Seuraa 
Viestejä1
Liittynyt26.2.2014

Funktio f on määritelty välillä ]-1,1[ ja derivaatta f ´ on olemassa kohdassa x = 0, 

mutta ei välttämättä muualla. Määritä 

 

 

lim x->0 ((f(2x^3)-f(-2x^3))/(x^3)

tiedän, että vastaus on 2f'(0), mutta en tiedä miten vastaukseen päädytään. :S Kyseessä on  YO K91 tehtävä 9.

 

Kommentit (8)

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Divergent

Funktio f on määritelty välillä ]-1,1[ ja derivaatta f ´ on olemassa kohdassa x = 0, 

mutta ei välttämättä muualla. Määritä 

 

 

lim x->0 ((f(2x^3)-f(-2x^3))/(x^3)

tiedän, että vastaus on 2f'(0), mutta en tiedä miten vastaukseen päädytään. :S Kyseessä on  YO K91 tehtävä 9.

 

Olkoon f(x) = x. Tällöin lausekkeesi on  ((2x^3) - (-2x^3)) / x^3 = 4 ja sen limes kun x -> 0 on myös 4. Kuitenkin f'(0) = 1 ja 2 f'(0) = 2 joten antamasi vastaus on väärä.

Sinulla pitäisi nimittäjässä olla 2x^3.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Ohman

[quote author="Divergent" time="26.02.2014 klo 16:05"]

Funktio f on määritelty välillä ]-1,1[ ja derivaatta f ´ on olemassa kohdassa x = 0, 

mutta ei välttämättä muualla. Määritä 

lim x->0 ((f(2x^3)-f(-2x^3))/(x^3)

tiedän, että vastaus on 2f'(0), mutta en tiedä miten vastaukseen päädytään. :S Kyseessä on  YO K91 tehtävä 9.

Olkoon f(x) = x. Tällöin lausekkeesi on  ((2x^3) - (-2x^3)) / x^3 = 4 ja sen limes kun x -> 0 on myös 4. Kuitenkin f'(0) = 1 ja 2 f'(0) = 2 joten antamasi vastaus on väärä.

Sinulla pitäisi nimittäjässä olla 2x^3.

Ohman

Jaoin vastauksen kahteen osaan ettei kone söisi sitä.

Kirjoita lausekkeesi kahdessa osassa:

(f(2x^3) - f(0)) / (2x^3) - (f(-2x^3) - f(0)) / 2x^3 . Ensimmäisen limes on f'(0). Kirjoita jälkimmäinen termi (tuo - merkkinen)  näin

(f(-2x^3) - f(0)) / (-2x^3). Nyt tämänkin limes on f'(0) ja koko lausekkeen limes on 2 f'(0).

Molemmat limekset siis ihan derivaatan määritelmän mukaan, tuo "h" on nyt 2x^3 tai -2x^3.

Nyt myös tuo yllä antamani esimerkki menee oikein, lausekkeen limes on  2 f'(0) = 2

Ohman

Neutroni
Seuraa 
Viestejä29585
Liittynyt16.3.2005
myl

Eikös tuo nyt kuitenkin menisi helpommin d'Hospitalin säännöllä?

 

Sitä ei saanut lukiossa käyttää ainakaan wanhaan hyvään aikaan.

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010
Neutroni

Sitä ei saanut lukiossa käyttää ainakaan wanhaan hyvään aikaan.

 

Mikäs pykälä laskemisen kieltää.

Olkoon f ja g funktioita.

Määrättävä z=lim (f/g).

Kirjoitetaan zg = f.

Derivoidaan z'g + zg' = f'.

josta z=(f'-z'g)/g'.

Tehtävässä rajalla g=0, joten

z=f'/g'.

 

-myl

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Ensinnäkin:tällainen tehtävä on paras ratkaista käyttämällä suoraan derivaatan määritelmää eikä kikkailemalla.

Toiseksi: L'Hospitalin sääntö kertoo, että jos meillä on f(x) ja g(x) ja ja jos on olemassa

limes f'(x) / g'(x) niin limes f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x). Mutta tämä edellyttää  funktioista f ja g esim. että ne tehtävän intervallilla ovat jatkuvia ja että ne ovat differentioituvia tuolla intervallilla.Mutta tässä tehtävässä ei f-funktiosta tiedetty kuin että sillä on derivaatta pisteessä x=0.

Kaikkea sitä joutuu selittämään. Eipä ole ensimmäinen kerta,kun annan hyvän ja oikean ratkaisun ja sitten sitä joku "viisas" rupeaa virheellisesti reposteleman! Perehtyisitte "viisaat" asiaan edes vähän ennenkuin rupeatte kommentoimaan.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
myl
Neutroni

Sitä ei saanut lukiossa käyttää ainakaan wanhaan hyvään aikaan.

 

Mikäs pykälä laskemisen kieltää.

Olkoon f ja g funktioita.

Määrättävä z=lim (f/g).

Kirjoitetaan zg = f.

Derivoidaan z'g + zg' = f'.

josta z=(f'-z'g)/g'.

Tehtävässä rajalla g=0, joten

z=f'/g'.

 

 

-myl

Humpuukia. Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008
myl
Neutroni

Sitä ei saanut lukiossa käyttää ainakaan wanhaan hyvään aikaan.

 

Mikäs pykälä laskemisen kieltää.

Olkoon f ja g funktioita.

Määrättävä z=lim (f/g).

Kirjoitetaan zg = f.

Derivoidaan z'g + zg' = f'.

josta z=(f'-z'g)/g'.

Tehtävässä rajalla g=0, joten

z=f'/g'.

 

-myl

Kuten ohman totesi, humpuukia.

Jos olisit osoittanut, että z:lla on derivaatta kohdassa 0, suorituksesta toki olisi tullut pisteitä.

Helpoin ratkaisu kuitenkin ohmanin esittämä.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat