Sivut

Kommentit (9402)

PPo
Seuraa 
Viestejä15244

QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.

wisti
Seuraa 
Viestejä16321

PPo kirjoitti:
QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.


Saman hoksasin.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
notwen
Seuraa 
Viestejä80

käyttäjä-7929 kirjoitti:

"x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),."


Niin on, mutta ratkaisulla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa.
Ei tuosta yhtällöstä käy ilmi, että x(t) on kappaleen paikkavektorin komponentti ellei sitä erikseen mainiata.
By the way, yhtälöistä ja fysiikasta:
Tunnettu yhtälö m*d²x/dt² = F ei kuvaa klassisessa mekaniikassa täsmällisesti mitään fysikaalista tilannetta vaikka kerrottaisiin, että x on kappaleen paikkavektori ja F kappaleeseen vaikuttava voima, ellei kerrota myös erästä oleellista seikkaa...mitä seikkaa?

am=F

wisti
Seuraa 
Viestejä16321

notwen kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:

"x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),."


Niin on, mutta ratkaisulla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa.
Ei tuosta yhtällöstä käy ilmi, että x(t) on kappaleen paikkavektorin komponentti ellei sitä erikseen mainiata.
By the way, yhtälöistä ja fysiikasta:
Tunnettu yhtälö m*d²x/dt² = F ei kuvaa klassisessa mekaniikassa täsmällisesti mitään fysikaalista tilannetta vaikka kerrottaisiin, että x on kappaleen paikkavektori ja F kappaleeseen vaikuttava voima, ellei kerrota myös erästä oleellista seikkaa...mitä seikkaa?

No ainakin F edustaa voimien summaa ja m ei saa muuttua.

PPo
Seuraa 
Viestejä15244

notwen kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:

"x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),."


Niin on, mutta ratkaisulla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa.
Ei tuosta yhtällöstä käy ilmi, että x(t) on kappaleen paikkavektorin komponentti ellei sitä erikseen mainiata.
By the way, yhtälöistä ja fysiikasta:
Tunnettu yhtälö m*d²x/dt² = F ei kuvaa klassisessa mekaniikassa täsmällisesti mitään fysikaalista tilannetta vaikka kerrottaisiin, että x on kappaleen paikkavektori ja F kappaleeseen vaikuttava voima, ellei kerrota myös erästä oleellista seikkaa...mitä seikkaa?
Tarkastelut suoritetaan inertiaalikoordinaatistossa.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

PPo kirjoitti:
notwen kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:

"x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),."


Niin on, mutta ratkaisulla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa.
Ei tuosta yhtällöstä käy ilmi, että x(t) on kappaleen paikkavektorin komponentti ellei sitä erikseen mainiata.
By the way, yhtälöistä ja fysiikasta:
Tunnettu yhtälö m*d²x/dt² = F ei kuvaa klassisessa mekaniikassa täsmällisesti mitään fysikaalista tilannetta vaikka kerrottaisiin, että x on kappaleen paikkavektori ja F kappaleeseen vaikuttava voima, ellei kerrota myös erästä oleellista seikkaa...mitä seikkaa?
Tarkastelut suoritetaan inertiaalikoordinaatistossa.

Täytyy löytyä siis vuorovaikutus ja se toinen kappale, johon vaikuttaa -F (vastavoima).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
notwen kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:

"x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),."


Niin on, mutta ratkaisulla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa.
Ei tuosta yhtällöstä käy ilmi, että x(t) on kappaleen paikkavektorin komponentti ellei sitä erikseen mainiata.
By the way, yhtälöistä ja fysiikasta:
Tunnettu yhtälö m*d²x/dt² = F ei kuvaa klassisessa mekaniikassa täsmällisesti mitään fysikaalista tilannetta vaikka kerrottaisiin, että x on kappaleen paikkavektori ja F kappaleeseen vaikuttava voima, ellei kerrota myös erästä oleellista seikkaa...mitä seikkaa?
Tarkastelut suoritetaan inertiaalikoordinaatistossa.

Täytyy löytyä siis vuorovaikutus ja se toinen kappale, johon vaikuttaa -F (vastavoima).

Notwen/JPI ei ole vielä todennut oliko tämä se oleellinen seikka, vaiko jotain muuta veikeääkö oli mielessä...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Tauko
Seuraa 
Viestejä1373

7929: "
On täysin luvallista kirjoittaa vaikkapa differentiaaliyhtälö
x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),.
Nyt kuitenkin laskettiin yhteen nopeus ja kiihtyvyys ilman mitään ongelmia!"

- ei kai kuitenkaan fysiikassa luvallista ja ongelmatonta. Mielessäsi kaiketi jokin muuttujain vaihto, jolla yksiköt saadaan samoiksi (dimensioanalyysin kautta?)
Fysiikassa, kun ei voi laskea yhteen eri dimensioisia suureita. Ja toisaalta dim((df/dx))=dim(f/x), eli kiihtyvyys+nopeus lasku ei onnistu.

QS
Seuraa 
Viestejä5672

PPo kirjoitti:
QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.

Mekaniikan geometrisessa muotoilussa konfiguraatio määritellään monistoon M. Pisteet x∈M eivät kuitenkaan ole riittäviä, koska systeemin tilan määrittää paikan x(t) lisäksi nopeus v = x'(t).

Piste x∈M ja tangenttiavaruuden nopeusvektori v∈TxM riittäisivät, mutta x ja v ovat eri geometrisissa rakenteissa. M ei ole vektoriavaruus, TxM on. Paikka x siirretäänkin kotangenttiavaruuden T*xM vektoriksi siten, että vektorit ovat pareja (x,v) ∈ T*xM. Kun M = ℝ³, on T*xM:n dimensio on 2x3=6.

Kotangenttikimppu (TM)* on faasiavaruus ja (TM)*:n vektorikenttä on aikakehityksen kuvaamiseen.

(TM)* on itsekin monisto. Edellisen seurauksena (TM)*:n tangenttiavaruus pisteessä (x,v) voidaan käsitellä siten, että se on kahden avaruuden suorana summana: TxM ⊕ T*xM. Nyt pisteisiin (x,v) on kiinnitetty 6-ulotteinen (kotangenttikimpun) tangenttiavaruus. Näin x ja v ovat saman vektoriavaruuden eri komponentteja. Lisäksi tietysti TxM:n ja T*xM:n (avaruus ja duaaliavaruus) välinen yhteys löytyy sisätulolla. Tai metriikalla, jos ajattelee niin päin, että metriikka indusoi sisätulon. Yhteenlasku määritellään tyyliin (x,v)+(x,w)=(x,v+w) jne.

Voima F saadaan konfiguraatiomoniston M sileästä funktiosta V: M -> ℝ ulkoisella derivaatalla, eli F = -dV. Funktio V ∈ C∞(M) on 0-muoto. Ulkoinen derivaatta kuvaa p-muodon (p+1)-muodoksi, joten F on 1-muoto Ω¹(M) ∈ T*xM. Funktio V tässä tietysti mekaniikan potentiaalifunkio.

Voima on samalla (0,1)-tensori, ts. lineaarikuvaus F: TxM → ℝ: (x,v) → ℝ, joka syö vektorin ja tuottaa reaaliluvun. Kuvaus määritellään funktona F(x,v) = F(v) = <F,v> ∈ ℝ.

Voima valitussa koordinaatistossa (esim. karteesinen euklidinen) on edelleen differentiaali F = -dV = ( ∂V(x) / ∂xⁱ ) dxⁱ = ∂ᵢ V(x) dqⁱ, missä viimeisenä koordinaatistoesitys yleistetyillä q-koordinaateilla. Esimerkiksi jousivoima yksiulotteisessa koordinaatistossa olisi F = (d/dy) V(y), mikä on 1-muoto. Tämän 1-muodon tulkitsemiseen mekaniikan kannalta voidaan palata myöhemmin.

Muotoja voidaan integroida, ja voiman F käyrällä r tekemä työ määritelläänkin käyräintegraalina W = ∫ᵣ F = ∫ᵣ (Fᵢ dxⁱ). Tutummin koordinaatistossa W = ∫ F·dr = ∫ Fᵢ dqⁱ, joka esim. karteesisessa koordinaatistossa W = ∫ (F₁(x) dx¹ + F₂(x) dx² + F₃(x) dx³), missä integroidaan 1-muotoa.

Vektorien ja muotojen välillä on olemassa kuvaus J: TxM -> T*xM ja käänteiskuvaus J⁻¹: T*xM -> TxM. Käänteiskuvaus määritellään komponenttimuodossa: J⁻¹(w) = gⁱ ʲ wⱼ = vⁱ, missä w ∈ T*xM, wⱼ ja vⁱ ovat komponentteja, ja gⁱʲ metriikan gᵢⱼ käänteismatriisi. Tyypillisissä mekaniikassa muunnos on melko näkymätön, koska 1-muodon kantavektorit dxⁱ ja komponentit wᵢ muuntuvat kantavektoreiksi eᵢ ja komponenteiksi vⁱ, joiden arvot eivät muutu. Perinteinen voimavektori on silti pohjimmiltaan 1-muodon Hodgen duaali. Kätevää, koska vektori elää samassa avaruudessa kuin paikkavektori.

Tämä muotoilu ei vielä riitä mekaniikan liikeyhtälöiden muodostamiseen, joita varten lisätään symplektinen 2-muoto (koordinaatistossa Poissonin sulut), joka käsittelee kotangenttikimpun sileää funktiota (Hamiltonin funktio). Jääköön tämä nyt tähän yleistasolle tällä kertaa.

Olet PPo oikeassa, että F = -kx on jousivoima, mutta tarkasti ottaen F:n ja x:n hierominen yhteiseen vektoriavaruuteen vaatii jonnin verran ponnisteluja ;)

Tauko
Seuraa 
Viestejä1373

Palaan vielä nopeuden ja kiihtyvyyden yhteenlaskuun fysiikassa.

7929: "
On täysin luvallista kirjoittaa vaikkapa differentiaaliyhtälö
x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),.
Nyt kuitenkin laskettiin yhteen nopeus ja kiihtyvyys ilman mitään ongelmia!"

- yhtälö on matematiikassa täysin luvallinen ja ratkaisu matematiittisesti oikea.
Mutta, ei siinä fysiikan nopeutta, yksikkönä m/s ja kiihtyvyyttä m/s2 laskettu yhteen, vaan dimensiottomia matemaattisia olioita ja harmittavasti käyttäen vakiintuneita fysiikan symboleita, jolloin tässä vain sotkevat asiaa.

Fysiikan näkökulmasta lähtötilanne voisi olla
χ'(τ) + χ'(τ) = 0,

jossa χ= x/x0 ja τ=t/t0.
x0 ja t0 dimensiollisia vakioita.
[x0]=m, [t0]=s.

Yhtälön χ'(τ) + χ'(τ) = 0
matemaattisena ratkaisuna esim.
χ(τ) = e^( -τ)

Takaisin fysiikkaan käännettynä
x/x0=e^( -t/t0)
=> x(t) = x0 e^( -t/t0)
ja
nopeus x'(t) = - (x0/t0) e^( -t/t0)
kiihtyvyys x''(t) = (x0/t0^2) e^( -t/t0)

Näitten yhteenlasku ei fysiikassa onnistu.

wisti
Seuraa 
Viestejä16321

QS kirjoitti:
PPo kirjoitti:
QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.

Mekaniikan geometrisessa muotoilussa konfiguraatio määritellään monistoon M. Pisteet x∈M eivät kuitenkaan ole riittäviä, koska systeemin tilan määrittää paikan x(t) lisäksi nopeus v = x'(t).

Piste x∈M ja tangenttiavaruuden nopeusvektori v∈TxM riittäisivät, mutta x ja v ovat eri geometrisissa rakenteissa. M ei ole vektoriavaruus, TxM on. Paikka x siirretäänkin kotangenttiavaruuden T*xM vektoriksi siten, että vektorit ovat pareja (x,v) ∈ T*xM. Kun M = ℝ³, on T*xM:n dimensio on 2x3=6.

Kotangenttikimppu (TM)* on faasiavaruus ja (TM)*:n vektorikenttä on aikakehityksen kuvaamiseen.

(TM)* on itsekin monisto. Edellisen seurauksena (TM)*:n tangenttiavaruus pisteessä (x,v) voidaan käsitellä siten, että se on kahden avaruuden suorana summana: TxM ⊕ T*xM. Nyt pisteisiin (x,v) on kiinnitetty 6-ulotteinen (kotangenttikimpun) tangenttiavaruus. Näin x ja v ovat saman vektoriavaruuden eri komponentteja. Lisäksi tietysti TxM:n ja T*xM:n (avaruus ja duaaliavaruus) välinen yhteys löytyy sisätulolla. Tai metriikalla, jos ajattelee niin päin, että metriikka indusoi sisätulon. Yhteenlasku määritellään tyyliin (x,v)+(x,w)=(x,v+w) jne.

Voima F saadaan konfiguraatiomoniston M sileästä funktiosta V: M -> ℝ ulkoisella derivaatalla, eli F = -dV. Funktio V ∈ C∞(M) on 0-muoto. Ulkoinen derivaatta kuvaa p-muodon (p+1)-muodoksi, joten F on 1-muoto Ω¹(M) ∈ T*xM. Funktio V tässä tietysti mekaniikan potentiaalifunkio.

Voima on samalla (0,1)-tensori, ts. lineaarikuvaus F: TxM → ℝ: (x,v) → ℝ, joka syö vektorin ja tuottaa reaaliluvun. Kuvaus määritellään funktona F(x,v) = F(v) = <F,v> ∈ ℝ.

Voima valitussa koordinaatistossa (esim. karteesinen euklidinen) on edelleen differentiaali F = -dV = ( ∂V(x) / ∂xⁱ ) dxⁱ = ∂ᵢ V(x) dqⁱ, missä viimeisenä koordinaatistoesitys yleistetyillä q-koordinaateilla. Esimerkiksi jousivoima yksiulotteisessa koordinaatistossa olisi F = (d/dy) V(y), mikä on 1-muoto. Tämän 1-muodon tulkitsemiseen mekaniikan kannalta voidaan palata myöhemmin.

Muotoja voidaan integroida, ja voiman F käyrällä r tekemä työ määritelläänkin käyräintegraalina W = ∫ᵣ F = ∫ᵣ (Fᵢ dxⁱ). Tutummin koordinaatistossa W = ∫ F·dr = ∫ Fᵢ dqⁱ, joka esim. karteesisessa koordinaatistossa W = ∫ (F₁(x) dx¹ + F₂(x) dx² + F₃(x) dx³), missä integroidaan 1-muotoa.

Vektorien ja muotojen välillä on olemassa kuvaus J: TxM -> T*xM ja käänteiskuvaus J⁻¹: T*xM -> TxM. Käänteiskuvaus määritellään komponenttimuodossa: J⁻¹(w) = gⁱ ʲ wⱼ = vⁱ, missä w ∈ T*xM, wⱼ ja vⁱ ovat komponentteja, ja gⁱʲ metriikan gᵢⱼ käänteismatriisi. Tyypillisissä mekaniikassa muunnos on melko näkymätön, koska 1-muodon kantavektorit dxⁱ ja komponentit wᵢ muuntuvat kantavektoreiksi eᵢ ja komponenteiksi vⁱ, joiden arvot eivät muutu. Perinteinen voimavektori on silti pohjimmiltaan 1-muodon Hodgen duaali. Kätevää, koska vektori elää samassa avaruudessa kuin paikkavektori.

Tämä muotoilu ei vielä riitä mekaniikan liikeyhtälöiden muodostamiseen, joita varten lisätään symplektinen 2-muoto (koordinaatistossa Poissonin sulut), joka käsittelee kotangenttikimpun sileää funktiota (Hamiltonin funktio). Jääköön tämä nyt tähän yleistasolle tällä kertaa.

Olet PPo oikeassa, että F = -kx on jousivoima, mutta tarkasti ottaen F:n ja x:n hierominen yhteiseen vektoriavaruuteen vaatii jonnin verran ponnisteluja ;)


Höpö höpö. Juttusi ovat pelkkää hämäystä. Sinulla on yhteenlasku, joka ei ole määritelty. Kun sitten kerrot toista yhteenlaskettavaa sopivasti, saat lausekkeen, joka on määritelty. Ei siitä tämä määrittelemätön yhteenlasku saa sen kummempaa sisältöä.

wisti
Seuraa 
Viestejä16321

QS kirjoitti:
Mutta wisti. Yhtälö, johon viittaat, on aivan oikean muotoinen. Esim ilmanvastuksessa putoavan kappaleen liikeyhtälöksi voidaan kirjoittaa mg - kx'(t) = mx''(t), missä m,g ja k ovat vakioita. Erikoistapauksen mx''(t) + kx'(t) = 0 ratkaisuksi saadaan x(t) = (m/k) exp[ (-k/m)t ].

Perustelet nopeuden ja kiihtyvyyden yhteenlaskua sinänsä oikealla liikeyhtälöllä, joka muistuttaa jossain määrin kiihtyvyyden ja nopeuden yhteenlaskua ja sanot, että yhtälö on oikean muotoinen. Matematiikassa ei ole mitään ”oikeanmuotoisia” . Yhtälö on määritelty tai ei ole.

Tauko
Seuraa 
Viestejä1373

Uusi yritys, editori pudotti tupla '- pois.

Palaan vielä nopeuden ja kiihtyvyyden yhteenlaskuun fysiikassa.

7929: "
On täysin luvallista kirjoittaa vaikkapa differentiaaliyhtälö
x'(t) + x''(t) = 0 jonka eräs ratkaisu on x(t) = e^( - t),.
Nyt kuitenkin laskettiin yhteen nopeus ja kiihtyvyys ilman mitään ongelmia!"

- yhtälö on matematiikassa täysin luvallinen ja ratkaisu matemaattisesti oikea.
Mutta, ei siinä fysiikan nopeutta, yksikkönä m/s ja kiihtyvyyttä m/s2 laskettu yhteen, vaan dimensiottomia matemaattisia olioita ja harmittavasti käyttäen vakiintuneita fysiikan symboleita, jolloin tässä vain sotkevat asiaa.

Fysiikan näkökulmasta lähtötilanne voisi olla
χ'(τ) + χ''(τ) = 0,

jossa χ= x/x0 ja τ=t/t0.
x0 ja t0 dimensiollisia vakioita.
[x0]=m, [t0]=s.

Yhtälön χ'(τ) + χ''(τ) = 0
matemaattisena ratkaisuna esim.
χ(τ) = e^( -τ)

Takaisin fysiikkaan käännettynä
x/x0=e^( -t/t0)
=> x(t) = x0 e^( -t/t0)
ja
nopeus x'(t) = - (x0/t0) e^( -t/t0)
kiihtyvyys x''(t) = (x0/t0^2) e^( -t/t0)

Näitten yhteenlasku ei fysiikassa onnistu.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Huomenta, tässä alla onkin tiukkaa asiaa:

QS kirjoitti:
PPo kirjoitti:
QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.

Mekaniikan geometrisessa muotoilussa konfiguraatio määritellään monistoon M. Pisteet x∈M eivät kuitenkaan ole riittäviä, koska systeemin tilan määrittää paikan x(t) lisäksi nopeus v = x'(t).

Piste x∈M ja tangenttiavaruuden nopeusvektori v∈TxM riittäisivät, mutta x ja v ovat eri geometrisissa rakenteissa. M ei ole vektoriavaruus, TxM on. Paikka x siirretäänkin kotangenttiavaruuden T*xM vektoriksi siten, että vektorit ovat pareja (x,v) ∈ T*xM. Kun M = ℝ³, on T*xM:n dimensio on 2x3=6.

Kotangenttikimppu (TM)* on faasiavaruus ja (TM)*:n vektorikenttä on aikakehityksen kuvaamiseen.

(TM)* on itsekin monisto. Edellisen seurauksena (TM)*:n tangenttiavaruus pisteessä (x,v) voidaan käsitellä siten, että se on kahden avaruuden suorana summana: TxM ⊕ T*xM. Nyt pisteisiin (x,v) on kiinnitetty 6-ulotteinen (kotangenttikimpun) tangenttiavaruus. Näin x ja v ovat saman vektoriavaruuden eri komponentteja. Lisäksi tietysti TxM:n ja T*xM:n (avaruus ja duaaliavaruus) välinen yhteys löytyy sisätulolla. Tai metriikalla, jos ajattelee niin päin, että metriikka indusoi sisätulon. Yhteenlasku määritellään tyyliin (x,v)+(x,w)=(x,v+w) jne.

Voima F saadaan konfiguraatiomoniston M sileästä funktiosta V: M -> ℝ ulkoisella derivaatalla, eli F = -dV. Funktio V ∈ C∞(M) on 0-muoto. Ulkoinen derivaatta kuvaa p-muodon (p+1)-muodoksi, joten F on 1-muoto Ω¹(M) ∈ T*xM. Funktio V tässä tietysti mekaniikan potentiaalifunkio.

Voima on samalla (0,1)-tensori, ts. lineaarikuvaus F: TxM → ℝ: (x,v) → ℝ, joka syö vektorin ja tuottaa reaaliluvun. Kuvaus määritellään funktona F(x,v) = F(v) = <F,v> ∈ ℝ.

Voima valitussa koordinaatistossa (esim. karteesinen euklidinen) on edelleen differentiaali F = -dV = ( ∂V(x) / ∂xⁱ ) dxⁱ = ∂ᵢ V(x) dqⁱ, missä viimeisenä koordinaatistoesitys yleistetyillä q-koordinaateilla. Esimerkiksi jousivoima yksiulotteisessa koordinaatistossa olisi F = (d/dy) V(y), mikä on 1-muoto. Tämän 1-muodon tulkitsemiseen mekaniikan kannalta voidaan palata myöhemmin.

Muotoja voidaan integroida, ja voiman F käyrällä r tekemä työ määritelläänkin käyräintegraalina W = ∫ᵣ F = ∫ᵣ (Fᵢ dxⁱ). Tutummin koordinaatistossa W = ∫ F·dr = ∫ Fᵢ dqⁱ, joka esim. karteesisessa koordinaatistossa W = ∫ (F₁(x) dx¹ + F₂(x) dx² + F₃(x) dx³), missä integroidaan 1-muotoa.

Vektorien ja muotojen välillä on olemassa kuvaus J: TxM -> T*xM ja käänteiskuvaus J⁻¹: T*xM -> TxM. Käänteiskuvaus määritellään komponenttimuodossa: J⁻¹(w) = gⁱ ʲ wⱼ = vⁱ, missä w ∈ T*xM, wⱼ ja vⁱ ovat komponentteja, ja gⁱʲ metriikan gᵢⱼ käänteismatriisi. Tyypillisissä mekaniikassa muunnos on melko näkymätön, koska 1-muodon kantavektorit dxⁱ ja komponentit wᵢ muuntuvat kantavektoreiksi eᵢ ja komponenteiksi vⁱ, joiden arvot eivät muutu. Perinteinen voimavektori on silti pohjimmiltaan 1-muodon Hodgen duaali. Kätevää, koska vektori elää samassa avaruudessa kuin paikkavektori.

Tämä muotoilu ei vielä riitä mekaniikan liikeyhtälöiden muodostamiseen, joita varten lisätään symplektinen 2-muoto (koordinaatistossa Poissonin sulut), joka käsittelee kotangenttikimpun sileää funktiota (Hamiltonin funktio). Jääköön tämä nyt tähän yleistasolle tällä kertaa.

Olet PPo oikeassa, että F = -kx on jousivoima, mutta tarkasti ottaen F:n ja x:n hierominen yhteiseen vektoriavaruuteen vaatii jonnin verran ponnisteluja ;)

Kuikas sattuikaan, olen juuri tässä vuodenvaihteen jälkeen kertaillut semi-intensiivisesti juuri tätä geometrista mekaniikkaa, jossa esiintyy näitä yllä mainitsemiasi käsitteitä. Tästä pitäisi avata ihan uusi ketju ja tämä tekstisi kävisi hyväksi alustukseksi, josta sitten voisi lähteä kehittelemään eri juttuja. Ajattelin ensin avata itse oman ketjun lainaten tekstiäsi, mutta teen sen vasta huomenna, jollet kerkeä aikaisemmin..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta, tässä alla onkin tiukkaa asiaa:

QS kirjoitti:
PPo kirjoitti:
QS kirjoitti:
jatkan vielä. Sanoit: Onhan kR+ F mielekäs, jos k on esim. 5 N/m .

kR + F on mielekäs vain jos R ja F kuuluvat samaan vektoriavaruuteen, tai k on jokin lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin R toiseen vektoriavaruuteen F. Ei riitä että k on skalaari, jolla on jokin hevos/banaani-yksikkö.

Mutta nehän kuuluvat!

F on voima ja k on selvästikin jousivakio ja kR on harmoninen voima.

Mekaniikan geometrisessa muotoilussa konfiguraatio määritellään monistoon M. Pisteet x∈M eivät kuitenkaan ole riittäviä, koska systeemin tilan määrittää paikan x(t) lisäksi nopeus v = x'(t).

Piste x∈M ja tangenttiavaruuden nopeusvektori v∈TxM riittäisivät, mutta x ja v ovat eri geometrisissa rakenteissa. M ei ole vektoriavaruus, TxM on. Paikka x siirretäänkin kotangenttiavaruuden T*xM vektoriksi siten, että vektorit ovat pareja (x,v) ∈ T*xM. Kun M = ℝ³, on T*xM:n dimensio on 2x3=6.

Kotangenttikimppu (TM)* on faasiavaruus ja (TM)*:n vektorikenttä on aikakehityksen kuvaamiseen.

(TM)* on itsekin monisto. Edellisen seurauksena (TM)*:n tangenttiavaruus pisteessä (x,v) voidaan käsitellä siten, että se on kahden avaruuden suorana summana: TxM ⊕ T*xM. Nyt pisteisiin (x,v) on kiinnitetty 6-ulotteinen (kotangenttikimpun) tangenttiavaruus. Näin x ja v ovat saman vektoriavaruuden eri komponentteja. Lisäksi tietysti TxM:n ja T*xM:n (avaruus ja duaaliavaruus) välinen yhteys löytyy sisätulolla. Tai metriikalla, jos ajattelee niin päin, että metriikka indusoi sisätulon. Yhteenlasku määritellään tyyliin (x,v)+(x,w)=(x,v+w) jne.

Voima F saadaan konfiguraatiomoniston M sileästä funktiosta V: M -> ℝ ulkoisella derivaatalla, eli F = -dV. Funktio V ∈ C∞(M) on 0-muoto. Ulkoinen derivaatta kuvaa p-muodon (p+1)-muodoksi, joten F on 1-muoto Ω¹(M) ∈ T*xM. Funktio V tässä tietysti mekaniikan potentiaalifunkio.

Voima on samalla (0,1)-tensori, ts. lineaarikuvaus F: TxM → ℝ: (x,v) → ℝ, joka syö vektorin ja tuottaa reaaliluvun. Kuvaus määritellään funktona F(x,v) = F(v) = <F,v> ∈ ℝ.

Voima valitussa koordinaatistossa (esim. karteesinen euklidinen) on edelleen differentiaali F = -dV = ( ∂V(x) / ∂xⁱ ) dxⁱ = ∂ᵢ V(x) dqⁱ, missä viimeisenä koordinaatistoesitys yleistetyillä q-koordinaateilla. Esimerkiksi jousivoima yksiulotteisessa koordinaatistossa olisi F = (d/dy) V(y), mikä on 1-muoto. Tämän 1-muodon tulkitsemiseen mekaniikan kannalta voidaan palata myöhemmin.

Muotoja voidaan integroida, ja voiman F käyrällä r tekemä työ määritelläänkin käyräintegraalina W = ∫ᵣ F = ∫ᵣ (Fᵢ dxⁱ). Tutummin koordinaatistossa W = ∫ F·dr = ∫ Fᵢ dqⁱ, joka esim. karteesisessa koordinaatistossa W = ∫ (F₁(x) dx¹ + F₂(x) dx² + F₃(x) dx³), missä integroidaan 1-muotoa.

Vektorien ja muotojen välillä on olemassa kuvaus J: TxM -> T*xM ja käänteiskuvaus J⁻¹: T*xM -> TxM. Käänteiskuvaus määritellään komponenttimuodossa: J⁻¹(w) = gⁱ ʲ wⱼ = vⁱ, missä w ∈ T*xM, wⱼ ja vⁱ ovat komponentteja, ja gⁱʲ metriikan gᵢⱼ käänteismatriisi. Tyypillisissä mekaniikassa muunnos on melko näkymätön, koska 1-muodon kantavektorit dxⁱ ja komponentit wᵢ muuntuvat kantavektoreiksi eᵢ ja komponenteiksi vⁱ, joiden arvot eivät muutu. Perinteinen voimavektori on silti pohjimmiltaan 1-muodon Hodgen duaali. Kätevää, koska vektori elää samassa avaruudessa kuin paikkavektori.

Tämä muotoilu ei vielä riitä mekaniikan liikeyhtälöiden muodostamiseen, joita varten lisätään symplektinen 2-muoto (koordinaatistossa Poissonin sulut), joka käsittelee kotangenttikimpun sileää funktiota (Hamiltonin funktio). Jääköön tämä nyt tähän yleistasolle tällä kertaa.

Olet PPo oikeassa, että F = -kx on jousivoima, mutta tarkasti ottaen F:n ja x:n hierominen yhteiseen vektoriavaruuteen vaatii jonnin verran ponnisteluja ;)

Kuikas sattuikaan, olen juuri tässä vuodenvaihteen jälkeen kertaillut semi-intensiivisesti juuri tätä geometrista mekaniikkaa, jossa esiintyy näitä yllä mainitsemiasi käsitteitä. Tästä pitäisi avata ihan uusi ketju ja tämä tekstisi kävisi hyväksi alustukseksi, josta sitten voisi lähteä kehittelemään eri juttuja. Ajattelin ensin avata itse oman ketjun lainaten tekstiäsi, mutta teen sen vasta huomenna, jollet kerkeä aikaisemmin..

Tietysti aihe vaihdetaan nyt esim. geometriseen tuloon, joka on pistetulon ja kiilatulon summa. Sitten päästään sujuvasti antikommutoivuuteen ja yleisemmin ei-kommutoivuuteen, kunnes ollaan vain hukassa matematiikassa... :DD

Mikäpä siinä - Cliffordin algebra on maukasta, mutta sisällöllisestä keskustelusta siirrytään punastelujen kautta floodaamaan opintomuistiinpanoja käyttäen aikaa hankalien notaatioiden esittämiseen netin keskustelupalstalla. Missä arvokkuus?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tästä pitäisi avata ihan uusi ketju ja tämä tekstisi kävisi hyväksi alustukseksi, josta sitten voisi lähteä kehittelemään eri juttuja. Ajattelin ensin avata itse oman ketjun lainaten tekstiäsi, mutta teen sen vasta huomenna, jollet kerkeä aikaisemmin..

Ehdottomasti. Ja done. Avasin erillisen langan, jossa voi jauhaa ajan kanssa. 

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Eusa kirjoitti:
mutta sisällöllisestä keskustelusta siirrytään punastelujen kautta floodaamaan opintomuistiinpanoja käyttäen aikaa hankalien notaatioiden esittämiseen netin keskustelupalstalla. Missä arvokkuus?

Sanomamedia huolehtii kyllä siitä, että notaatio on hankala toteuttaa. Sisällöntuotannossa puolestaan nimim. Nature on pätevämpi 😉.

Arvokkuus. Jaa a, Alepan alelaarista ehkä löytyy.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

QS kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
mutta sisällöllisestä keskustelusta siirrytään punastelujen kautta floodaamaan opintomuistiinpanoja käyttäen aikaa hankalien notaatioiden esittämiseen netin keskustelupalstalla. Missä arvokkuus?

Sanomamedia huolehtii kyllä siitä, että notaatio on hankala toteuttaa. Sisällöntuotannossa puolestaan nimim. Nature on pätevämpi 😉.

Arvokkuus. Jaa a, Alepan alelaarista ehkä löytyy.


Ymmärrätkö mitä keskustelun sisältöarvo voisi olla?

Deskriptiivisen tunnetun geometrian kopiointi ei anna varsinaisesti lisäarvoa. Vasta kuvausten avaaminen analogioin tai mekanistisin mallein voi antaa yleisellä palstalla mielekkyyttä fysiikan juttuihin. Naturen jorinat ovat oikein aitoa puppugenerointia.

Entäpä matematiikka? Periaatteiden logiikan jäsentäminen ja popularisointi voisi toimia. Siksi itse koitan tuoda näköalaan sitä kuinka kertolasku antaa vuorovaikutustuloksen , yhteenlasku siirtymän, jakolasku rakennepotentiaalin ja erotus kuvaa heijastusta...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Eusa kirjoitti:

Ymmärrätkö mitä keskustelun sisältöarvo voisi olla?

Deskriptiivisen tunnetun geometrian kopiointi ei anna varsinaisesti lisäarvoa. Vasta kuvausten avaaminen analogioin tai mekanistisin mallein voi antaa yleisellä palstalla mielekkyyttä fysiikan juttuihin. Naturen jorinat ovat oikein aitoa puppugenerointia.

Entäpä matematiikka? Periaatteiden logiikan jäsentäminen ja popularisointi voisi toimia. Siksi itse koitan tuoda näköalaan sitä kuinka kertolasku antaa vuorovaikutustuloksen , yhteenlasku siirtymän, jakolasku rakennepotentiaalin ja erotus kuvaa heijastusta...

Aivan. Tuotan tähän kohti seuraavanlaista sisältöarvoa. Edellä mainitun geometrisen muotoilun eräs ajatus on, että kaikki klassisen mekaniikan observaabelit löytyvät monistoon M muodostuvan käyrän ominaisuuksista.

Fysikaalisesti mitattavia ovat esim. paikka (käyrä projektoituna koordinaatistoon) ja nopeus (kellon ja käyrän kehittymisen tuijottelua koordinaatistossa).

Lisäksi käyrästä on selvitettävissä siirtymän avulla esim. voiman tekemä työ kuten aiemmasta viestisäni kävi ilmi. Voiman mittaaminen on käyrää pitkin tapahtuvien siirtymien mittaamista: kun pesäpallomaila osuu takaraivoon, mittaa kroppa hitusten siirtymää monistossa ja kohteena olevan henkilön mahdollien siirtymä pesäpallokentällä on siirtymä sekin. Tästä saadaan johdettua suure, jota kutsutaan voimaksi. Käyrän ominaisuuksista löytyy myös mm. teho.  Tämmöistä aluksi.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat