Seuraa 
Viestejä2

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

  • ylös 0
  • alas 0

Sivut

Kommentit (39)

myl
Seuraa 
Viestejä224

Merkitse kolmion kateetteja vaikka x ja y.

Kirjoita y muiden sivujen funktiona.

Kirjoita kolmion pinta-alan  A lauseke.

Eliminoi siitä y yllä olevalla lausekkeella.

Laske  dA/dx ja merkitse se nollaksi.

Ratkaise x.

 

Hauska ja hyvä tehtävä; ei ole ennen tullut vastaan.

 

-myl

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Pinta-ala saa maksiminsa myös kun sen neliö saa maksiminsa. Eli jos toinen kateetti on b pinta-alan neliö on b²·(a² - b²)/4. Maksimia haettaessa voi tuon neljällä jakamisenkin unohtaa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
unbiased
Seuraa 
Viestejä1863

Suorakulmaisen kolmion ala on xy/2 = (a²*cos α*sin α)/2 = sin 2α*a²/4.

Derivaatassa on tekijä cos 2α joka on nolla ääriarvokohdassa, α = 45º.

PPo
Seuraa 
Viestejä15376
Hannele114

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

Geometrinen ratkaisu.

Piirrä puoliympyrä, jonka halkaisija on a. Koska puoliympyrän sisältäma kehäkulma on suora. saat kaikki kysymykseen tulevat suorakulmaiset kolmiot piirtämällä kehäpisteestä janat halkaisijan päätepisteisiin. 

Pinta-alaltaan suurin on kolmio, jonka korkeus on suurin.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351

Minä taas en oikein tykkää tehtävistä. joissa pitäisi jotain derivoimalla laskea, vaikka kysymyksessä on mielestäni itsestäänselvyys. Tässä vähemmän itsestäänselvä derivointi tehtävä. Tehtävä on ruotsaisesta lukiosta, joten kyllä pitäisi olla helppo. 

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Jorma

Minä taas en oikein tykkää tehtävistä. joissa pitäisi jotain derivoimalla laskea, vaikka kysymyksessä on mielestäni itsestäänselvyys. Tässä vähemmän itsestäänselvä derivointi tehtävä. Tehtävä on ruotsaisesta lukiosta, joten kyllä pitäisi olla helppo. 

Fysikaalisesti tehtävän tilanteessa painovoivoimakentän potentiaalienergia muuttuu kiertyvän sauvan liike-energiaksi. Siksi tehtävässä pitää tarkastella sauvan painopisteen ja hitausmomentin muutosta nivelpisteen muuttuessa. Kulmanopeden maksimi löytynee taas derivaatan avulla.

Vanha jäärä

Eusa
Seuraa 
Viestejä19108
PPo
Hannele114

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

Geometrinen ratkaisu.

Piirrä puoliympyrä, jonka halkaisija on a. Koska puoliympyrän sisältäma kehäkulma on suora. saat kaikki kysymykseen tulevat suorakulmaiset kolmiot piirtämällä kehäpisteestä janat halkaisijan päätepisteisiin. 

Pinta-alaltaan suurin on kolmio, jonka korkeus on suurin.

Tama on hyvinkin ratkaisu, jota haetaan koulussa, arvelisin.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Eusa

Tama on hyvinkin ratkaisu, jota haetaan koulussa, arvelisin.

Kyllä tämä (PPo:n ratkaisu) mielestäni paras ratkaisu on, kuitenkin pelkään haettavan jotain muuta.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Eikös joku tällainen jo aiemmin ollut täällä. Jotenkin vaan tuntuu tutulta. Lienee helpointa ratkaista etäisyys sauvan keskipisteestä.

W = gxm = ½Jw²

J = ml²/12 + mx²

gx = w²·(l²/24 + x²/2)

Haetaan maksimi lausekkeelle x/(l²/24 + x²/2) = 2x/(l²/12 + x²)

x = l/√12 (ei tarvi derivoida, näkee suoraan)

Eli alkuperäinen x = l/2 - l/√12 = l/2·(1 - 1/√3) = l·0,2113

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Bolzma

Lasketaan tota ruotsalaisten tehtävää energiaperiaatteella, tulee pari vastausta: http://aijaa.com/644X0U  

Tuleehan siitä kaksi keskenään symmetristä tapausta. Tehtävän muotoilusta sitten riippuu pitääkö antaa molemmat. Tässä olisi varmaan vaadittu, minulle riittää yksi. 

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Bolzma
Lasketaan tota ruotsalaisten tehtävää energiaperiaatteella, tulee pari vastausta:
Saa ne pari vastausta minunkin ratkaisusta jos haluaa ilmaista matemaattisesti itsestään selvyyden. Ratkaisunihan saatiin ehdosta x² = l²/12, jossa x on etäisyys sauvan keskipisteestä. On siis aivan sama kumpaan suuntaan tuo pätkä l/√12 otetaan. Energiaperiaatteellahan sen myös itse ratkaisin mutta huomattavasti yksinkertaisemmin.

Nature
Seuraa 
Viestejä10777

Jos kolmion kulmaa lähdetään pienentämään 45-asteesta niin pinta-ala muuttuu yhä pienemmäksi.  Kulman suurentaminen taas pienentää vastakulmaa, joten tilanne on sama kuin edellä. Siispä oikea vastus on 45 asteinen tasakylkinen kolmio.

Kysymys kuuluu, kelpaisiko pelkästään loogiseen päättelyyn perustuva tehtävän ratkaisu esim. ylioppilaskokeessa, ellei tehtävän ratkaisulle olisi muita ehtoja asetettu?

(Epäilen, että ei kelpaa, mutta onko oikein että ei kelpaisi, kyseessähän on periaatteessa sarjan suppenemiseen perustuva ratkaisu).

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
unbiased

Suorakulmaisen kolmion ala on xy/2 = (a²*cos α*sin α)/2 = sin 2α*a²/4.

Derivaatassa on tekijä cos 2α joka on nolla ääriarvokohdassa, α = 45º.

 

Tämä tehtävä näkyikin olevan tässäkin ketjussa.

Hyvä ratkaisu. Siitä näkee helposti myös sen, että kyseessä tosiaan on maksimi, sillä

dA/dα > 0 kun α < π/4 ja dA/dα < 0 kun α > π/4.

Tosin alkuperäinen kysyjä ei liene kovin pitkällä matematiikan opinnoissaan, joten herää kysymys, olisivatko trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavat ja trigonometristen funktioiden derivointi hänelle tuttuja asioita.

Ohman

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Ohman
Tosin alkuperäinen kysyjä ei liene kovin pitkällä matematiikan opinnoissaan, joten herää kysymys, olisivatko trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavat ja trigonometristen funktioiden derivointi hänelle tuttuja asioita.
Siksi esitinkin yksinkertaisemman ratkaisun jossa derivoitava funktio on x²c² - x^4 => 2xc² - 4x³ = 0

=> 2x² = c² => x = c/√2

Helpoiten ratkaisun näkee PPo:n geometrisesta ratkaisusta.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Nature

Jos kolmion kulmaa lähdetään pienentämään 45-asteesta niin pinta-ala muuttuu yhä pienemmäksi.  Kulman suurentaminen taas pienentää vastakulmaa, joten tilanne on sama kuin edellä. Siispä oikea vastus on 45 asteinen tasakylkinen kolmio.

Kysymys kuuluu, kelpaisiko pelkästään loogiseen päättelyyn perustuva tehtävän ratkaisu esim. ylioppilaskokeessa, ellei tehtävän ratkaisulle olisi muita ehtoja asetettu?

(Epäilen, että ei kelpaa, mutta onko oikein että ei kelpaisi, kyseessähän on periaatteessa sarjan suppenemiseen perustuva ratkaisu).

Jos lähdetään pienentämään kulmaa 45 asteesta, niin kulman vastainen kateetti (x) lyhenee ja viereinen (y) pitenee. Hypotenuusan pitää olla koko ajan saman pituinen. Mistä sinä nyt laskematta tiedät, että pinta-ala pienenee? 

A = (1/2) x y.Ei kai ilman lisäpäättelyä ole selvää, että tulo x y pienenee kun x pienenee ja y kasvaa.Näinhän ei edes käy välttämättä vaan tulo voi kasvaakin jos x ja y muuttuvat sopivasti.

Ohman    

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
korant
Ohman
Tosin alkuperäinen kysyjä ei liene kovin pitkällä matematiikan opinnoissaan, joten herää kysymys, olisivatko trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavat ja trigonometristen funktioiden derivointi hänelle tuttuja asioita.
Siksi esitinkin yksinkertaisemman ratkaisun jossa derivoitava funktio on x²c² - x^4 => 2xc² - 4x³ = 0

=> 2x² = c² => x = c/√2

Helpoiten ratkaisun näkee PPo:n geometrisesta ratkaisusta.

Enpä minä kritisoinut sinun ratkaisuasi sen enempää kuin PPo:n ratkaisuakaan.

Tässä tapauksessa ratkaisusi toimii, mutta kysyjän tietotasoa ajatellen ei ehkä ole hyvä iskostaa hänelle ilman lisämainintaa ajatusta, että funktiot f ja f^2 saavat maksimin samassa pisteessä.Näinhän ei suinkaan aina ole, esim. f = - x^2 (maksimi kun x = 0), f^2 = x^4 (minimi, kun x = 0).

Eipä sen kummempaa tästä.

Ohman

Eusa
Seuraa 
Viestejä19108
Ohman
Nature

Jos kolmion kulmaa lähdetään pienentämään 45-asteesta niin pinta-ala muuttuu yhä pienemmäksi.  Kulman suurentaminen taas pienentää vastakulmaa, joten tilanne on sama kuin edellä. Siispä oikea vastus on 45 asteinen tasakylkinen kolmio.

Kysymys kuuluu, kelpaisiko pelkästään loogiseen päättelyyn perustuva tehtävän ratkaisu esim. ylioppilaskokeessa, ellei tehtävän ratkaisulle olisi muita ehtoja asetettu?

(Epäilen, että ei kelpaa, mutta onko oikein että ei kelpaisi, kyseessähän on periaatteessa sarjan suppenemiseen perustuva ratkaisu).

Jos lähdetään pienentämään kulmaa 45 asteesta, niin kulman vastainen kateetti (x) lyhenee ja viereinen (y) pitenee. Hypotenuusan pitää olla koko ajan saman pituinen. Mistä sinä nyt laskematta tiedät, että pinta-ala pienenee? 

A = (1/2) x y.Ei kai ilman lisäpäättelyä ole selvää, että tulo x y pienenee kun x pienenee ja y kasvaa.Näinhän ei edes käy välttämättä vaan tulo voi kasvaakin jos x ja y muuttuvat sopivasti.

Ohman    

Siksi kannattaa hoksata, etta A=h*r. Korkeus h on helppo osoittaa olevan suurimmillaan, kun h=r. Siten A=rr.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat