Seuraa 
Viestejä1
Liittynyt27.1.2014

Tarkoittaako differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu funktiojoukkoa, jossa on kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut mukana?

..eli integroidaan differentiaaliyhtälö (jotakinY'=jotakinXY) muotoon (y=jotakinX+C)

Jos lasken yhtälölle yleisen ratkaisun ja minun pitää "näyttää laskemalla, että saamani ratkaisu todella on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu", niin mitä lasken - etsinkö arvoja jotka todistavat ratkaisun pätevän kaikilla arvoilla?

Ja kyllä, läksyjä teen, mutta yritän samalla ymmärtää mitä yleinen ratkaisu tarkoittaa.

Kommentit (3)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Differentiaaliyhtälöt ratkeavat yleensä jonkin sortin integroinnin tuloksena, jolloin ratkaisuihin tulee integroimisvakioita, kaiketi yhtä monta kuin yhtälön kertaluku.

Esimerkiksi yhtälön y” + y = 0 ratkaisu on y = c1 sin x + c2 cos x. Tämä on sitten yleinen ratkaisu. Tässä sattuvat olemaan tuon yhtälön kaikki ratkaisut, mutta voisi olla muitakin ratkaisuja, jota eivät ole tuota muotoa. Nämä ovat erikoisratkaisuja, joka pitää jollain muulla tavalla keksiä.

Periaatteessa kai differentiaaliyhtälönkin ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien ratkaisujen löytämistä, myös erikoisratkaisujen. Eli jos ratkaisuja löytyy, niin pitäisi perustella, että siinä ovat kaikki.

Ratkaisu perustellaan ratkaisuksi sijoittamalla ihan samalla tavalla kuin muissakin yhtälöissä eli derivoit ratkaisuehdokkaan tarvittavan monta kertaa ja sijoitat derivaatat yhtälöön, jolloin yhtälön pitäisi toteutua. Eli esimerkiksi edellä derivoit funktion y = c1 sin x + c2 cos x kaksi kertaa ja sijoitat lausekkeet yhtälöön y’’ + y = 0. Vasemman puolen pitäisi olla identtisesti nolla ts. olipa c:t tai x:t mitä tahansa.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010
Opettaja

Periaatteessa kai differentiaaliyhtälönkin ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien ratkaisujen löytämistä, myös erikoisratkaisujen. Eli jos ratkaisuja löytyy, niin pitäisi perustella, että siinä ovat kaikki.

 

No ei kai sentään lukiokurssiin kuulu osoittaa, että muita ratkaisuja ei ole.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun täydellisyyden todistaminen on yleisesti ottaen hyvin vaativa tehtävä, eikä sellaista tee muut kuin (ammatti)matemaatikot.

Lukiolainen saattaa kyllä viitata oppikirjaan, jossa sanotaan ettei muita ratkaisuja ole.

-myl

 

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
myl
Opettaja

Periaatteessa kai differentiaaliyhtälönkin ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien ratkaisujen löytämistä, myös erikoisratkaisujen. Eli jos ratkaisuja löytyy, niin pitäisi perustella, että siinä ovat kaikki.

No ei kai sentään lukiokurssiin kuulu osoittaa, että muita ratkaisuja ei ole.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun täydellisyyden todistaminen on yleisesti ottaen hyvin vaativa tehtävä, eikä sellaista tee muut kuin (ammatti)matemaatikot.

Lukiolainen saattaa kyllä viitata oppikirjaan, jossa sanotaan ettei muita ratkaisuja ole.

-myl

Ei kuulu osoittaminen lukiokurssiin, koskapa differtiaaliyhtälöitäkään ei siellä ole.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat