Ääretön kulmakerroin=pystysuora!

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eräät väittävät, ettei äärettömyyttä ole olemassakaan!
Kuitenkin pieni pähkäily osoittaa, että on:

Kuvitellaan x-akselin kohdassa X0 leikkaava suora:
Sen yhtälö on:
y2-y1=k*(x2-x1)

y2-y1=k*x2-k*x1
x2=(y2-y1+k*x1)/k

Jos y2-y1=jokin resoluutio

x2=(Yr+k*x1)/k
Jos k on ääretön? k=1/dk

x2=(Yr+1/dk*x1)/(1/dk)
x2=Yr*dk+1/dk*x1*dk/1
x2=x1+Yr*dk

Eli saimme teoreeman, että kulmakertoimen ollessa ääretön on x2=x1

Itse Y voi olla mitä tahansa...

Tämä tietysti tiedettiinkin, mutta olipahan ihan kiva tämä tuoda esille!

Näkee myös suoraan muodosta:
y2-y1=k*(x2-x1) |/k
kun k=1/dk
dk*(y2-y1)=x2-x1
0=x2-x1
x1=x2

Äärettömyys ON olemassa, vaikkapa se yleensä kadottaakin yhtälöstä joitakin termejä!

Kommentit (11)

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

Suoran yhtälöä ei yleensä kannata esittää tuossa muodossa, sillä muoto n⋅r - p = 0 on paljon käytännöllisempi. r = (x, y) on paikkavektori, n = (nx, ny) on suoran yksikkönormaalivektori (|n| = 1) ja p suoran etäisyys origosta.

Tämä muoto on täysin immuuni koordinaattiakseleiden suuntaisille suorille eli n = (0, 1) tai n = (1, 0). Valitettavasti tällä muodolla ei voi todistaa äärettömän olemassaoloa.

Vanha jäärä

Vierailija

Kerroppa Agison: jos meillä on yhtälö y = ääretön * x, miten saadaan vaikkapa piste (0,1). Sijoittamalla x:n tilalle 1/ääretön? Tuleeko taas piste (0,2) vastaavasti x:n arvolla 2/ääretön?

Äärettömien jakolaskua ei ole määritelty, sillä siinä ei ole mitään järkeä. Eikä ääretön ole luku, vaan symboli. Kun suora lähestyy pystysuoraa, lähestyy sen kulmakerroin ääretöntä, muttei tietenkään koskaan saavuta sitä, sillä se on mahdotonta. Pystysuoran kulmakerrointa taas ei ole määritelty, sillä se on muotoa y/0. Vai oletko nyt Chuck Norriksen lisäksi ainoa ihminen joka osaa jakaa nollalla? [Lisäkysymys: onko y/0 ääretön vai -ääretön? Vai ovatko molemmat kenties sama asia?]

Vierailija
EemeIi
Äärettömien jakolaskua ei ole määritelty, sillä siinä ei ole mitään järkeä. Eikä ääretön ole luku, vaan symboli.



On se äärettömällä jakaminen hyvin määritelty. Jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin a jaettuna äärettömällä (olipa se sitten plus tai miinus ääretön) on nolla. Eikä ole mitenkään harvinaista sekään, että sovittaisiin, että 0^0 = 1 tai että ääretön kerrottuna nollalla olisi nolla.

Nämä ovat tietenkin mukavuussyistä tehtyjä sopimuksia eivätkä seuraa mistään reaalilukujen aksioomista. Vaikka mitenpä nuo edes voisivat seurata, kun ääretön ei ole reaaliluku eikä laajennettu reaalilukujen joukko (lisätty plus ja miinus ääretön) ole kunta.

Vierailija
kurnimaha
EemeIi
Äärettömien jakolaskua ei ole määritelty, sillä siinä ei ole mitään järkeä. Eikä ääretön ole luku, vaan symboli.



On se äärettömällä jakaminen hyvin määritelty. Jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin a jaettuna äärettömällä (olipa se sitten plus tai miinus ääretön) on nolla. Eikä ole mitenkään harvinaista sekään, että sovittaisiin, että 0^0 = 1 tai että ääretön kerrottuna nollalla olisi nolla.

Nämä ovat tietenkin mukavuussyistä tehtyjä sopimuksia eivätkä seuraa mistään reaalilukujen aksioomista. Vaikka mitenpä nuo edes voisivat seurata, kun ääretön ei ole reaaliluku eikä laajennettu reaalilukujen joukko (lisätty plus ja miinus ääretön) ole kunta.




Ääretön kertaa nolla ei välttämättä ole nolla... Ainakaan differentiaalien tapauksessa:

Tavallinen diffis: dy/dx on itseasiassa (0 * oo) ja saa mitä tahansa arvoja riippuen funktiosta f(x)=y! 0 kertaa ääretön on tavallisesti sellainen lasku, jossa etsitään kulmakerrointa ts. tangenttia ts. derivaattaa...

Vierailija
EemeIi
Kerroppa Agison: jos meillä on yhtälö y = ääretön * x, miten saadaan vaikkapa piste (0,1). Sijoittamalla x:n tilalle 1/ääretön? Tuleeko taas piste (0,2) vastaavasti x:n arvolla 2/ääretön?

Äärettömien jakolaskua ei ole määritelty, sillä siinä ei ole mitään järkeä. Eikä ääretön ole luku, vaan symboli. Kun suora lähestyy pystysuoraa, lähestyy sen kulmakerroin ääretöntä, muttei tietenkään koskaan saavuta sitä, sillä se on mahdotonta. Pystysuoran kulmakerrointa taas ei ole määritelty, sillä se on muotoa y/0. Vai oletko nyt Chuck Norriksen lisäksi ainoa ihminen joka osaa jakaa nollalla? [Lisäkysymys: onko y/0 ääretön vai -ääretön? Vai ovatko molemmat kenties sama asia?]




Jos meillä on 2 nollaa +0 ja -0 kuten dx ja -dx, niin se on jompikumpi... Itse asiassa 0 on varmaan aina +0, ellei toisin määritellä...
3. nollan noiden välistä ehkä saa, mutta se onkin niin absoluuttinen nolla, että sillä mikä tahansa kertomalla vaikkapa oo^oo* (0)=0, mutta onko sellaista nollaa edes olemassa?

Differentiaalisen kulmakertoimen etsimisen saa sillä tasan nolla-arvollakin(-0

Vierailija

Kouluissa, ja miksei myös vähän korkeammissakin kouluissa matematiikan opettajat ovat todella tyhmiä - ja melkeinpä perseestä - opettaessaan opetussuunnitelman mukaista tangenttia, jossa erikoistapauksia on enemmän, kuin köyhiä eteläsuomessa.

Jos vähänkin joutuu käytännön sovelluksia tekemään, silloin xy-koordinaatisto kiepsautetaan ratkaisun tarkkuuden kannalta edullisimpaan asentoon. Analyyttisessä avaruusgeometriassa koordinaatiston kierrossa on jonkin verran enemmän vaihtoehtoja, mutta se on kieritettävä x:n, y:n tai z:n kannalta edullisimpaan asentoon, jos mielii saada tarkinta ko. lukutarkkuuden tarkkuutta.

Ellei halua koulumatemaattisesti tangentin eri poikkeustapauksien kanssa hinkata, origosta lähtevän vektorin kulma on syytä määrittää yleispätevämmin:

kulma = arc cos(x/sqrt(x*x+y*y)) * signum(y)

Ellen väärin muista, tangentti lienee vain joku sinin ja cosinin toimimaton suhde, joka on saatu toimimaan siten, että jos on niin, on voimassa tämä poikkeus, ja jos on näin, on syytä huomioida tämä poikkeus, jne.

Kulmakerroin toimii aina, koska:

y=kx+b on yhdenvertainen tulkinnan x=ky+b kanssa, kun xy-koordinaatisto on käännetty 90 astetta johonkin päin (tai lyhemmin x ja y on swapattu keskenään).

Ed: tosin en ole varma, mistä kysymys oikeastaan oli, luultavasti kulmakertoimesta, tai jostain sieltä päin olevasta.

Vierailija
Agison
Ääretön kertaa nolla ei välttämättä ole nolla... Ainakaan differentiaalien tapauksessa:

Tavallinen diffis: dy/dx on itseasiassa (0 * oo) ja saa mitä tahansa arvoja riippuen funktiosta f(x)=y! 0 kertaa ääretön on tavallisesti sellainen lasku, jossa etsitään kulmakerrointa ts. tangenttia ts. derivaattaa...


Ei tietystikään ole enkä niin väittänytkään. Yleensä nolla kertaa ääretön jätetään määrittelemättä, mutta esimerkiksi mitta- ja integraaliteoriassa on varsin miellyttävää määritellä myös tämä kertolasku nollaksi. Otetaanpa esimerkki: olkoon f: R -> R sellainen funktio, että se saa arvon nolla melkein kaikkialla. Luontevalta tuntuisi, että tällöin f:n integraali yli joukon R olisi nolla. Kuitenkin R:n mitta (eli tässä tapauksessa välin [-ääretön , ääretön] pituus) on ääretön. Tässä joudutaan siis laskemaan nolla kertaa ääretön ja mukavuussyistä halutaan määritellä se suoraan nollaksi, niin ei tarvitse joka ikisessä laskussa erikseen alkaa tätä selittelemään. Tässä integraalilla tarkoitan Lebesguen integraalia. Riemannin mielessä tuo esimerkkifunktio ei välttämättä olisi integroituva.

_jone_
Kulmakerroin toimii aina, koska:

y=kx+b on yhdenvertainen tulkinnan x=yk+b kanssa, kun xy-koordinaatisto on käännetty 90 astetta johonkin päin.


Aina toimii myös vektoriesitys p = u + tv, missä u on siirtovektori, v suuntavektori ja t parametri. Tässä etuna on sekin, ettei avaruuden dimensiota tarvitse rajoittaa kahteen, kuten kulmakertoimen tapauksessa.

Vierailija
kurnimaha
EemeIi
Äärettömien jakolaskua ei ole määritelty, sillä siinä ei ole mitään järkeä. Eikä ääretön ole luku, vaan symboli.



On se äärettömällä jakaminen hyvin määritelty. Jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin a jaettuna äärettömällä (olipa se sitten plus tai miinus ääretön) on nolla. Eikä ole mitenkään harvinaista sekään, että sovittaisiin, että 0^0 = 1 tai että ääretön kerrottuna nollalla olisi nolla.

Nämä ovat tietenkin mukavuussyistä tehtyjä sopimuksia eivätkä seuraa mistään reaalilukujen aksioomista. Vaikka mitenpä nuo edes voisivat seurata, kun ääretön ei ole reaaliluku eikä laajennettu reaalilukujen joukko (lisätty plus ja miinus ääretön) ole kunta.




Äärettömien jakolaskulla tarkoitin siis toimitusta ääretön per ääretön.

Vierailija
nuubi
agison vedäs vastaväite tälle
ikuisuus=50%?
rajallisuus=50%?
x=50%?



Eikö ikuisuus ole 1-0,1^oo?=Eli käytännössä 1(x100%), siinä missä yx elämä on 10%=0.1. Eli jos se rajallisuus on 10%, ja se vie aina perheesi olemassolosta 10%, niin eikö prosentti ole lähes 100% ikuisuudelle. Eri asia, jos laskee kombinaatiot eli nk. Binomitodennäköisyys (oo nCr n)* 0,9^n*0,1^(oo-n), niin voi olla, että kaikista elämistä tulee se 50%? Kombinaatio 90% tarkoittaisi, että sen ajan olitkin Jumalana, jumalien joukossa ja 10%, että olit sen ajan ihmisenä?

Uusimmat

Suosituimmat