Perustuvatko aksioomat intuitioon?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Wikipedian mukaan kaikki looginen ajattelu perustuu aksioomiin. "Isi, mistäs ne aksioomat sitten tulevat?" "Nooh, ne vain ovat."

Siis, perustuvatko tieteen käyttämät aksioomat intuitioon? Silloinhan tiede perustuu subjektiiviisiin kokemuksiin, jotka useat ihmiset jakavat. "Syökää paskaa. Miljoona kärpästä ei voi olla väärässä."

Kommentit (7)

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Loogisella päättelyllä pitää olla jokin lähtökohta, sillä tyhjästä ei voi vetää johtopäätöksiä. Minun nähdäkseni aksioomien ei tarvitse perustua intuitioon. Jotkin käyttökelpoiset aksioomat saattavat tuntua suorastaan järjenvastaisilta (ks. Well-ordering theorem).

We're all mad here.

Vierailija
abskissa
Loogisella päättelyllä pitää olla jokin lähtökohta, sillä tyhjästä ei voi vetää johtopäätöksiä. Minun nähdäkseni aksioomien ei tarvitse perustua intuitioon. Jotkin käyttökelpoiset aksioomat saattavat tuntua suorastaan järjenvastaisilta (ks. Well-ordering theorem).



Ahaa. Mihin muuhun se sitten perustuu?

Vierailija
abskissa
Peksa

Ahaa. Mihin muuhun se sitten perustuu?

Sen avulla voidaan tehdä käyttökelpoisia päätelmiä.



Niin, käyttötarkoitus on tietenkin selvä, perusta rationaaliselle ajattelulle. Mutta minua kiinnostaa, mistä aksioomat tulevat. Aksiooman hyväksyminen on tavallaan sama kuin jumalan olemassaolon hyväksyminen.

Vierailija
Peksa
Wikipedian mukaan kaikki looginen ajattelu perustuu aksioomiin. "Isi, mistäs ne aksioomat sitten tulevat?" "Nooh, ne vain ovat."

Siis, perustuvatko tieteen käyttämät aksioomat intuitioon? Silloinhan tiede perustuu subjektiiviisiin kokemuksiin, jotka useat ihmiset jakavat. "Syökää paskaa. Miljoona kärpästä ei voi olla väärässä."




Itse kaksipäinen logiikka aksioomajärjestelmänä (jollainen sekin on!) perustuu sellaiselle "sisällölliselle" aksioomalle todellisuuden luonteesta, että todellisuuden objektit olisivat jaoteltavissa sellaisiksi ominaisuuksiksi, jotka joko TÄYSIN OVAT kohtessa tai NIITÄ EI OLE LAINKAAN. Eli niiden esiintymisaste kohteessa on 1 tai 0, mutta ei mitään siltä väliltä, kuten ns. sumeissa logiikoissa.

Tästä seuraa, että kaksipäisillä logiikoilla pääteltäessä TOTUUSARVO SÄILYY, siirtyy sellaisenaan, ykkösenä tai nollana, premisseiltä johtopäätöksille.

Näin ollen päättelyn premissejä (olivat ne kuinka "kummallisia" ja "hihasta ravistetun oloisia" muuten) voidaan testata niistä loogisesti seuraavien johtopäätösten avulla.

Aksioomia nimenomaisesti teorian sisällä EI PERUSTELLA TIEDOLLISESTI ollenkaan, määritelmällisesti, vaan ne ovat "perustelemattomia asettamuksia", joka lisäksi otetaan teoriaan ABSOLUUTTISENA, "(loogisesti) ehdottomana totuutena". Aksioomaan liittyvänä "uskonvahvistuksena" ja se asettamiseen johtaneena asiaintilana on usein empiirinen ns. suhteellinen totuus, joka "SOVITAAN ABSOLUUTTISEKSI", mutta tuollaisen johdattelevan empirian ("selviön") olemassaolo EI OLE OLEMUKSELLINEN aksiooman käsitteessä. "Selviö" on väärä "käännös" aksioomasta. (Vaikka Lenin kirjoittikin, että " inhimillisen tietoisuuden on täytynyt johdattaa tietoissu miljardikertaa toistamaan jotakin loogista kuviota, jotta siitä on tullut AKSIOOMA".)

Tällainen tiukka päättely tapahtuu periaatteessa AINA YHDEN TEORIAN SISÄLLÄ, sillä KÄSITEET OVAT ERI TEORIOIDEN VÄLILLÄ ERI TAVOIN MÄÄRITELTYJÄ, filosofisia yleiskäsitteitä ja usein (muttei aina) matemaattisia käsitteitä lukuun ottamatta.

Luonnolla, itse materialla, ei todellisuudessa ole alkeellisintakaan "velvollisuutta" "noudattaa" ihmisen keksimän muodollisen logiikan, ei klassisen eikä muidenkaan, voimassaolon materiaalisia edellytysksiä. Mutta se on sitten taas kolmas juttu; ensin perusasia, ja sitten vasta "hienoudet!

Vierailija
Peksa
abskissa
Peksa

Ahaa. Mihin muuhun se sitten perustuu?

Sen avulla voidaan tehdä käyttökelpoisia päätelmiä.



Niin, käyttötarkoitus on tietenkin selvä, perusta rationaaliselle ajattelulle. Mutta minua kiinnostaa, mistä aksioomat tulevat. Aksiooman hyväksyminen on tavallaan sama kuin jumalan olemassaolon hyväksyminen.



Ei ole, eikä "Jumalan olemassaolo" myöskään kelpaa aksioomaksi, koska 'Jumalaa' tuskin voidaan määritellä loogisesti ristiriidattomasti.
"Aksioomaa", joka "selittää kaiken", ei voida tetstata, eikä se siis "selitä" tieteellisesti yhtään mitään.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Aksioomia ei tarvitse hyväksyä totuutena, ja niiden mielekkyyttä voidaan tarkastella eri näkökulmista. Ne antavat vain lähtökohdan loogiselle päättelylle. Minä en osaa sanoa aksioomista mitään järkevää yleisemmällä tasolla, mutta voin valaista asiaa matematiikan perspektiivistä.

Matematiikassa aksioomat voidaan jakaa loogisiin aksioomiin, joilla kiinnitetään sallitut päättelysäännöt, ja ei-loogisiin aksioomiin, joita käytetään matemaattisen päättelyn lähtökohtina. Esimerkkinä ei-loogisista aksioomista reaaliluvut voidaan määritellä kiinnittämällä aksioomat, joista voidaan johtaa kaikki niiden ominaisuudet.

Hyvällä aksiomatisoinnilla on joitakin perusvaatimuksia. Redundantteja (muista aksioomista pääteltävissä olevia) aksioomia yleensä vältetään. Aksioomajärjestelmä ei saisi myöskään olla ristiriitainen. Ristiriidattomuus osoitetaan käytännössä konstruoimalla jokin malli, joka täyttää kaikki aksioomat. Reaaliluvut voidaan konstruoida esim. Dedekindin leikkauksilla tai rationaalisten Cauchy-jonojen avulla. Reaalilukujen aksiomatisoinnin yhtenä etuna on se, että niiden ominaisuuksia tutkittaessa ei tarvitse ottaa kantaa siihen, miten ne on konstruoitu. Aksioomiin viittaus riittää.

Sitten kun mennään matematiikan perusteisiin asti (joukko-oppi tai jokin muu perusrakennuspalikat antava teoria), aksioomien ristiriidattomuuden osoittaminen ei enää oikein onnistukaan.

Matematiikka on tietenkin siinä suhteessa erikoinen leikki, että sitä voidaan pitää täysin fiktiivisenä. Matemaattiset "totuudet" (eli lauseet; esimerkiksi Pythagoraan lause) ovat vain loogisia välttämättömyyksiä omassa konstekstissaan. Koska Pythagoraan lause näyttää kuitenkin olevan hyvin sopusointuisesti sovellettavissa, sen todistamiseen käytettäviä aksioomia voidaan pitää (siltä osin) mielekkäinä.

Yleisesti hyväksytystä joukko-opin aksiomatisoinnista (ZFC) voidaan myös johtaa täysin intuition vastaisia tuloksia. Mikään ei ehdottomasti takaa sitä, että kaikki matemaattiset lauseet olisivat siinä mielessä järkeviä tai käyttökelpoisia -- puhumattakaan siitä, että ne vastaisivat jotain metafyysistä totuutta.

We're all mad here.

Uusimmat

Suosituimmat