Visuaalinen tulkinta matematiikan ja fysiikan suhteen

Seuraa 
Viestejä2644
Liittynyt4.10.2005

Voin rehellisesti sanoa että matemaattiset kaavat on minulle suurimmilta osin hepreaa. Visuaalisesti voi monet asiat tehdä helpommin selväksi niille jotka ei ole perehtynyt ja omaksunut yhtälöitä ja kaavoja. Kirjaimet ja numerot on mustaa valkoisella mutta miten te alan nerot yleensä tajuatte fysiikka ja metmatiikkaa?

Halki, poikki, pinoon - pois mielestä.

Sivut

Kommentit (44)

Vierailija

Asioita voi tietenkin jollain tasolla sisäistää helpommin kuvia käyttämällä. Valitettavasti esim. jonkin matemaattisen kaavan todistamisessa kuvasta ei ole muuta hyötyä kuin antamaan idean analyyttisestä todistuksesta. Kuvahan on monesti vain yksi erikoistapaus, ja voi lisäksi olla piirretty väärin tai epätarkasti. Lisäksi jos tukeutuu vain kuviin, joutuu suureiden arvotkin arviomaan kuvasta, mikä taas aiheuttaa epätarkkuutta tuloksiin.

Mutta visuaalinen puoli siis nimenomaan auttaa asian ymmärtämisessä.

deepndark
Seuraa 
Viestejä2644
Liittynyt4.10.2005
^Quantum^
Asioita voi tietenkin jollain tasolla sisäistää helpommin kuvia käyttämällä. Valitettavasti esim. jonkin matemaattisen kaavan todistamisessa kuvasta ei ole muuta hyötyä kuin antamaan idean analyyttisestä todistuksesta. Kuvahan on monesti vain yksi erikoistapaus, ja voi lisäksi olla piirretty väärin tai epätarkasti. Lisäksi jos tukeutuu vain kuviin, joutuu suureiden arvotkin arviomaan kuvasta, mikä taas aiheuttaa epätarkkuutta tuloksiin.

Mutta visuaalinen puoli siis nimenomaan auttaa asian ymmärtämisessä.




Voisitko sinä tai joku muu näyttää jonkun yksinkertaisen kaavan ja selittää sen niin hyvin kuin pystyt?

Halki, poikki, pinoon - pois mielestä.

Vierailija

Tasogeometria on eräs paremmin visuaalisesti tulkittana asia, jossa kaavat ovat usein helppoja; Kolmion pinta-ala = kanta*korkeus/2
Tuo ei ota mitään kantaa yksiköihin joka voi olla vaikka kynttä. Oma tai standardoitu.

Epäsäännollisen alan voi peittää tunnetuilla ja niiden lukumäärä määrää tarkkuuden. MInkä tahansa alan saa myös näin mutta spesifinen kaava on käyttökelposempi.

Nerouteen en ota kantaa ...

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Täällä on hienoja visualisointeja satunnaisuudesta:
http://www.random-walk.com/index_en.htm

Kaikki asiat eivät kuitenkaan ole kovin helposti visualisoitavissa. Matematiikassa pääsee jo pitkälle tarkalla kielikorvalla. Ongelmien ratkaisussa tarvitaan tietenkin paljon muutakin.

Ehkä matemaattisesti lahjakkailla on luontainen taipumus luoda abstrakteista asioista visualisointeja päässään. Minulle oli suuri ihmetys, kun sain tietää, että kaikilla ihmisillä ei ole mielessään visualisointia vuosiluvuista aikajanalla. Minulla on selvä mielikuva historian aikajanasta eräänlaisena tason käyränä. Tämä visualisointi toimii muistitukena. On helpompaa muistaa vuosiluku sen sijainnin perusteella kuin numerosarjana. En kuitenkaan osaa piirtää tätä käyrää tarkasti paperille.

We're all mad here.

Vierailija
deep'n'dark
^Quantum^
Asioita voi tietenkin jollain tasolla sisäistää helpommin kuvia käyttämällä. Valitettavasti esim. jonkin matemaattisen kaavan todistamisessa kuvasta ei ole muuta hyötyä kuin antamaan idean analyyttisestä todistuksesta. Kuvahan on monesti vain yksi erikoistapaus, ja voi lisäksi olla piirretty väärin tai epätarkasti. Lisäksi jos tukeutuu vain kuviin, joutuu suureiden arvotkin arviomaan kuvasta, mikä taas aiheuttaa epätarkkuutta tuloksiin.

Mutta visuaalinen puoli siis nimenomaan auttaa asian ymmärtämisessä.




Voisitko sinä tai joku muu näyttää jonkun yksinkertaisen kaavan ja selittää sen niin hyvin kuin pystyt?



No tässäpä yksi: Kuuluisa kolmioepäyhtälö
||x+y|| ≤ ||x||+||y||
Tässä ||x|| on mielivaltaisen vektorin x pituus ja ||y|| mielivaltaisen vektorin y pituus. ||x+y|| on näiden vektoreiden summana saadun vektorin pituus. Tämä yhtälö kertoo esim. sen, että suora on lyhin reitti kahden pisteen välillä. Katso esimerkiksi sivun http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality oikeassa yläreunassa olevaa kuvaa. Tuossa kuvassa toinen vektori on vain siirretty alkamaan toisen vektorin päätepisteestä.

Tässäkin tapauksessa kaava on kuvaa voimallisempi, sillä kolmioepäyhtälö pätee muissakin kuin kolmiulotteisissa (Euklidisissa) avaruuksissa. Esim. yksiulotteisessa tapauksessa voit korvata vektorit lukujen itseisarvoilla, eli
|a+b| ≤ |a|+|b|.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
deep'n'dark
Voin rehellisesti sanoa että matemaattiset kaavat on minulle suurimmilta osin hepreaa. Visuaalisesti voi monet asiat tehdä helpommin selväksi niille jotka ei ole perehtynyt ja omaksunut yhtälöitä ja kaavoja. Kirjaimet ja numerot on mustaa valkoisella mutta miten te alan nerot yleensä tajuatte fysiikka ja metmatiikkaa?



Neroudesta en tiedä, mutta itse kyllä visualisoin aina kaikki abstraktitkin asiat mielessäni. Tai yritän etsiä jonkun analogian, jonka pystyy helposti visualisoimaan mielessä. Esimerkkejä:

- Differentiaaliyhtälöt ovat jonkin kappaleen liikettä avaruudessa, jossa voi olla vastusta, hitautta, pyörimistä, jotain voimia jne.
- Osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat jonkun langan, pinnan tai nesteen muuttumista ajassa. Tai jokainen piste on vähän niin kuin liikettä avaruudessa, mutta vierekkäiset pisteet on sidottu toisiinsa.
- Sigma-algebrat, borel-algebrat yms ovat jotain paloihin jaettuja pintoja tai kappaleita. Lebesgue-integraalit, Radon-Nikodym-teoreemat jne menevät samalla visualisoinnilla.
- Todennäköisyyslaskenta menee ajattelemalla kaikki Gaussisiksi klönteiksi, nopanheiton tuloksiksi tai bussien kulkemisajoiksi pysäkin ohi.
- Martingaalit, Markov-prosessit, Markovin ketjut yms menee samoin kuin differentiaaliyhtälöt, mutta niitä mahdollisia kappaleen reittejä on todella paljon vierekkäin ja niillä on eri painot.
- Matriisit ovat jotain vääntöjä, kääntöjä tai skaalauksia. LIneaarioperaattorit taas näitä sekä myös derivointeja, integrointeja sekä konvoluutioita (näillä taas on omat visualisointinsa).

Mutta näin kai näitä kaikki visualisoi mielessään (vai onko näin?).

Vierailija
Stratonovich
Mutta näin kai näitä kaikki visualisoi mielessään (vai onko näin?).



Aivan noin pitkälle en kyllä ainakaan itse mielessäni visualisoi. En esimerkiksi viitsi alkaa miettiä mitään fysikaalista/biologista/muuta vastinetta annetulle differentiaaliyhtälölle ellei sitä erikseen pyydetä. Tilanteen visualisointi ei kuitenkaan ratkaisua oleellisesti helpota, kun joka tapauksessa pitää niistä differentiaaleista tavalla tai toisella päästä eroon. Tilanne on tietysti toinen, jos tarkasteltavana on jokin nimenomainen fysikaalinen ongelma, josta yhtälö täytyy itse muodostaa.

Matriisejakaan en yleensä ala visualisoimaan (riippuu tietysti tilanteesta, useissa fysikaalisissa ongelmissa se kyllä auttaa). Matriisiongelmissa usein mietin, mitä kysytty asia tarkoittaa lineaarioperaattoreilla ja pohdiskelun tulosta voi sitten soveltaa matriiseihin, kun kanta on ensin kiinnitetty.

Minulle geometria on ollut aina melko hankalaa. Useimmiten pyrinkin palauttamaan geometriset ongelmat analyyttisiksi ongelmiksi, joihin voi hyödyntää vektoreita ja calculusta. Tietty joskus kannattaa menetellä toisinkin päin: jos esimerkiksi pyydettäisiin laskemaan

Integraali(0 -> 2) [ Sqrt[1-(x-1)^2]dx]

niin taitaisinpa todeta, että vastaa 1-säteisen puoliympyrän pinta-alaa Pi/2 enkä alkaisi sijoituksilla kikkailemaan.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Stratonovich
Mutta näin kai näitä kaikki visualisoi mielessään (vai onko näin?).



Aivan noin pitkälle en kyllä ainakaan itse mielessäni visualisoi. En esimerkiksi viitsi alkaa miettiä mitään fysikaalista/biologista/muuta vastinetta annetulle differentiaaliyhtälölle ellei sitä erikseen pyydetä. Tilanteen visualisointi ei kuitenkaan ratkaisua oleellisesti helpota, kun joka tapauksessa pitää niistä differentiaaleista tavalla tai toisella päästä eroon. Tilanne on tietysti toinen, jos tarkasteltavana on jokin nimenomainen fysikaalinen ongelma, josta yhtälö täytyy itse muodostaa.



Itselläni tässä voi olla taustalla se, että lähes aina differentiaaliyhtälöt mihin törmään mallintavat jotain ilmiötä. Vai mistä muualta differentiaaliyhtälöt voivat tulla? Mutta jos näen vaikka differentiaaliyhtälön

d^2x/dt^2 = -f(dx/dt) - k x + u

mietin heti, että kyseessä on vähän niin kuin jousi missä on nopeudesta riippuva vaimennus f sekä ulkoinen häiriö u. Pienillä u:n arvoilla tai lineaarisella f tämä on toisaalta lineaarinen suodatin, jolla on joku taajuus mitä se vahvistaa. Spektrinkin tuosta saa helposti Fourier-muuntamalla mielessään.

Tietysti jos yhtälö pitää vain "ratkaista" eli esimerkiksi pitää ratkaista joku deterministinen alkuarvo-ongelma, niin silloin visualisoinnista ei juurikaan ole hyötyä.

kurnimaha
Matriisejakaan en yleensä ala visualisoimaan (riippuu tietysti tilanteesta, useissa fysikaalisissa ongelmissa se kyllä auttaa). Matriisiongelmissa usein mietin, mitä kysytty asia tarkoittaa lineaarioperaattoreilla ja pohdiskelun tulosta voi sitten soveltaa matriiseihin, kun kanta on ensin kiinnitetty.



Yksinkertaistin omassa kommentissani hieman, koska ainoastaan kolmessa ulottuvuudessa matriiseja voi ajatella kiertoina, skaalauksina jne. Itse kyllä mieluiten visualisoin fiksatussa kannassa ja voihan sitä myös jakaa kuvauksen y = Ax skalaariyhtälöiksi kuten

y3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ...

Tämä on helppo visualisoida niin, että vaikka x2 suuntaan mennessä kuljetaan suoraa pitkin jonka kulmakerroin on a32. Taas jos x2 ja x3 muuttuvat, kuljetaan tasolla jne.

Miten tuon A:n voisi visualisoida kantariippumattomasti? Olen aika huono tensorilaskennassa, josta syystä kantariippumattomuus ei ole luonnollinen asia minulle.

kurnimaha
Minulle geometria on ollut aina melko hankalaa. Useimmiten pyrinkin palauttamaan geometriset ongelmat analyyttisiksi ongelmiksi, joihin voi hyödyntää vektoreita ja calculusta. Tietty joskus kannattaa menetellä toisinkin päin: jos esimerkiksi pyydettäisiin laskemaan

Integraali(0 -> 2) [ Sqrt[1-(x-1)^2]dx]

niin taitaisinpa todeta, että vastaa 1-säteisen puoliympyrän pinta-alaa Pi/2 enkä alkaisi sijoituksilla kikkailemaan.




Näin yksinkertainen ongelma tosiaan meneekin ihan pelkällä symbolien pyörittelyllä - jos ei ole varma niin voi laittaa tuon mapleen/matlabiin/mathematicaan/maximaan ja saa varmistettua tuloksen.

On totta, että geometriset ongelmat joutuukin palauttamaan analyyttisiksi ainakin likimäärin, jotta ne voi ratkaista. Mutta visualisointi auttaa löytämään oikeat sijoitukset, oikeat approksimaatiot sekä hajun siitä onko ratkaisua edes olemassa.

Vierailija
Stratonovich
Itselläni tässä voi olla taustalla se, että lähes aina differentiaaliyhtälöt mihin törmään mallintavat jotain ilmiötä. Vai mistä muualta differentiaaliyhtälöt voivat tulla?

Sieltähän ne tulevat, mutta kun differentiaaliyhtälöitä opetellaan ratkomaan, niin usein yhtälö annetaan valmiina ja tehtävänä on vain ratkaista se. Tietysti tutulta näyttävien diffiksien (kuten vaikka aaltoyhtälön) fysikaalisen merkityksen tietää, mutta noin yleisesti en kovin paljoa vaivaa viitsi nähdä sen selvittämiseen, millaista prosessia yhtälö kuvaa, jos tiedolla ei mitään tee. Jos differentiaaliyhtälö täytyy itse järkeillä, niin tilanne on toinen.

Miten tuon A:n voisi visualisoida kantariippumattomasti? Olen aika huono tensorilaskennassa, josta syystä kantariippumattomuus ei ole luonnollinen asia minulle.

Eihän sitä oikein voi, jos kanta ei ole kiinnitetty. Tarkoitinkin lähinnä sitä, että jos esimerkiksi huomaan matriisin olevan hermiittinen ja epäilen, että siitä saattaisi olla jotain hyötyä ongelman ratkaisuun, niin alan yleisellä tasolla pohdiskelemaan, millaisia ominaisuuksia itseadjungoiduilla operaattoreilla on ja mitä niistä seuraa. Teoreemat on joka tapauksessa sen verran abstraktisti muotoiltuja, että käyttökelpoisia tuloksia palautuu usein mieleen, kun alkaa miettiä tilannetta yleisemmin.

Aktiivisesti pyrin visualisoimaan lähinnä määritelmiä. Esimerkiksi topologisia avaruuksia koskevien määritelmien idea on huomattavasti helpompaa hoksata, kun kuvan avulla miettii, mitä se tarkoittaa Eukliidisessa tapauksessa R^2. Tai esimerkiksi matriisin ominaisarvojen ja niitä vastaavien ominaisvektoreiden yhteyden hoksaamisessa on pienestä piirtelystä kyllä apua.

Jos annetun kuvauksen toiminnan tarkempi selvittely on syystä tai toisesta oleellista, niin tokihan niitä sitten voi mietiskellä ja vähän käppyrää piirrellä. Mutta jos laskettavana on vain jokin tylsä determinantti tai muu puhdas laskurutiinitehtävä, niin eipä sitä kauheasti viitsi miettiä, millainen kuvauksen sielunelämä ihan tarkalleen on. Vaikka aika paljonhan jo pelkästä determinantin arvostakin selviää sen kummemmin miettimättä

Vierailija

Sen verran voisin vielä jatkaa, että oma ajatteluni noin yleisesti on enemmän algebrallista kuin geometrista. En esimerkiksi mietiskele geometrisesti funktioiden ortogonaalisuutta, vaikka se sisätulon määräämässä geometriassa onkin täysin analogista tavallisten vektoreiden kohtisuoruudelle. Tai affiineja aliavaruuksia geometrisina tasoina vaan ennemminkin algebrallisina sivuluokkina. Jostain syystä en koe abstraktien asioiden geometristen vastineiden miettimistä erityisen tarpeelliseksi, vaikka periaatteessa vastaavuudet tiedänkin. Tuntuu vähän kummalta sotkea avaruusgeometriaa johonkin sellaiseen asiaan, joka toimii algebrallisesti samalla tavalla vaikka kerroinkuntana olisikin reaalilukujen sijasta kokonaisluvut modulo 7.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Sen verran voisin vielä jatkaa, että oma ajatteluni noin yleisesti on enemmän algebrallista kuin geometrista. En esimerkiksi mietiskele geometrisesti funktioiden ortogonaalisuutta, vaikka se sisätulon määräämässä geometriassa onkin täysin analogista tavallisten vektoreiden kohtisuoruudelle. Tai affiineja aliavaruuksia geometrisina tasoina vaan ennemminkin algebrallisina sivuluokkina. Jostain syystä en koe abstraktien asioiden geometristen vastineiden miettimistä erityisen tarpeelliseksi, vaikka periaatteessa vastaavuudet tiedänkin. Tuntuu vähän kummalta sotkea avaruusgeometriaa johonkin sellaiseen asiaan, joka toimii algebrallisesti samalla tavalla vaikka kerroinkuntana olisikin reaalilukujen sijasta kokonaisluvut modulo 7.



Itse asiassa kyllä tunnustan ajattelevani affiineja aliavaruuksia tasoina 3d-avaruudessa. Samoin ortogonaalisuutta ajattelen ensimmäisenä vektorien ortogonaalisuuden kautta. Esimerkiksi ortogonaaliprojektion, Gram-Schmidtit ja muut muistan tuollaisen analogian kautta. Ehdollinen odotusarvo tuo mieleen vektorien ortogonaaliprojektiot 3d:ssä, vaikka kyse onkin hieman moniulotteisemmasta ortogonaaliprojektiosta. No joo, ensisijaisesti ajattelen tiheysfunktiolla, mutta jos haluan ajatella funktionaalianalyyttisesti, niin sitten noin.

Joka tapauksessa monet aputulokset ja niiden todistukset saa mietittyä ensin läpi äärellisulotteisilla analogioilla ja sen jälkeen voi kirjoittaa auki analogisen ääretönulotteisen vastineen. Ehkä tämä ajattelutapa johtuu siitä, että ensimmäinen kunnon kosketus matematiikkaan oli joskus muinoin koodatessa 3d-rutiineja jollekin muinaiselle tietokoneelle.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Stratonovich
Miten tuon A:n voisi visualisoida kantariippumattomasti? Olen aika huono tensorilaskennassa, josta syystä kantariippumattomuus ei ole luonnollinen asia minulle.

Eihän sitä oikein voi, jos kanta ei ole kiinnitetty. Tarkoitinkin lähinnä sitä, että jos esimerkiksi huomaan matriisin olevan hermiittinen ja epäilen, että siitä saattaisi olla jotain hyötyä ongelman ratkaisuun, niin alan yleisellä tasolla pohdiskelemaan, millaisia ominaisuuksia itseadjungoiduilla operaattoreilla on ja mitä niistä seuraa. Teoreemat on joka tapauksessa sen verran abstraktisti muotoiltuja, että käyttökelpoisia tuloksia palautuu usein mieleen, kun alkaa miettiä tilannetta yleisemmin.

Sinänsä mielenkiintoista, että itse tuppaan mielessäni muuntamaan itseadjugoidut operaattorit symmetrisiksi (tai hermittiisiksi) matriiseiksi ja miettimään ominaisuudet sitä kautta. Se vaan johtuu siitä, että matriisilaskenta on selkärangassa, mutta operaattoreilla laskeminen ei.

Vierailija
Stratonovich
Sinänsä mielenkiintoista, että itse tuppaan mielessäni muuntamaan itseadjugoidut operaattorit symmetrisiksi (tai hermittiisiksi) matriiseiksi ja miettimään ominaisuudet sitä kautta. Se vaan johtuu siitä, että matriisilaskenta on selkärangassa, mutta operaattoreilla laskeminen ei.

Ajattelutapaan vaikuttanee melko paljon se, miten teoriaan on tutustunut. Itse olen lineaarialgebraa syvällisemmin miettinyt melko algebrallisesta näkökulmasta, jossa tulokset todistettiin (mikäli mahdollista) yleisesti vektoriavaruudessa F^n (F on mielivaltainen kunta) ja kuvauksia tarkasteltiin nimenomaan operaattoreina ja operaattorialgebroina. Kun operaattoreita koskeva teoreema saatiin todistettua, todettiin sitten korollaarina, millaisessa muodossa teoreema voidaan esittää matriisien avulla jne. Kun myöhemmin tutustuin muuhun lineaarialgebraa käsittelevään kirjallisuuteen, niin yllätyin kyllä hieman. Tavallinen esitystapa paljastuikin enemmän geometrisia analogioita etsiväksi ja usein myös matriisikeskeisemmäksi.

Operaattorinäkökulma on ehkä matriisinäkökulmaa abstraktimpi ja joissain kohdissa joutuu kyllä tekemään enemmän hommia (esimerkiksi determinantin määritteleminen ensin operaattoreille ja vasta sen jälkeen matriiseille oli jonkin verran työläämpää). Toisaalta teoriasta tulee heti kertaheitolla astetta yleisempää, kun operaattoritodistukset eivät ole yhtä kantariippuvia kuin niiden matriisivastineet.

Vierailija

Lineaarialgebra on kyllä sinällään aika jännä alue, kun sitä voi käsitellä niin monesta eri näkökulmasta. Kirjoittajan omasta mielenkiinnonkohteesta riippuen käsittely voi olla hyvinkin geometrista tai sitten erittäin algebrallista. Tai sitten teoriaa halutaan koko ajan suunnata analyysiin ja sen sovelluksiin. Jotkut inhoavat determinantteja eivätkä halua niitä käyttää missään ellei ole aivan pakko. Toiset taas pitävät determinantteja oivana käsittelytapana moniin ongelmiin.

Tämä koulukuntajakoisuus käy aika hauskalla tavalla ilmi esimerkiksi Sheldon Axlerin kirjasta Linear Algebra Done Right ja Sergei Treilin vastineesta Linear Algebra Done Wrong

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Stratonovich
Sinänsä mielenkiintoista, että itse tuppaan mielessäni muuntamaan itseadjugoidut operaattorit symmetrisiksi (tai hermittiisiksi) matriiseiksi ja miettimään ominaisuudet sitä kautta. Se vaan johtuu siitä, että matriisilaskenta on selkärangassa, mutta operaattoreilla laskeminen ei.

Ajattelutapaan vaikuttanee melko paljon se, miten teoriaan on tutustunut. Itse olen lineaarialgebraa syvällisemmin miettinyt melko algebrallisesta näkökulmasta, jossa tulokset todistettiin (mikäli mahdollista) yleisesti vektoriavaruudessa F^n (F on mielivaltainen kunta) ja kuvauksia tarkasteltiin nimenomaan operaattoreina ja operaattorialgebroina. Kun operaattoreita koskeva teoreema saatiin todistettua, todettiin sitten korollaarina, millaisessa muodossa teoreema voidaan esittää matriisien avulla jne. Kun myöhemmin tutustuin muuhun lineaarialgebraa käsittelevään kirjallisuuteen, niin yllätyin kyllä hieman. Tavallinen esitystapa paljastuikin enemmän geometrisia analogioita etsiväksi ja usein myös matriisikeskeisemmäksi.

Operaattorinäkökulma on ehkä matriisinäkökulmaa abstraktimpi ja joissain kohdissa joutuu kyllä tekemään enemmän hommia (esimerkiksi determinantin määritteleminen ensin operaattoreille ja vasta sen jälkeen matriiseille oli jonkin verran työläämpää). Toisaalta teoriasta tulee heti kertaheitolla astetta yleisempää, kun operaattoritodistukset eivät ole yhtä kantariippuvia kuin niiden matriisivastineet.


Ymmärrän kyllä että abstraktimpi näkökulma on yleisempi, mutta silti pidän enemmän siitä että ensin käsitellään yksinkertainen tapaus ja se yleistetään kuin toisinpäin. Siis näin jos joku tulos halutaan oikeasti löytää. Totta kai sitten kun siitä vaikkapa kirjoitetaan tieteellinen artikkeli, niin ensin johdetaan yleinen tulos ja siitä erikoistapauksena se yksinkertainen.

Stokastiikan kirjallisuudessa olen joskus törmännyt sellaiseen, että koko kirja on dedikoitu hienon teorian rakentamiseen esimerkiksi Wiener-avaruuksien ja kaiken maailman tähtitopologioiden avulla. Mutta sitten kuitenkin kaikki funktiot ovat siellä "measurable and bounded" - siispä koko teoria ei päde edes lineaarisille systeemeille, saatikka millekään sen monimutkaisemmille.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat