Sen vaikeamman puolen yhtälön keksiminen voi olla aika haastavaa. Samoin ei ihan heti tule mieleen kartion leikkauksen korkeuden suhteen ympyrän sädettä eli siis jos korkeus on 0 on r=6,6 ja jos korkeus on h on r=0, mutta miten se välissä oleva ratkeaa?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35916

Tehtävä lienee lukion pitkästä matematiikasta. Tuossa on kaksi oleellista juttua, pyörähdyskappaleen (katkaistu pallo) tilavuuden laskeminen ja funktion ääriarvon etsiminen.

Tehtävässä lähdetään siitä, että oletetaan r-säteinen pallo, joka sivuaa kartion reunoja. Lasketaan, kuinka pitkältä matkalta pallo uppoaa lasiin, josta saadaan säteen funktiona tilavuus, jonka pallo syrjäyttää. Lopuksi lasketaan säde, jolla syrjäytetty tilavuus saavuttaa maksiminsa.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Neutroni
Tuossa on kaksi oleellista juttua, pyörähdyskappaleen (katkaistu pallo) tilavuuden laskeminen ja funktion ääriarvon etsiminen.

Katkaistu pallo on toiselta nimeltään pallon segmentti. On siis haettava ääriarvo pallosegmentin tilavuudelle.

suolaasuolaa
Niin siis vaikka intuitiivisesti ajateltuna eniten vettä syrjäyttää pallosegmentti, voi oikea vastaus olla toki pallokin. Eikö?

Toki, hieman kartion mitoista riippuen. Pallonhan ei tehtävässä tarvitse kadota kartioon kokonaan, kunhan syrjäytetty vesimäärä on mahdollisimman suuri. Tekeekö työn pienempi pallo, joka katoaa kartion sisään, vai suurempi, joka jää suulle kiinni kuin jäätelöpallo tötterön päähän? En nyt jaksa ruveta laskemaan.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

Tällainen tuli pikaisesti mieleen:

Tehtävänhän voi kääntää niinkin päin, että kasvattaa kartiota pitäen kartion kärjen ja pallon paikallaan. Silloin pitää tietysti maksimoida syrjäytetyn veden suhdetta koko kartion tilavuuteen. Kun tilannetta lähestyy näin, näyttäisi, että kartion kasvaessa pallon syrjäyttämän veden osuus kasvaa niin kauan kuin pallon ja kartion pohjan leikkaus on pinta-alaltaan suurempi kuin kartion pohjan pallon ulkopuolelle jäävä rengas.

We're all mad here.

Vihje, laskekaa kulma tai sivujen suhde sille janalle joka tarttuu palloon kiinni, kun se upotetaan kartioon...

Ne sen kai tajusittekin, vain tämmöinen pieni "hint"...

Leikkauskappaleen tarkkailu auttaa asiaa...

Missä vaiheessa pallo tarttuu kartion reunoihin kiinni?

Eli missä vaiheessa kartion sivu on samansuuntainen kuin palloon piiretty tangentti tai derivaatta...

Pallon tilavuus ja myös kartion sisälle mahtuvan pallosegmentin tilavuus voidaan laskea pallon säteen avulla. Ovat verrannollisia säteen kolmanteen potenssiin. Kun lauseke derivoidaan, saadaan toisen asteen yhtälö josta säde on helppo ratkaista. Ei paha lukion matematiikan tehtäväksi.

Teekkari
Seuraa 
Viestejä2347

Joo suhteellisen hankala lukion tehtäväksi. En muista, että olisi ollut itsellä ihan vastaavaa. Samalla apinoinnillahan se tuokin tietysti menee, jaksaisi vain kaivaa yhden vastaavan esille
Luultavasti oikea vastaus ei ole kokonainen pallo, näin mututuntumalla. Aluksihan pallo syrjäyttää vettä upotessaan kiihtyvällä tahdilla mutta melko vähän enää esimerkiksi, kun 3/4 palloa on uponnut. Onko jo vastauksia löytynyt?

Everything you know, is about to change.

Ellen väärin laskenut niin pallon säde on 4,48 cm eli yli puolet pallosta on upoksissa. Pallosta jää pinnan yläpuolelle 3,15 cm korkuinen segmentti.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35916

Kyllä siitä tuo r=6,0 cm näyttäisi tulevan. Aika vääntö tuo on lukion laskurutiinille, mutta ei siinä mitään polynomin integrointia ja derivointia tai toisen asteen yhtälön ratkaisua korkeampaa matematiikkaa vastaan tullut. Huolellisuutta vain, niin lasku ratkeaa..

Tehtävä ei ole paha mutta haastava. Varsinkin mulle tuppaa laskuvirheitä solkenaan. Vasta noin viidennellä kerralla, erityisellä huolella ja tarkkaavaisuudella, sain oikean tuloksen eli r = 6 cm. Pallosta on siis alle puolet vedessä. Ratkaisuun tarvitaan derivoinnin ja toiseenasteen yhtälönratkaisun lisäksi Pythagoraa ja verrantoa yhdenmuotoisista kolmioista.

Tarkoitin lähinnä millä eväillä tehtävä ratkeaa. Tilavuuden kaavathan saa kirjasta, derivointi on helppo polynomin derivointi, toisenasteen yhtälö ei pitäisi olla paha. Ehkä se vaativin osuus on ongelmanratkaisutaito eli on osattava soveltaa useita opittuja asioita samaan tehtävään. Se edellyttää jonkinasteista kiinnostusta ongelmanratkaisuun.

Jaahas. Samalla tavalla vois kait miettiä, että eihän mikään matematiikka ole vaikeaa. Teoriat saa kirjoista. Vaatii vaan vähän kiinnostusta.

Omituinen johtopäätös. Taannoin ihmettelit verrannon tarpeellisuuta ja itseasiassa tämän tehtävän ratkaisu alkaa juuri verrantoa soveltamalla. Asia, joka opetetaan jo peruskoulussa. pitäisi hallita lukiossa.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat