Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Jos a,b,c,d>0, niin seuraava epäyhtälö on voimassa

[(1+d)^(1/3)][a/[3(b^3+abcd)^(1/3)] + b/[3(c^3+abcd)^(1/3)] + c/[3(a^3+abcd)^(1/3)]] ≥ 1

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Sivut

Kommentit (41)

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

 

 

 

 

 

 

 

Vähän pyörittelin ja päädyin edeltävään epäyhtälöön. Viinaa ja huoria sille palstalaiselle ken tuon todistaa.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

pöhl
Seuraa 
Viestejä919
Liittynyt19.3.2005

En osannut, mutta joku muu osasi. Tämä menee kai soveltamalla ensiksi Hölderin epäyhtälön jotain yleistystä ja sitten aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. http://math.stackexchange.com/questions/707212/how-to-prove-four-variable-inequality-involving-sums-of-cube-roots/710409#710409 . En kyllä tiedä, onko tuo todistus pätevä, kun tuo b=mid(a,b,c) on uusi tuttavuus minulle.

Edit: Taitaa tuo b=mid(a,b,c) tarkoittaa, että joko a<=b<=c tai c<=b<=a.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Cargo

Pyörittelin ja päädyin edeltävään epäyhtälöön. Viinaa ja huoria sille palstalaiselle ken tuon todistaa.

Gargolla lienee mielessä joku näppärä todistus, mutta eipä tullut ajatelleeksi, että tämähän menee? raaalla voimalla.

Merkitään ensimmäistä juurrettavaa  f(d). Derivoimalla nähdään, että

f on kasvava, kun   b^2 >=ac, muuten vähenevä.

Siis  f(d) >= f(0) = 1/b^3   tai  f(d)>= lim (x->oo) f(d) = 1/abc.

Vastaava pätee muille juurrettaville.

Käymällä läpi mahdolliset  a,b, c  -järjestyskombinaatiot  nähtäneen väite.

(Tämä ei ihan symmetrinen lauseke taida olla?)

Esimerkiksi tapaus  b^2 >=ac, a^2 >=bc, jolloin on välttämättä oltava  c^2<=ab:

Lausekkeen arvo on vähintään

 a/b + b *kuutiojuuri(1/abc) + c/a = (a^2 + bc)/ab + b*kuutiojuuri(1/abc)

>= 2bc/bc + b*kuutiojuuri(1/b*b^2) = 2 + 1 = 3.

Jos tämä todistus osoittautuu oikeaksi, palkkiot voi lähettää lähimpään Matkahuoltoon.

pöhl
Seuraa 
Viestejä919
Liittynyt19.3.2005
Opettaja

Käymällä läpi mahdolliset  a,b, c  -järjestyskombinaatiot  nähtäneen väite.

Minusta tämä on liian ylimalkaisesti sanottu. Jossain epäyhtälössä vetosin kanssa samantapaiseen argumenttiin ja se ei toiminutkaan. Tietysti nyt kun yksi ratkaisu on olemassa, niin tiedetään, että kaikissa tapauksissa epäyhtälö pätee, mutta eri tapausten todistukset voivat olla hankalia. En osaa täydentää yksityiskohtia.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Järjestyskombinaatioita on vain 6:

a^2 >=bc, b^2 >=ac,  c^2<=ab

a^2 >=bc, b^2 <=ac,  c^2>=ab

a^2 <=bc, b^2 >=ac,  c^2>=ab

a^2 >=bc, b^2 <=ac,  c^2<=ab

a^2 <=bc, b^2 >=ac,  c^2<=ab

a^2 <=bc, b^2 <=ac,  c^2>=ab

Kolme ensimmäistä menee tuossa aiemmin esittämälläni tavalla.

Jälkimmäisissä tulee kaksi 1/abc-lauseketta ja yksi 1/a^3-tyyppinen.

Hiukkasen paperilla pyöriteltyäni saan tapauksesta a^2 >=bc, b^2 <=ac,  c^2<=ab

alarajaksi 1 +(b+c)/a, jossa jälkimmäinen termi voi olla vaikka kuinka pieni, eli ei tämä tosiaan toimi, ellen nyt jotain väärin laskenut.

Pitäköön Cargo huoransa, semminkin kun taitaa tuo ensimäisenkin tapauksen todistus olla pielessä. Olisihan tuo vähän turhan karkea arvio ollutkin.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Cargo

Vähän pyörittelin ja päädyin edeltävään epäyhtälöön. Viinaa ja huoria sille palstalaiselle ken tuon todistaa.

Eräs huomio tuosta epäyhtälöstä:

Kirjoitetaan se muotoon

(1+d)^(1/3) * (g(a,b,c,d) + g(b,c,a,d) + g(c,a,b,d)) = (1+d)^(1/3) * G(a,b,c,d) > = 3

Tutkitaan nyt G:n sijasta funktiota F(a,b,c,d) = 1/g(a,b,c,d) + 1/g(b,c,a,d) + 1/g(c,a,b,d)

Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että

1/3 * F >= (1/g(a,b,c,d) * 1/g(b,c,a,d) * 1/g((c,a,b,d)) * (1/3)

Jos suoritetaan tuo kertolasku,saadaan sievennysten jälkeen osoittajaan lauseke

(abc)^(1/3) * (1 + (ab/c^2 + ca/b^2 + bc/a^2) * d + (a^2/bc + b^2/ac + c^2/ab) * d^2 + d^3)^(1/9) ja nimittäjään (abc)^(1/3).

Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että jos meillä on positiivisia funktioita,joiden tulo on vakio, niiden summa saavuttaa minimin, jos voidaan järjestää niin, että noilla funktioilla on sama arvo.Kun a=b=c saadaan siis tulos,että tuo äskeinen lauseke >= (abc)^(1/3) * (1 + 3d + 3 d^2 + d^3)^(1/9) eli

(abc)^(1/3) * (1+d)^(1/3) eli 1/3 * F >= (1+d)^(1/3).

Siis on 1/(1+d)^(1/3) * F >= 3 eli tuo käänteisarvoista saatava epäyhtälö, kun siis myös otetaan (1+d)^(1/3) lausekkeenkin tilalle sen käänteisarvo, antaa saman tuloksen (>= 3).

Lisäksi koska aritmeettinen keskiarvo >= harmoninen keskiarvo, saadaan tulos

(1) 1/3 * G >= 3/F eli

(2)  (1+d)^(1/3)*G* 1/(1+d)^(1/3) * F >= 9.

Vaikka (2) päteekin ja olen yllä todistanut, että 1/(1+d)^(1/3) * F >= 3 niin tästä ei voi päätellä, että Cargon epäyhtälö (1+d)^(1/3) * G(a,b,c,d) >= 3 pitäisi paikkansa. G saattaisi saada pieniä arvoja silloin kun F taas saa suuria arvoja ja (2) olisi voimassa vaikka Cargon epäyhtälö ei olisikaan.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Voisiko Cargon epäyhtälön todistaa ihan differentiaalilaskulla?

Olkoon Cargon epäyhtälön vasemmalla puolella oleva funktio f(d;a,b,c). Pidän tässä d:tä parametrina ja kyseessä on siis jokaisella d:n arvolla eräs kolmen muuttujan (a,b,c) funktio.Jatkossa kirjoitan myös vain lyhyesti f. 

Epäyhtälö sanoo, että f >= 3. f(d;a,a,a) = 3 joten epäyhtälö sanoo, että pisteissä (a,a,a) (origosta lähtevällä puolisuoralla origo pois luettuna) f:llä on globaali minimi (alueessa a>0,b>0,c>0) eli

f(d;a,b,c) >= f(d;a,a,a)

f:llä on symmetria f(d;a,b,c) = f(d;b,c,a) = f(d;c,a,b). Lisäksi f on nolla-asteen homogeenifunktio ja sen ensimmäiset derivaatat ovat siis homogeenifunktioita astetta -1.

Jos muodostetaan f:n ensimmäiset derivaatat ihan derivaatan määritelmän mukaan ja käytetään tuota symmetriaa, saadaan tulokseksi että pisteessä (a,a,a) näillä derivaatoilla on sama arvo :

 (1)  d/dx f = d/dy f = d/dz f.

Eulerin homogeenifunktioita koskevan lauseen mukaan saadaan

x * d/dx f + y * d/dy f  + z * d/dz f = 0, joten (1) :stä seuraa, että pisteessä (a,a,a) nuo kaikki kolme osittaisderivaattaa ovat nollia. f-funktiolla voisi siis olla ääriarvo pisteessä (a,a,a).

Jos muodostetaan toiset derivaatat taas ihan derivaatan määritelmän mukaan (erotusosamäärä) saadaan tulos, että pisteessä (a,a,a) on

d^2 f / dx^2 = d^2 f / dy^2 = d^2 f / dz^2 ja kaikilla "sekaderivaatoilla " (xy,xz,yx,yz,zx, zy) on myös keskenään sama arvo. Kun käytetään Eulerin lausetta f:n ensimmäisiin derivaattoihin ja muistetaan että ne ovat homogeenisia astetta -1 ja niillä on pisteessä (a,a,a) arvo 0, saadaan vielä tulos

d^2 f /dx^2 = - 2 d^2 f /(dx dy).Muistetaan lisäksi, mitä edellisessä lauseessa sanoin.

Näistä tuloksista seuraa, että f-funktion Hessen matriisin determinantilla on arvo 0 pisteessä (a,a,a) (oikeammin pisteissä).

Nähdään, että edes laskematta noiden toisten derivaattojen arvoja voidaan huomata, että vielä niiden avulla ei voida päätellä, onko f:llä edes minimi pisteessä (a,a,a) globaalista minimistä puhumattakaan. Tarvittaisiin lisäpäättelyä ja juttu menee hankalaksi.

Jatkuu...

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

On siis hankalaa päätellä, onko f:llä edes minimi pisteissä (a,a,a) globaalista minimistä puhumattakaan.

Joskus tein vastaavanlaisessa tehtävässä tempun, että otin käyttöön uudet muuttujat

u = b/a ja v = c/a. f muuttuu nyt kahden muuttujan funktioksi h(u,v),joka ei ole enää 0- homogeeninen muuttujien u ja v funktio ja  jota on vähän helpompi derivoida.Tästä saattaisi syntyä tulos, että h:lla on minimi,kun u=v = 1. Mutta enpä lähde näiden kuutiojuurien kanssa tähän leikkiin, varsinkin kun vaikka tuo leikki onnistuisi, tulos ei vielä takaisi kuin lokaalin minimin ja globaalia tässä etsitään.

Differentiaalilaskennasta ei siis ole ainakaan helppoa apua tähän tehtävään.

Jaoin tämän jutun kahteen osaan, ettei kone taas haukkaisi sitä sisäänsä.

Ohman

Eusa
Seuraa 
Viestejä15149
Liittynyt16.2.2011
Cargo

Raja-arvotarkastelun kannalta nuo himphamput voi jättää pois ja tarkastella epäyhtälöä (a^n/b^n+b^n/c^n+c^n/a^n)^-n > 3. Lisäykset ovat nimittäin positiivisia ja kun käytetään rajattoman kasvun menetelmää, jäävät "kardinaliteetiltaan" marginaaliin. 

Lisäksi riittää todeta, että yhtälö saa joillain parametreilla arvon tasan kolme.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Eusa
Cargo

 

 

 

 

 

 

 

Raja-arvotarkastelun kannalta nuo himphamput voi jättää pois ja tarkastella epäyhtälöä (a^n/b^n+b^n/c^n+c^n/a^n)^-n > 3. Lisäykset ovat nimittäin positiivisia ja kun käytetään rajattoman kasvun menetelmää, jäävät "kardinaliteetiltaan" marginaaliin. 

Lisäksi riittää todeta, että yhtälö saa joillain parametreilla arvon tasan kolme.

Heh-heh!

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Eusa
Cargo

 

 

 

 

 

 

 

Raja-arvotarkastelun kannalta nuo himphamput voi jättää pois ja tarkastella epäyhtälöä (a^n/b^n+b^n/c^n+c^n/a^n)^-n > 3. Lisäykset ovat nimittäin positiivisia ja kun käytetään rajattoman kasvun menetelmää, jäävät "kardinaliteetiltaan" marginaaliin. 

Lisäksi riittää todeta, että yhtälö saa joillain parametreilla arvon tasan kolme.

Vaikka tuo nyt olikin täyttä humpuukia, niin totean kuitenkin seuraavaa:

a^n/b^n +b^n/c^n + c^n/a^n >= 3 (positiivisia funktioita joiden tulo on vakio). Siis

(a^n/b^n + b^n / c^n + c^n / a^n) ^(-n) <= (1/3)^n jos n on positiivinen kokonaisluku.

Jos n < 0 on -n >0 ja tuo lauseke on >= 3^(-n).

Mutta mitäpä tekemistä tällä on Cargon epäyhtälön kanssa? Selvä eusamaisuus astui taas esiin!

Ohman  

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
Liittynyt31.12.2013
Bolzma

Miä en ole mikän matemaatikko, vaan CNC-sorvari, mutta laitan tämän nyt tähän http://aijaa.com/MmQWVS  lopussa täytyisi vielä selvittää kumpi ääriarvo...

korjataan sitä nyt kun on aikaa, mutta se ongelma siinä nyt vieläkin on, että se ääriarvo ei oikein minimiltä vaikuta, paremminkin maksimilta: http://aijaa.com/cjw6mI

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Bolzma
Bolzma

Miä en ole mikän matemaatikko, vaan CNC-sorvari, mutta laitan tämän nyt tähän http://aijaa.com/MmQWVS  lopussa täytyisi vielä selvittää kumpi ääriarvo...

korjataan sitä nyt kun on aikaa, mutta se ongelma siinä nyt vieläkin on, että se ääriarvo ei oikein minimiltä vaikuta, paremminkin maksimilta: http://aijaa.com/cjw6mI

Minähän jo näytin kirjoituksessani, että sen Cargon funktion osittaisderivaatat ovat nollia kun a = b = c.Ja funktion arvo on tuolloin 3.

Tämän pystyin osoittamaan noita derivaattoja laskemattakin käyttäen hyväksi funktion 0-homogeenisuutta ja sitä mainitsemaani symmetriaa.

Ongelman ydin on siinä, että tämä ehto ei riitä edes siihen, että funktiolla on tuossa pisteessä ääriarvo,vaan tämä vaatii lisätutkimusta. Ja vaikka olisikin, on vielä todistettava, että se on nimenomaan minimi.Ja globaali minimi.

Jos sijoitat lausekkeeseesi 4 tuon x=y=z, kuten teit, siitä tulee 3 x (tai 3 y tai 3 z).

Itse asiassa on aina a/b + b/c + c/a > = 3, kunhan nuo luvut vain ovat positiivisia.

Mutta sitten. Sinun pitäisi sijoittaa lausekkeeseen 4 nuo arvot x = d/n, y = d/k ja z = d/m ja taas on lauseke monimutkainen. Vasta sitten voit derivoida sitä esim. k:n suhteen.

Tässä nyt oli muutamia ajatuksia jutustasi.

Ohman

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat