Mitä rikottiin?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Vai rikottiinko mitään? Täytyy nyt saada vähän vahvistusta että voiko näin tehdä:

iSin(x)=Sinh(ix)

Jos i:stä ja Sin(x):stä käyttää eksponenttimuotoa niin:

iSin(x)=½e^(iPi/2)[e^(ix)-e^(-ix)]
= ½{e^[i(x+Pi/2)]-e^[i(-x+Pi/2)]}
=Sin(x+Pi/2)
=Cos(x)

->Sinh(ix)=Cos(x)

En tiedä mitä tuossa rikotaan, mutta jos ei rikota niin saadaan hullunkurinen tulos: Integraali 1/Cosh(x) on 2Sinh(x) mikä nyt ei pidä paikkaansa... vai pitääkö?

Kommentit (13)

Vierailija

Mielestäni tuo oli vain kirjoitusvirhe joka ei muuta tulosta miksikään. Mut korjataan:

iSin(x)=½e^(iPi/2)[e^(ix)-e^(-ix)]/i
= ½{e^[i(x+Pi/2)]-e^[i(-x+Pi/2)]}/i
=Sin(x+Pi/2)
=Cos(x)

Vierailija
Harhatien opiskelija
Mielestäni tuo oli vain kirjoitusvirhe joka ei muuta tulosta miksikään. Mut korjataan:

iSin(x)=½e^(iPi/2)[e^(ix)-e^(-ix)]/i
= ½{e^[i(x+Pi/2)]-e^[i(-x+Pi/2)]}/i
=Sin(x+Pi/2)
=Cos(x)




Ihan yleisesti on voimassa isin(x) = sinh(ix), sillä

isin(x) = i * [e^(ix)-e^(-ix)]/2i = [e^(ix)-e^(-ix)]/2 = sinh(ix)

Minusta tuossa pyörittelyssäsi on vikana se, että

½{e^[i(x+Pi/2)]-e^[i(-x+Pi/2)]}/i

ei ole sama asia kuin sin(x + Pi/2). Tuossa jälkimmäisessä eksponentissa pitäisi vähentää Pi/2, jotta tuo toimisi.

Vierailija
ei ole sama asia kuin sin(x + Pi/2). Tuossa jälkimmäisessä eksponentissa pitäisi vähentää Pi/2, jotta tuo toimisi.



e^y e^x=e^(x+y)
e^y e^(-x)=e^(-x+y)

muoks: Vaihdoin kertojia jotta tilanne havannoituisi. Nyt siis noissa ylemmissä y=iPi/2 ja x==ix.

Vierailija

Niin, mutta

Sin(x + Pi/2) = [e^i(x+Pi/2) - e^i(-x - Pi/2)] / 2i

ei ole sama asia kuin

[e^i(x+Pi/2) - e^i(-x + Pi/2)] / 2i

Tuloksen isin(x) = cos(x) näkee vääräksi jo sillä, että sijoittaa x=0. Tällöin olisi 0=1. Tai yleisemmin saataisiin argumentista x riippumatta

0 = cos(x) - isin(x) = cos(-x) + isin(-x) = e^(-ix)

eli ristiriita.

Vierailija
Niin, mutta

Sin(x + Pi/2) = [e^i(x+Pi/2) - e^i(-x - Pi/2)] / 2i




Tämä ei ole iSin(x) eikäs Sin (x+Pi/2) koska olet kertonut Sinin kaksi termiä kahdella eri luvulla:

[e^(iPi/2)e^(ix)-e^(-iPi/2)e^(-ix)]/2i

Tuossa ei ole kerrottu samalla luvulla (i:llä), vaan toinen on kerrottu i:llä ja toinen -i:llä.

e: Ja ristiriitahan tuossa on - kuten sanoit. Mutta missä se ristiriita syntyy? Eulerin kaavan käytössä (joka on totta), trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden eksponenttiesityksessä (joka on totta) vaiko imaginääriyksikön kertomissäännöistä (jotka ovat totta)?

Eräs systeemi on pariteetti joka voi aiheuttaa tuon ristiriidan. Kysehän on symmetrisistä/anti-symmetrisistä kompleksiluvuista joten äkkiäkös tuossa miinusmerkki vaihtuu plussaksi.

Vierailija

Zsuumatkaas:

Oletetaan että Sinh(ix)=Cos(x)

Tällöin Eulerin kaavaa käyttäen saadaan:

cos(x)+isin(x)-cos(-x)-isin(-x)=cos(x)+isin(x)+cos(-x)+isin(-x)

Supistetaan molemmilta puolista kaksi ensimmäistä termiä pois ja käytetään pariteetteja cos(-x)=cos(x) ja sin(-x)=-sin(x) niin saadaan.

-cos(x)+isin(x)≠cos(x)-isin(x)

Eli ei ole totta, mutta jos kerrotaan oikea puoli i²:lla (ts. Sinh(ix)=-Cos(x)) niin relaatio on totta. Mut tän jälkeen toi ensimmäinen, joka on saatu eksponenttifunktioiden kertomissäännöillä ei olisi totta. Jompikumpi on totta, mutta jos toinenkin on totta niin sitten eriskummallinen integraalini Int[1/cosh(x)]= 2sinh(x) on myös totta. Menee vähintäänkin kummalliseksi, sanon ma!

Vierailija
Harhatien opiskelija
Niin, mutta

Sin(x + Pi/2) = [e^i(x+Pi/2) - e^i(-x - Pi/2)] / 2i




Tämä ei ole iSin(x) eikäs Sin (x+Pi/2) koska olet kertonut Sinin kaksi termiä kahdella eri luvulla:

[e^(iPi/2)e^(ix)-e^(-iPi/2)e^(-ix)]/2i

Tuossa ei ole kerrottu samalla luvulla (i:llä), vaan toinen on kerrottu i:llä ja toinen -i:llä.




Yhtä mieltä voidaan varmaan olla siitä, että

sin(y) = [e^(iy) - e^(-iy)] / 2i = [e^i(y) - e^i(-y)] / 2i

Sijoittamalla y = x + Pi/2 tulee tuo väittämäni identiteetti.

Vierailija
Sijoittamalla y = x + Pi/2 tulee tuo väittämäni identiteetti.



Alkuperäisessä yhtälössä ei ole sijoitettu, vaan kerrottu. Sijoitus yleensä muuttaa funktiota helpompaan muotoon, mutta palautettaessa sijoitus, funktio ei ole muuttunut. Kertominen (joka alkuperäisessä tapauksessa on kyseessä) muuttaa funktiota.

e: Korjailtu. Hivenen perjantaifiilistä ilmassa. Tattis muuten Kurnimahalle vastauksista. Eiköhän tähän selvyys tule sitten joskus kun tarpeeksi pitkään joristaan.

Vierailija
Harhatien opiskelija
Alkuperäisessä yhtälössä ei ole sijoitettu, vaan kerrottu. Sijoitus yleensä muuttaa funktiota helpompaan muotoon, mutta palautettaessa sijoitus, funktio ei ole muuttunut. Kertominen (joka alkuperäisessä tapauksessa on kyseessä) muuttaa funktiota.

e: Korjailtu. Hivenen perjantaifiilistä ilmassa. Tattis muuten Kurnimahalle vastauksista. Eiköhän tähän selvyys tule sitten joskus kun tarpeeksi pitkään joristaan.


Perjantai-iltaisin on kiva jorista
Jos nyt vaikka sitten aluksi todistaisit tuon oman summakaavasi oikeaksi (sillä summakaavaanhan tuossa vetosit). Minusta se on ihan selkeästi väärin ja sen takia saat hullunkurisia tuloksia.

Harhatien opiskelija
Oletetaan että Sinh(ix)=Cos(x)

Tuo identiteetti nähdään vääräksi samalla tavalla kuin isin(x) = cos(x). Jos sijoitetaan x=0, niin saadaan taas 0=1. Ei sinällään mikään yllätys, kun kerran isin(x) = sinh(ix) kaikilla x...

Vierailija
Jos nyt vaikka sitten aluksi todistaisit tuon oman summakaavasi oikeaksi (sillä summakaavaanhan tuossa vetosit).



Minkä summakaavan?

Tuo identiteetti nähdään vääräksi samalla tavalla kuin isin(x) = cos(x). Jos sijoitetaan x=0, niin saadaan taas 0=1. Ei sinällään mikään yllätys, kun kerran isin(x) = sinh(ix) kaikilla x...



Mielestäni olen osoittanut että joko:

a) sinh(ix)=cos(x)
b) sinh(ix)=-cos(x)

Kahdella tavalla. b:n saat Eulerin kaavalla, a:n kertomalla Sinin i:llä ja käyttämällä eksponenttiesitystä.

e: Alkaa toi ding-dong-juoma vaikuttamaan että ehkä on parempi että jatkan tiede.fi-palstalla sitten joskus ja selvinpäin. Toki voisihan sitä Tuukkaa käydä psyykkaamassa tuolla ilmastopuolella, mut tuskin jaksaa...

galilei
Seuraa 
Viestejä106
Liittynyt18.6.2007
Harhatien opiskelija
Int[1/cosh(x)]= 2sinh(x) on myös totta.



Seuraavissa integrointi x:n suhteen, sijoituksen jälkeen t:n suhteen:

Tapa I

I = int[1/cosh(x)] = int[2/(e^x + e^(-x))] = 2int[e^(x)/((e^x)^2 + 1)

Sijoitus: e^x = t

I = 2int[1/(t^2 + 1)] = 2arctan(t) + C = 2arctan(e^(x)) + C

Oheista integraalia voi tietenkin pyöritellä arcustangentin kaavalla:

arctan (x) = ln[(1+ix)/(1-ix)]/(2i)

mutta ei sieltä kyllä mitään erikoista tulosta tule...

Tapa II

I = int[1/cosh(x)] = int[cosh(x)/cosh^2(x)]

Sijoitus: tanh(x) = t

=>

dx/cosh^2(x) = dt
cosh(x) = 1/sqrt[1-tanh^2(x)] = 1/sqrt[1 - t^2]

I = int[1/sqrt[1-t^2]] = arcsin(t) + C = arcsin(tanh(x)) + C

Mitä taas yhtälöihin tulee, niin:

i*sin(x) = e^(i*pi/2)*[e^(ix) - e^(-ix)]/(2i) = [(e^(i*pi/2)*e(ix)) - (e^(i*pi/2)*e(-ix))]/(2i) = [e^((x + pi/2)i) - e^((-x + pi/2)i)]/(2i) (=sinh(ix))

mutta

sin(x + pi/2) = [e^((x + pi/2)i) - e^((-x - pi/2)i)]/(2i)

siis

i*sin(x) ≠ sin(x + pi/2).

Me iudice

Vierailija

Hah! Sitä se teettää kun pienessä sievässä perjantai-iltana yrittää laskeskella. Aikamoisen kauas suollehan sitä joutuu.

Tattis kurnimahalle ja galileille - olitte oikeassa. Case closed.

Uusimmat

Suosituimmat