Yhtälö jota ei voinut ratkaista

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Seuraavaksi lukulistalle!


[size=200:3bw5o7qi]Viidennen asteen yhtälöstä[/size:3bw5o7qi]

Julkaistu: 10.2.2009 lehdessä osastolla Tiede & Luonto
A A timo suvanto

mario livio: yhtälö jota ei voinut ratkaista. miten matematiikka paljasti symmetrian kielen. suom. kimmo pietiläinen. terra cognita 2008. 376 s. 40 e.

Matemaatikoista kertovissa kirjoissa on tavallisen lukijan kannalta yleensä kaksi ongelmaa.

Ensinnäkin niissä kuvailtu matematiikka on syvällistä ja sen kytkökset arkielämän ilmiöihin ohuet.

Kirjojen sivuilla vyöryviä monimutkaisia lausekkeita pystyvät ymmärtämään vain harvat matematiikkaan vihkiytyneet. Eivät aina välttämättä edes yliopistollisen tutkinnon matematiikasta suorittaneet, kuten minä.

Toiseksi suurimmalla osalla matemaatikoista elämä on hyvin arkista tutkijakammiossa nyhräämistä. Siitä ei liikene juuri tarinoita kerrottavaksi.

Mario Livion kirjaa Yhtälö jota ei voinut ratkaista ei vaivaa kumpikaan näistä puutteista.

Kirja kertoo kahden 1800-luvun alussa eläneen matemaatikon, Niels Henrik Abelin ja Évariste Galoisin tarinat.

Molemmat kuolivat nuorina, Galois vain 21-vuotiaana. Varsinkin Galoisin elämä oli värikästä ja dramatiikkaa täynnä.

Kuolemakaan ei poikennut tästä linjasta, sillä Galois sai surmansa hämärissä oloissa käydyssä kaksintaistelussa.

Kirjan matemaattisen juonihaaran ydin on viidennen asteen yhtälön ratkeamisen tarina.

Tai pikemminkin sen todistaminen, että yhtälöä ei voi ratkaista perinteisten matemaattisten menetelmien avulla, kuten esimerkiksi useimmille koulusta tuttua toisen asteen yhtälöä ax 2+bx+c=0.

Viidennen asteen yhtälön ratkaisuyritykset johtivat ryhmäteorian nimellä tunnetun matematiikan haaran syntymiseen.

Suurinta osaa lukijoista kiinnostavat varmasti eniten ryhmäteorian ja symmetrian väliset yhteydet. Symmetria kun on käsite, joka ilmenee lukemattomissa elämäntilanteissa, aina parinvalinnasta Rubikin kuution ratkaisemiseen.

Kirja kertoo nämä yhteydet monipuolisesti ja havainnollisesti tavalla, jossa lukija kulkee ahaa-elämyksestä toiseen. Enpä olisi tuotakaan tullut ajatelleeksi.

Suomennokseen on lisätty mielenkiintoinen matematiikan historiaan liittyvä anekdootti.

Kun Galois oli todistanut, että yleistä viidennen asteen yhtälöä ei voi ratkaista kaavan avulla, todistamistaan jäi odottamaan se, millaiset yhtälöt olivat ratkaistavissa kaavalla.

Tämän ratkaisi vasta lähes vuosisata myöhemmin 1916 väitöskirjassaan suomalaisen matematiikan suurmies Kalle Väisälä. Hän oli yksi kuuluisista Väisälän veljeksistä, joista Vilho perusti Vaisalan.

Kalle lienee tutuin suurelle yleisölle, ainakin vanhemmalle ikäpolvelle, oppikouluissa yleisesti käytetyistä matematiikan oppikirjoistaan.

Väisälä joutui antamaan vähän periksi Galoisille siinä mielessä, että hän oli "jo" 22-vuotias väitellessään tohtoriksi. Tosin hän eli sitten paljon pidempään, 75-vuotiaaksi. Yhtälö jota ei voinut ratkaista sopii erityisesti niille, jotka kuvittelevat matemaatikkojen elämän ja työn olevan pelkkää norsunluutornissa istumista.




http://www.hs.fi/kirjat/artikkeli/Viide ... SI1AT02yii

Sivut

Kommentit (18)

Vierailija

Viidennen asteen yhtälö on mahdollista ratkaista:
x^5+a*x^4+b*x^3+c*x^2+x*d+e=0

a=-x1-x2-x3-x4-x5
b=x1*x2+x1*x3+x1*x4+x1*x5+x2*x3+x2*x4+x2*x5
+...x3*x4+x3*x5+x4*x5
c=-x1*x2*x3 + muut kombinaatiot...
d= x1*x2*x3*x4+ muut kombinaatiot...
e=-x1*x2*x3*x4*x5

Tuosta saadusta yhtälöstä sitten ratkotaan joitakin arvoja nollaten ja katsotaan millä tärppää...

Riippuu siitä, mitkä osat yhtälöstä (eri x:n eksponentit) kumoavat toisensa ja mitkä eivät! Ellei mikään kumoa tulosta ennen vakio-osaa - silloin ei varmaan voine ratkaista?

EDIT:
Tarkoitin, että ellei joku esim. F*x^2+G*x^3=0 missään parissa saa arvoa nolla on tulosta vaikeaa määrätä...
Pari/tripla yms. voi olla muutkin, esim H*x^5+I*x^4+e=0

Samaa mieltä olin 3. asteen yhtälössä, mutta sitten joku nero esitti ("lasikatto"), että jakamalla kahtia x=u+v:ksi ratkijaa - ainakin jotain...

Vierailija
Agison

Samaa mieltä olin 3. asteen yhtälössä, mutta sitten joku nero esitti ("lasikatto"), että jakamalla kahtia x=u+v:ksi ratkijaa - ainakin jotain...



Kiitos,kiitos. Mutta en kyllä voi ottaa kunniaa vaikka tuon 3:n asteen equatsioonin mielestäni jotenkin osaankin. Tuo ratkaisu nimittäin on Cardanon, Ferrarin & co:n toimesta suoritettu jo joskus 1400-1500 luvulla. Sama pätee nelos asteeseen. Vitonen onkin jo kinkkisempi ja vasta 1800-luvulla Galois osoitti ryhmäteorian avulla, että ratkaisua ei voida esittää suljetussa muodossa peruslaskutoimituksilla + juurtenotolla.

Erikoisfunktiolla vitonen ja kutonenkin kuitenkin analyyttisesti ratkeaa tosin ne (ratkaisut) perustuvat ymmärtääkseni päättymättömiin sarjoihin.

Ihan wikipediasta löytyy asiaa 3:n, 4:n ja viidennen asteen caseistä ja Wolframin Mathwoldistä vielä enemmän myös 6:n asteen tapauksesta.

Vitosasteisesta on näköjään tosi hyvä linkki ketjun avaajan (joka sivumennen sanoen on vihkinyt allekirjoittanuttakin useasti algebrallisten yhtälöiden maailmaan) allekirjoituksessa.

tämä

Vierailija

Yksi varma idea 5. asteen ratkaisussa on se, että 5. ei voi ratkaista ilman äärettömyyksiä, koskapa on käytössä vain 4 ulottuvuuden puolikasta +,-,-i,+i. Tuolla tavalla se on varmaan helpoimmin todistettu, ettei 5. voi ratkoa!

Toki 5. asteen yhtälön saa noillakin helposti:
(x-2)(x+2)(x-3)(x+13243)(x-233)=0

Tossa ei olisi yhtään imaginäärijuurta!
En viitsi laskea tuota. Karmeen iso vakiotermi noilla arvoilla varmasti!

Mutta ratkijaako edes 3. asteen yhtälö varmasti, jos oletetaan, että kaikki juuret on imaginäärisiä, toisinsanoen kuvaaja pinnassa joko kokonaan x-akselin alla tai päällä? Ja mikäli toinen parijuuresta ei ole keskitetty Re+Im ja toinen Re-Im vaan RE1+IM1 ja RE2+IM2? Siis kaikki imaginääriosan komponentit erilaisia

Tuo ongelma on kohta ratkeemassa...

Tällöin nimittäin itse yhtälössä (implisiittinen vai ekspilsiittinen, en viläkään muista kumpi on kumpi) on imaginäärisiä kertoimia x:n potenssien tai vakiotermin edessä!

galilei
Seuraa 
Viestejä106
Liittynyt18.6.2007
Agison
Mutta ratkijaako edes 3. asteen yhtälö varmasti, jos oletetaan, että kaikki juuret on imaginäärisiä, toisinsanoen kuvaaja pinnassa joko kokonaan x-akselin alla tai päällä? Ja mikäli toinen parijuuresta ei ole keskitetty Re+Im ja toinen Re-Im vaan RE1+IM1 ja RE2+IM2? Siis kaikki imaginääriosan komponentit erilaisia



Miten määrität, että kompleksikertoiminen, kompleksimuuttujainen funktio on x-akselin ala- tai yläpuolella?

Me iudice

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
lasikatto
Tuo ratkaisu nimittäin on Cardanon, Ferrarin & co:n toimesta suoritettu jo joskus 1400-1500 luvulla.

Tartaglia taisi olla ensimmäinen, joka keksi 3. asteen yhtälön ratkaisukaavan ja Ferrari 4. asteen. 1500-luvun tuloksia molemmat.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Satuinpa juuri lukemaan kirjasta "The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics" tarinan Cardanosta ja Tartagliasta. En viitsi kopioida tekstiä tähän, ettei mene plagioinnin puolelle. Tarinan mukaan Cardano oli pyytänyt Tartaglialta kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan. Tartaglia ei tähän suostunut, ja Cardano alkoi ruinata tätä kaavaa itselleen. Lopulta Tartaglia suostui kertomaan kaavan Cardanolle, jos tämä lupasi olla kertomatta asiasta eteenpäin. Cardano lupasi olla julkaisematta tulosta. Tartaglia uskoi Cardanoa ja kertoi hyvää hyvyyttään Cardanolle kaavan. Kuitenkin Cardano petti lupauksen ja julkaisi kaavan Ars Magnassa vuonna 1545.

Eli aika häijy mies tuo Cardano oli, mikäli Wellsin teosta on uskominen.

Vierailija

Hui. Eihän tuosta tajua yhtään mitään. Vai meneekö se tyyliin että laitat numerot tuohon tilalle ja lasket? Tyyliin:

ax 2+bx+c=0

a=1
b=2
c=3
jne

10 2+2X0+3=0?

Vierailija

Säikeessä tieteen kehittymisestä Agison kertoi, että ei usko väitettä, että ainoastaan 4. asteen yhtälöt voidaan ratkaista. Vastaanpa nyt tänne, kun tänne se asia varsinaisesti kuuluu.

Eli pääpaino tässä kannattaa kiinnittää siihen, että mitä tarkoitetaan ratkaisulla. Algebran peruslausehan sanoo, että millä tahansa kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi kompleksilukuratkaisu. Tästä on sitten helppo nähdä, että astetta n olevalla kompleksilukukertoimisella polynomilla on täsmälleen n ratkaisua ja nämä kuuluvat kompleksilukuihin. Eli itseasiassa mikä tahansa polynomi (kompleksikertoiminen) on tietyssä mielessä ratkeava.

Se, kun sanotaan, että viidennen ja sitä korkeamman asteen polynomeilla ei ole ratkaisua, niin tarkoitetaan itseasiassa sitä, että niillä ei ole ratkaisukaavaa klassisessa mielessä (eli radikaalien avulla). Ja ratkaisukaava klassisessa mielessä tarkoittaa tietenkin sitä, että otetaan yhtälön kertoimet ja näistä saadaan äärellisellä määrällä yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolaskuja ja juurenottoja selville yhtälönratkaisu(t). Jos tarkempi formulointi asiasta kiinnostaa, niin Amazonista vain tilaamaan joku hyvä abstraktin algebran tai Galois'n teorian oppikirja.

Vierailija

Ja jos ei algebrallinen puljaus sen enempiä kiinnosta, niin useimmiten ratkaisu löytynee numeerisilla juurenhakumenetelmillä. Toki on hyvä muistaa algebran peruslause ja sen seuraukset, jotta tietää montako ratkaisua on odotettavissa.

Rainer
Seuraa 
Viestejä2
Liittynyt23.8.2014

Kyllä korkeamman asteen polynomien algebrallinenkin ratkaisu on mahdollista.

Niiden potenssit vain muunnetaan muotoon P/Q ja kehitellään niiden osalta juurten ratkaisut

2.-4. asteen polynomien ratkaisukaavoja ja yhtälöä y=a(x-x1)(x-x2)...(x-xm) hyödyntäen.

JPI
Seuraa 
Viestejä23777
Liittynyt5.12.2012
Puuhikki

Satuinpa juuri lukemaan kirjasta "The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics" tarinan Cardanosta ja Tartagliasta. En viitsi kopioida tekstiä tähän, ettei mene plagioinnin puolelle. Tarinan mukaan Cardano oli pyytänyt Tartaglialta kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan. Tartaglia ei tähän suostunut, ja Cardano alkoi ruinata tätä kaavaa itselleen. Lopulta Tartaglia suostui kertomaan kaavan Cardanolle, jos tämä lupasi olla kertomatta asiasta eteenpäin. Cardano lupasi olla julkaisematta tulosta. Tartaglia uskoi Cardanoa ja kertoi hyvää hyvyyttään Cardanolle kaavan. Kuitenkin Cardano petti lupauksen ja julkaisi kaavan Ars Magnassa vuonna 1545.

Eli aika häijy mies tuo Cardano oli, mikäli Wellsin teosta on uskominen.

Luinpa minäkin tuon tarinan kirjasta Recreations in number theory. Kirjottajan nimeä en nyt muista. Tuosta taistelusta kolmannen asteen yhtälön ratkaisusta pitäisi tehdä elokuva, vai liekkö jo tehty?, olisi tosi hauskaa se katsoa. Tuo viidennen asteen yhtälön ratkaisemattomuus ei tarkoita sitä etteikö juurille voitaisi saada mielivaltaisen tarkkoja arvoja. Se tarkoittaa, että sille ei löydy algebrallista ratkaisukaavaa kuten 1-4 asteen yhtölöille. Nimenomaan symetrioiden avulla tuo voidan osoittaa.

3³+4³+5³=6³

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005

On olemassa viidennen ja korkeamman asteen yhtälöitä, joiden ratkaisut on esitettävissä äärellisellä määrällä yhteen, vähennys, kerto- ja ja jakolaskuja ja juurenottoja, mutta ne kaikki eivät sitä ole. Triviaali esimerkki tuolla tavalla ratkeavasta yhtälöstä on x^5+1=0. x^5-x+1=0 ei ratkea.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat