Seuraa 
Viestejä45973

Selvänäkijällä on edessään viisi avainnippua ja viisi rannekelloa. Hän muodostaa niistä viisi paria. Randin mukaan yksi tai kaksi paria pitäisi kuulua oikeille ihmisille. Miten hän lasti tuon todennäköisyyden?

"Kaikki oikein" -tapahtuma on helppo laskea, mutta entäs 0 oikein – 4 oikein vaihtoehdot. Tapahtumat ovat erittäin riippuvaisia toisistaan, joten normaalista binomitodennäköisyydestä ei ole kyse. Hahmottelin eri vaihtoehtoja paperilla, mutta tilanne menee hyvin mutkikkaaksi erittäin nopeasti. Jokaisella valinnalla on vaikutus seuraavien asioiden todennäköisyyksiin. Eikö tätä voisi laskea jotenkin helpommin, kuin läpikäymällä jokaikinen skenaario?

Tässä on se ajatuksia herättänyt video - James Randi tests Psychometry

Sivut

Kommentit (62)

Jos valitset umpimähkään parin, ne kuuluvat yhteen todennäköisyydellä 1/5 eli 0,2. Todennäköisyydellä 0,8 ne eivät kuulu samalle henkilölle. Seuraavalla todennäköisyys, ettei kumpikaan ole oikea on 0,8*0,75. Kolmannen parin kohdalöla 0,8*0,75*0,667 = 0,4. Siis jo kolmen valinnan jälkeen on epätodennäköisempää ettei oikeaa paria ole valittu kuin että se olisi valittu. Todennäköisyys, ettei yhtään oikeaa paria tule valittua on alle 0,2. Todennäköisyys, että olen väärässä lienee kohtalainen.

Jospa sittenkin kahden parin jälkeen tod.näk. väärille valinnoille on 0,8*(1-0,8*1/4).
Kolmen parin jälkeen 0,8*(1-0,8*1/4)*(1-0,8²*1/3) = 0,503
4:n jälkeen 0,8*(1-0,8*1/4)*(1-0,8²*1/3)*(1-0,8³*1/2) = 0,375

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Jos Rand valitsee ensin avainnipun, ja sitten rannekellon ja muodostaa näistä parin niin:
ensimmäinen pari on väärä todennäköisyydellä 0,8
1. ja 2. pari ovat väärin todennäköisyydellä 0,8*0,8
jne
kaikki väärin todennäköisyydellä 0,8^5.

Eli siis jos ensimmäinen rannekello ei ole pari ensimmäisen avainnipun kanssa, se voi silti olla toisen avainnipun pari. Eli jokaiselle avainnipulle on 5 vaihtoehtoa, siitä huolimatta että valittavia rannekelloja ei välttämättä ole jäljellä näin montaa. Ei vain voida tietää onko vuorossa olevan avainnipun pari jo valittu vääränä jollekin toiselle avainnipulle.
Kiireellä vilkaisin korantin viestejä niin näytti, että hän ei ottanut tätä huomioon. Haukkukaa jos olen väärässä

Niin ja siis tästä voidaan laskea tapaukset 1-4 paria binomitodennäköisyyksinä.
esim 4 väärin:
(5nCr4)*0,8^4*0,2 = 0,410
3 väärin: (5nCr3)*0,8^3*0,2^2 = 0,205
2 väärin: (5nCr2)*0,8^2*0,2^3 = 0,051
1 väärin: (5ncr1)*0,8*0,2^4 = 0,0064

näyttäisi täsmäävän ainakin että kaikkien summa = 1
edit: siis kaikkien summa kun lisätään tapaukset 5 väärin ja 5 oikein

Tulipas taas kirjoiteltua mitä sattuu. Eihän tuo tosiaan mene noin kuten edellä esitin
Jos ensimmäinen pari on oikein, niin silloin tietysti seuraava pari on oikein todennäköisyydellä 1/4.
Noh, jättäkää huomioimatta tuo edellinen viesti.
Pidän toistaiseksi kantani tapauksessa kaikki parit väärin. Eiköhän seki kumoudu kohta
Nuo eri kombinaatiot saisi varmaan helpoiten laskettua muodostamalla jonkinnäköisen puurakenteen...

Kinkkinen tehtävä. Kokeilemalla eri vaihtoehtoja näyttää löytyvän 120 kpl, joista yhdessä on kaikki oikein eli todenäköisyys 1/120. Neljä oikein ei yhtään koska jos yksi pari on väärin on pakko olla toinenkin väärä pari.

Kaikki väärin 47 kpl. tod.näk. 47/120 = 0,392
1 oikein 44 kpl. 44/120 = 0,367
2 oikein 18 kpl. 18/120 = 0,15
3 oikein 10 kpl. 10/120 = 0,083
Voi olla virheitäkin muttei isoja. Todennäköisimmin siis ei yhtään paria oikein ja lähes samalla todennäköisyydelä 1 pari oikein. 2 paria oikein selvästi pienemmällä todennäköisyydellä. Tohon voi sitten kehitellä kaavoja.

No hyvä kun jaksoit nähä vaivaa, kyllä toi ihan järkevältä tuntuu.

Tetrafuran
Randin mukaan yksi tai kaksi paria pitäisi kuulua oikeille ihmisille. Miten hän lasti tuon todennäköisyyden?



Todennäköisyys että 1 tai 2 paria kuuluu muodostuvat oikein on vain reilu 0,5. En tiiä miks toi Randi sanoo et se on odotettu tulos ku esim. tulos 0 tai 1 tapahtuu kuitenkin melkein 78% todennäköisyydellä. Hyvät naurut muuten sai kun tuo nainen sai yhdistettyä vain yhden parin Nykyään ne sentään osaa vastaavissa ohjelmissa onnistua noissa ni saa huijattua heikkouskosempia.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
korant
Kaikki väärin 47 kpl. tod.näk. 47/120 = 0,392
1 oikein 44 kpl. 44/120 = 0,367
2 oikein 18 kpl. 18/120 = 0,15
3 oikein 10 kpl. 10/120 = 0,083
Voi olla virheitäkin muttei isoja. Todennäköisimmin siis ei yhtään paria oikein ja lähes samalla todennäköisyydelä 1 pari oikein. 2 paria oikein selvästi pienemmällä todennäköisyydellä. Tohon voi sitten kehitellä kaavoja.



Ei isoja virheitä. Kotisivullani on vastaava tehtävä. Viisi autoa ja viisi parkkipaikkaa.

http://jorma.luontonetti.com/ongelmia/9 ... paikat.htm

Varsinkin mulle virheitä pukkaa kun syynää 120 riviä läpi. Ehkä tohon kaavojakin voi kehitellä kun miettii rauhassa. Ainakin kokonaismäärä on 5!. Sitten nuo muut tapaukset voi laskea sen mukaan, miten satunnaisen järjestyksen vaihtoehdot sopivat siihen oikeaan järjestykseen.

Tetrafuran
Selvänäkijällä on edessään viisi avainnippua ja viisi rannekelloa. Hän muodostaa niistä viisi paria. Randin mukaan yksi tai kaksi paria pitäisi kuulua oikeille ihmisille. Miten hän lasti tuon todennäköisyyden?

"Kaikki oikein" -tapahtuma on helppo laskea, mutta entäs 0 oikein – 4 oikein vaihtoehdot. Tapahtumat ovat erittäin riippuvaisia toisistaan, joten normaalista binomitodennäköisyydestä ei ole kyse. Hahmottelin eri vaihtoehtoja paperilla, mutta tilanne menee hyvin mutkikkaaksi erittäin nopeasti. Jokaisella valinnalla on vaikutus seuraavien asioiden todennäköisyyksiin. Eikö tätä voisi laskea jotenkin helpommin, kuin läpikäymällä jokaikinen skenaario?




Merkitään kellot 1-5 ja avainniput a-e. Muodostuu 25 mahdollista paria (a1, a2 jne). Oikeat parit ovat a1, b2, c3, d4 ja e5. Äkkiä ajatellen päädyin seuraavaan:
Todennäköisyys sille, että oikeita pareja on k kpl on
5 nCr k * 5 nPr k * 20 nPr (5-k) / 25 nPr 5.
Odotusarvoksi tulee vähän yli 1, suurin todennäköisyys, noin 0,46 on sillä, että oikeita pareja on 1.

Ortotopologi
Merkitään kellot 1-5 ja avainniput a-e. Muodostuu 25 mahdollista paria (a1, a2 jne). Oikeat parit ovat a1, b2, c3, d4 ja e5. Äkkiä ajatellen päädyin seuraavaan:
Todennäköisyys sille, että oikeita pareja on k kpl on
5 nCr k * 5 nPr k * 20 nPr (5-k) / 25 nPr 5.
Odotusarvoksi tulee vähän yli 1, suurin todennäköisyys, noin 0,46 on sillä, että oikeita pareja on 1.



Yksinkertaisemmin kombinaatioilla:
P(k oikeaa paria)=5 nCr k * 20 nCr (5-k) / 25 nCr 5

Ortotopologi
5 nCr k * 5 nPr k * 20 nPr (5-k) / 25 nPr 5.
Odotusarvoksi tulee vähän yli 1, suurin todennäköisyys, noin 0,46 on sillä, että oikeita pareja on 1.

Tuon tulisi kuitenkin olla 0,375 eikä 0,46.

Binomilasku minullekin tuli ekana mieleen. Se olisi oikein nätti ja helppo laskea. Valitettavasti se päteen vain ja ainoastaan *riippumattomille* tapahtumille. Viiden tavaran paritus on kuitenkin erittäin riippuva (ehdollinen) tapahtumasarja. Siinä on runsaasti ehdollisia todennäköisyyksiä peräkkäin. Riippumattomaksi se muuttuisi, jos muodostetun parin tavarat erotettaisiin toisistaan ja palautettaisiin valinnan jälkeen koriin, josta niitä poimittaisiin. Omissa laskelmissani ajatusketju meni näin:

Selvänäkijä valitsee satunnaisesti ensimmäisen kellon. Tämän tapahtuman tn. on 1. Oletetaan että tuo kello oli vaikkapa nro. 1.

Seuraavaksi hän koettaa löytää sille parin muodostavan avainnipun. A:n löytämisen tn. on tässä vaiheessa tietysti 1/5. Tähän saakka lasku on helppo. Siitä eteenpäin mennäänkin ehdollisiin laskuihin. Tässä kohti lasku haraantuu kahteen mahdollisuuteen. Molemmissa poluissa on erilaiset todennäköisyydet.

Mikäli hän valitesee A:n (eli osuu oikeaan), on seuraava tn. 1/4.

Jos kuitenkin ensimmäien valitan meni väärin, muuttuu lasku ikävästi hankalammaksi. Oletetaan että hän paritti vaikkapa kellon 1 ja avaimet B. Tämähän tarkoittaa sitä, että sitten jossain vaiheessa kun kellolle B haetaan paria on onnistumisen tn. tasan 0, koska 2-B paria ei voi muodostaa mitnekään. Tällöin siis ensimmäinen valinta 1-B johtaa siihen, että seuraavaksi lasku haarautuu taas kahteen osaan: ruvetaanko etsimään 2:lle paria vai jollekin toiselle.

Se että ylipäänsä aletaan etsiä 2:lle paria tn. on 1/4 ja muille valinnoille 3/4.

Huomatkaa siis, että oikeaanosumisen todennäköisyyksien lisäksi on huomioitava ne todennäköisyydet, jotka liittyvät siihen mille kellolle paria lähdetään etsimään ja se että onko sille paria enää olemassakaan. Huomaatteko kuinka kiusallisen monimutkaiseksi ja monihaaraiseksi tämä menee? Toivottavasti vain ajattelen asiaa liian monimutkaisesti ja helpompikin tie on olemassa.

Ortotopologin idea mahdollisten parien kartoittamisesta on hyvä idea. Tätä täytyy pohtia vielä tarkemmin. Kuullsotaa lupaavalta nimittäin. Se on helppo ja yksinkertainen. Siinähän käytännöllisesti ohitetaan välivaiheet ja tarkastellaan lopputilannetta. Tämä lähestymistapa usein ratkaisee tällaisia laskuja mukavan helposti. Näin äkkisilteen ajatellen välivaiheilla ei ole merkitystä, koska loppuvaihtoehdot tiedetään jo.

Nonniin. Nyt näyttää siltä, että kyseinen tapaus on mahdollista katsoa yksinkertaisemmin juuri lopputilaa tarkastelemalla ja lasku menee vieläpä nätisti kaikkien rakastamaan binomijakaumaan. Thetävä alkuperäisenään aian sellaisenaan ei ole mielestäni binomilasku, mutta uudella näkökulmalla se ovelasti muuttuu sellaiseksi. Tämä on sitä matematiikan hienoutta. Se opettaa näkemään asioita uudella tavalla. Kartoitin siis kaikki mahdolliset lopputilanteet. Niitä oli yhteensä 25, joista oikeita ratkaisuja oli 5.

Jotain outoa silti tapahtui, sillä 5 oikein tn ei ollutkaan tällä tavoin laskettuna 1/120. Merkillistä. Eikö sen pitäisi olla 1/5*1/4*1/3*1/2*1/1. Tuntuu että oikeilla jäljillä ollaan, mutta silti jotain on missattu.

Joka tapauksessa binomilasku parametreillä p=5/25 n=5 tuotti seuraavan taulukon:
[code:27928gtx]
k p
0 0,33
1 0,41
2 0,20
3 0,05
4 0,01
5 0,0003
[/code:27928gtx]
Koska taulukon viimeinen rivi ei ole yhtäpitävä yksinkertaisen 5 oikein laskun kanssa, on jommassakummassa oltava vikaa. Mikäli kuitenkin binomilaskuni meni oikein, olisi todennäköisintä että k<2, eikä kuten Randi sanoi että k=1 tai 2. hmmm... Joko Randi sanoi hieman väärin tai sitten olen ynnäillyt jotenkin päin honkia.

Tetrafuran
Kartoitin siis kaikki mahdolliset lopputilanteet. Niitä oli yhteensä 25, joista oikeita ratkaisuja oli 5.

Mistä sä saat 25 mahdollista tilannetta ja oikeita ratkaisuja 5? Jos on viisi kelloa, niille pariksi 5 avainnippua, voidaan avainniput järjestää 5! = 120 eri tavalla. Näistähän on tasan yksi ratkaisu täysin oikein.

Tetrafuran

[code:22wi9xh5]
k p oikea arvo
0 0,33 0,367
1 0,41 0,375
2 0,20 0,167
3 0,05 0,083
4 0,01 0
5 0,0003 0,008
[/code:22wi9xh5]

Lisäsin lainaukseen oikeat arvot. Kaavat antavat vain sinnepäin tuloksia ja ovat siis vääriä.

JaakkoFagerlund
Tetrafuran
Kartoitin siis kaikki mahdolliset lopputilanteet. Niitä oli yhteensä 25, joista oikeita ratkaisuja oli 5.

Mistä sä saat 25 mahdollista tilannetta ja oikeita ratkaisuja 5? Jos on viisi kelloa, niille pariksi 5 avainnippua, voidaan avainniput järjestää 5! = 120 eri tavalla. Näistähän on tasan yksi ratkaisu täysin oikein.



Tänä aamuna ajattelin aivan samaa. Enää en ole ollenkaan vakuuttunut, että tuo 25 vaihtoehtoinen idea toimii. Joka tapauksessa siihen päädyin muodostamalla seuraavan listan:
[code:2u8j54lx]
kello avain menikö oikein?
1 1 1
1 2 0
1 3 0
1 4 0
1 5 0
2 1 0
2 2 1
2 3 0
2 4 0
2 5 0
3 1 0
3 2 0
3 3 1
3 4 0
3 5 0
4 1 0
4 2 0
4 3 0
4 4 1
4 5 0
5 1 0
5 2 0
5 3 0
5 4 0
5 5 1
[/code:2u8j54lx]
Tässä taulukossa on listattu kaikki erilaiset vaihtoehdot ja viimesellä sarakkeella, että oliko valinta oikea vai ei. Näin jälkeenpäin ajatellen tämäkin lähestymistapa taitaa olla jonkun verran väärä. Siispä jätin valintojen miettimisen ja hyppäsin tapahtumasarjan loppuun; eli siihen oliko valinta oikea vai ei. Sain seuraavan taulukon.

[code:2u8j54lx]
12345 (mones valinta)
00001 (viides meni oikein ja muut väärin)
00010 (neljäs oikein ja muut väärin)
00011 (kaksi viimeistä oikein)
00100
00101
.
.
.
11111 (kaikki oikein)
[/code:2u8j54lx]
Taulukossa on rivejä 2^5=32. Tässä siis asiaa mietitään enemmänkin permutaatioiden kannalta. Katsotaan taulukosta monellako eri tavalla on mahdollista poimia yksi oikein viidestä. Se oikea saatta olla mikä hyvänsä viidestä ehdollisesta valinnasta. Tähän vastausken voi aikaavievästi lukea tuosta listasta tai sitten vain syöttää laskimeen kaavan 5 nPr 1= 5. Samalla tavalla viiden permutaatio viidestä on 120. Nyt aletaan selvästikin lähestyä oikeamman tuntuista vastausta.

Korantin lasku vaikuttaa myös lupaavalta. Voisitko täsmentää miten päädyit tuohon vastauksen.

Käytin numeroita 1...5 joiden järjestystä vaihtamalla kävin kaikki 120 vaihtoehtoa läpi. Jos numero oli järjestyksensä mukaisessa paikassa (esim. kolmonen kolmantena) se oli oikein. Näin laskin kaikki vaihtoehdot ja oikeiden osumien lukumäärät.
Tarkistuksen tein sitten muutamilla kaavoilla. 5 ja 4 oikein olivat selvät mutta 3 oikein lukumääräksi tulee 5 nCr 3 = 10, koska virheellisellä parilla on vain yksi mahdollisuus olla virheellinen.
Vastaavasti 2 oikeiden määrä saadaan kaavasta 2 * (5 nCr 2) = 20, koska virheellisillä pareilla on 2 vaihtoehtoa.
Tapaus 1 oikein on hieman hankalampi, koska neljällä virheellisellä parilla on 9 vaihtoehtoa joten kaavaksi tulee 9 * (5 nCr 1) = 45. Miten tuo 9 lasketaan en ole keksinyt siihen kaavaa. Olen sen vain päätellyt. Loput ovat sitten tapauksia, jossa kaikki 5 ovat väärin (44 kpl.).
Kun tarkastellaan sarjaa, jossa on mumeroiden määrä ja niiden vaihtoehtojen määrä, jossa kaikki ovat väärässä kohdassa, saadaan seuraava sarja:
1 0, 2 1, 3 2, 4 9, 5 44. Tohon voi kehitellä kaavan:
44 = 5*9-1, 9 = 2*4+1, 2 = 1*3-1, 1 = 0*1+1. Eli siis parillisella kertoimella lisätään tuloon 1 ja parittomilla kertoimilla vähennetään 1. Jos lukuja on 6, saataisiin 0-osumien määräksi 6*44+1 = 265. Ei jaksa kokeilemalla tarkistaa mutta tietokoneohjelmalla kylläkin sen voisi tehdä. Todennäköisyys ainakin sopii Jorman kaavaan 1/e.

Kun tuon kaavan kerran keksin niin laskin taulukkoon muutamia tuloksia eri vaihtoehdoille. (Tein ohjelman joka laski taulukon)
[code:i3bdw6uo]
Lokerot
Osumat 3 4 5 6 7 8 9
0 2 9 44 265 1854 14833 133496
1 3 8 45 264 1855 14832 133497
2 0 6 20 135 924 7420 66744
3 1 0 10 40 315 2464 22260
4 0 1 0 15 70 630 5544
5 0 0 1 0 21 112 1134
6 0 0 0 1 0 28 168
7 0 0 0 0 1 0 36
8 0 0 0 0 0 1 0
9 0 0 0 0 0 0 1
[/code:i3bdw6uo]

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat