Seuraa 
Viestejä2
Liittynyt11.3.2014

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

Sivut

Kommentit (39)

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

Merkitse kolmion kateetteja vaikka x ja y.

Kirjoita y muiden sivujen funktiona.

Kirjoita kolmion pinta-alan  A lauseke.

Eliminoi siitä y yllä olevalla lausekkeella.

Laske  dA/dx ja merkitse se nollaksi.

Ratkaise x.

 

Hauska ja hyvä tehtävä; ei ole ennen tullut vastaan.

 

-myl

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Pinta-ala saa maksiminsa myös kun sen neliö saa maksiminsa. Eli jos toinen kateetti on b pinta-alan neliö on b²·(a² - b²)/4. Maksimia haettaessa voi tuon neljällä jakamisenkin unohtaa.

unbiased
Seuraa 
Viestejä1863
Liittynyt26.12.2010

Suorakulmaisen kolmion ala on xy/2 = (a²*cos α*sin α)/2 = sin 2α*a²/4.

Derivaatassa on tekijä cos 2α joka on nolla ääriarvokohdassa, α = 45º.

PPo
Seuraa 
Viestejä12388
Liittynyt10.12.2008
Hannele114

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

Geometrinen ratkaisu.

Piirrä puoliympyrä, jonka halkaisija on a. Koska puoliympyrän sisältäma kehäkulma on suora. saat kaikki kysymykseen tulevat suorakulmaiset kolmiot piirtämällä kehäpisteestä janat halkaisijan päätepisteisiin. 

Pinta-alaltaan suurin on kolmio, jonka korkeus on suurin.

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Liittynyt27.12.2008

Minä taas en oikein tykkää tehtävistä. joissa pitäisi jotain derivoimalla laskea, vaikka kysymyksessä on mielestäni itsestäänselvyys. Tässä vähemmän itsestäänselvä derivointi tehtävä. Tehtävä on ruotsaisesta lukiosta, joten kyllä pitäisi olla helppo. 

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1562
Liittynyt12.4.2005
Jorma

Minä taas en oikein tykkää tehtävistä. joissa pitäisi jotain derivoimalla laskea, vaikka kysymyksessä on mielestäni itsestäänselvyys. Tässä vähemmän itsestäänselvä derivointi tehtävä. Tehtävä on ruotsaisesta lukiosta, joten kyllä pitäisi olla helppo. 

Fysikaalisesti tehtävän tilanteessa painovoivoimakentän potentiaalienergia muuttuu kiertyvän sauvan liike-energiaksi. Siksi tehtävässä pitää tarkastella sauvan painopisteen ja hitausmomentin muutosta nivelpisteen muuttuessa. Kulmanopeden maksimi löytynee taas derivaatan avulla.

Vanha jäärä

Eusa
Seuraa 
Viestejä14354
Liittynyt16.2.2011
PPo
Hannele114

Hei! Tarvitsisin kipeästi vinkkiä kiperään läksytehtävääni. Kyseessä lukion matematiikka ja kurssi MAA8. "Laske sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan suurin arvo, jonka hypotenuusa on a."

Yritin lähteä ratkaisemaan tehtävää muodostamalla pinta-alalle funktiota. Ei toiminut. Kolmen muuttujan sekasotku. Ymmärrän kyllä, että pitäisi saada pinta-alan funktio ja derivoida se ja tutkia derivaatan nollakohtia. Mutta miten saada järkevä funktio tästä tehtävän annosta?

Geometrinen ratkaisu.

Piirrä puoliympyrä, jonka halkaisija on a. Koska puoliympyrän sisältäma kehäkulma on suora. saat kaikki kysymykseen tulevat suorakulmaiset kolmiot piirtämällä kehäpisteestä janat halkaisijan päätepisteisiin. 

Pinta-alaltaan suurin on kolmio, jonka korkeus on suurin.

Tama on hyvinkin ratkaisu, jota haetaan koulussa, arvelisin.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Liittynyt27.12.2008
Eusa

Tama on hyvinkin ratkaisu, jota haetaan koulussa, arvelisin.

Kyllä tämä (PPo:n ratkaisu) mielestäni paras ratkaisu on, kuitenkin pelkään haettavan jotain muuta.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Eikös joku tällainen jo aiemmin ollut täällä. Jotenkin vaan tuntuu tutulta. Lienee helpointa ratkaista etäisyys sauvan keskipisteestä.

W = gxm = ½Jw²

J = ml²/12 + mx²

gx = w²·(l²/24 + x²/2)

Haetaan maksimi lausekkeelle x/(l²/24 + x²/2) = 2x/(l²/12 + x²)

x = l/√12 (ei tarvi derivoida, näkee suoraan)

Eli alkuperäinen x = l/2 - l/√12 = l/2·(1 - 1/√3) = l·0,2113

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
Liittynyt27.12.2008
Bolzma

Lasketaan tota ruotsalaisten tehtävää energiaperiaatteella, tulee pari vastausta: http://aijaa.com/644X0U  

Tuleehan siitä kaksi keskenään symmetristä tapausta. Tehtävän muotoilusta sitten riippuu pitääkö antaa molemmat. Tässä olisi varmaan vaadittu, minulle riittää yksi. 

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013
Bolzma
Lasketaan tota ruotsalaisten tehtävää energiaperiaatteella, tulee pari vastausta:
Saa ne pari vastausta minunkin ratkaisusta jos haluaa ilmaista matemaattisesti itsestään selvyyden. Ratkaisunihan saatiin ehdosta x² = l²/12, jossa x on etäisyys sauvan keskipisteestä. On siis aivan sama kumpaan suuntaan tuo pätkä l/√12 otetaan. Energiaperiaatteellahan sen myös itse ratkaisin mutta huomattavasti yksinkertaisemmin.

Nature
Seuraa 
Viestejä8021
Liittynyt15.1.2014

Jos kolmion kulmaa lähdetään pienentämään 45-asteesta niin pinta-ala muuttuu yhä pienemmäksi.  Kulman suurentaminen taas pienentää vastakulmaa, joten tilanne on sama kuin edellä. Siispä oikea vastus on 45 asteinen tasakylkinen kolmio.

Kysymys kuuluu, kelpaisiko pelkästään loogiseen päättelyyn perustuva tehtävän ratkaisu esim. ylioppilaskokeessa, ellei tehtävän ratkaisulle olisi muita ehtoja asetettu?

(Epäilen, että ei kelpaa, mutta onko oikein että ei kelpaisi, kyseessähän on periaatteessa sarjan suppenemiseen perustuva ratkaisu).

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat