Seuraa 
Viestejä238

Matematiikassa on kummallisuuksia, miksi NOLLAN KERTOMA on yksi?

Esim. 1! = 1 ja 2! = 2*1 ja 3! = 3*2*1 mutta nolla ketoma ei ole 0 = 0, vaan se että nolla ei kerrota kertaakaan minkään kanssa, mutta miksi siitä tulee silloin yksi?

 

Sivut

Kommentit (23)

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950

Esitä käytännön sovellus, jossa kertoma(0):n olisi hyvä olla jotain muuta kuin 1.

Samaan kategoriaan sopii 0^0 = 1. Sillä muuten pienimmän meliösumman polynomin sovitus ei enää wörki.

 

 

 

 

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

Määrittelemällä 0! = 1 yksinkertaistetaan kaavoja, joissa tulon osana esiintyy erotuksen kertoma (n-k)!. Sillä vältytään määrittelemästä erikseen kaavaa tilanteille n = k. Esimerkiksi binomikertoimen kaava on näin siistimpi.

We're all mad here.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä1008

Kertomaa voidaan pitää gammafunktion erikoistapauksena niin että gammafunktion kokonaislukua n vastaava arvo = (n-1)!. Kun gammafunktion arvo on 1 kun n=1, saadaan 0!=1.

Muuten 0^0=1 ei pidä yleisesti paikkansa mutta esim. x^x raja-arvo on 1 kun x->0.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900
asdf

Ikävä pilata kenenkään iloa, mutta tämä ketju menee lukkoon, kunhan joku modeista palaa Juhannuksen vietosta.

Höh. Miksi menisi. Eihän tässä ole päästy lähellekään keskipakovoimaa.

 

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Läskiperse
Seuraa 
Viestejä950
Näinonnäreet

Muuten 0^0=1 ei pidä yleisesti paikkansa mutta esim. x^x raja-arvo on 1 kun x->0.

Miten niin ei pidä yleisesti paikkaansa. Juuri tuo teoreettinen paskannysvääminen.

Jos lim(x/x)=1, kun x->0, niin miksi tarvitaan epäjatkuva kvanttihyppy äärettömyyteen, kun x on tasan 0.

PPo
Seuraa 
Viestejä15175
Näinonnäreet

Kertomaa voidaan pitää gammafunktion erikoistapauksena niin että gammafunktion kokonaislukua n vastaava arvo = (n-1)!. Kun gammafunktion arvo on 1 kun n=1, saadaan 0!=1.

Muuten 0^0=1 ei pidä yleisesti paikkansa mutta esim. x^x raja-arvo on 1 kun x->0.

Pieni tarkennus. x^x on hyvin määritelty kun x>0⇒ x^x raja-arvo on 1 kun x->0+

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Auqino

Matematiikassa on kummallisuuksia, miksi NOLLAN KERTOMA on yksi?

Esim. 1! = 1 ja 2! = 2*1 ja 3! = 3*2*1 mutta nolla ketoma ei ole 0 = 0, vaan se että nolla ei kerrota kertaakaan minkään kanssa, mutta miksi siitä tulee silloin yksi?

 

Kysymyksesi on hiukan väärin asetettu. Kun matematiikassa kysytään jonkin funktion arvoja, täytyy funktion tietysti olla ensin määritelty. jotta siitä voi puhua. Sinä lähdet puutteellisesta kertoman määritelmästä, jossa (1,2,3,...) -> (1,2,3,...) ja kysyt sitten, mitä on 0!.

Kertoma on funktio, joka kuvaa luonnollisten lukujen joukon (0,1,2,...) positiivisten kokonaislukujen joukolle (1,2,3,...).

Tämä funktio määritellään rekursiivisesti näin:

0! = 1

Jos n > 0, n! = n(n-1)!

Mitään ongelmaa ei siis ole.

Siihen, miksi tämä on järkevä määritelmä, ovat abskissa ja Näinonnäreet antaneet vinkkejä.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Ohman
Auqino

Matematiikassa on kummallisuuksia, miksi NOLLAN KERTOMA on yksi?

Esim. 1! = 1 ja 2! = 2*1 ja 3! = 3*2*1 mutta nolla ketoma ei ole 0 = 0, vaan se että nolla ei kerrota kertaakaan minkään kanssa, mutta miksi siitä tulee silloin yksi?

 

Kysymyksesi on hiukan väärin asetettu. Kun matematiikassa kysytään jonkin funktion arvoja, täytyy funktion tietysti olla ensin määritelty. jotta siitä voi puhua. Sinä lähdet puutteellisesta kertoman määritelmästä, jossa (1,2,3,...) -> (1,2,3,...) ja kysyt sitten, mitä on 0!.

Kertoma on funktio, joka kuvaa luonnollisten lukujen joukon (0,1,2,...) positiivisten kokonaislukujen joukolle (1,2,3,...).

Tämä funktio määritellään rekursiivisesti näin:

0! = 1

Jos n > 0, n! = n(n-1)!

Mitään ongelmaa ei siis ole.

Siihen, miksi tämä on järkevä määritelmä, ovat abskissa ja Näinonnäreet antaneet vinkkejä.

Ohman

Olenpa nyt tarkka ja korjaan: kertoma kuvaa luonnollisten lukujen joukon positiivisten kokonaislukujen joukkoon , ei joukolle.Kertomahan ei ole surjektio eli jokainen positiivinen kokonaisluku ei ole jonkin luonnollisen luvun kuva.

Ohman

Eusa
Seuraa 
Viestejä18303

Voihan asian ajatella myos kertoman merkityksesta:

Kolme yksikkoa voi asettaa kuuteen eri jarjestykseen 3!=6, kaksi yksikkoa kahteen eri jarjestykseen 2!=2, yhden yhteen 1!=1. Kun yksikoita ei ole yhtaan, mika on jarjestysten maara? Eiko voi ajatella, etta jarjestyksia on yksi: todetaan, ettei tuossa ole mitaan missaan muussa jarjestyksessa, niin on nolla yksikkoa noin jarjestettyna.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15175
Eusa

Voihan asian ajatella myos kertoman merkityksesta:

Kolme yksikkoa voi asettaa kuuteen eri jarjestykseen 3!=6, kaksi yksikkoa kahteen eri jarjestykseen 2!=2, yhden yhteen 1!=1. Kun yksikoita ei ole yhtaan, mika on jarjestysten maara? Eiko voi ajatella, etta jarjestyksia on yksi: todetaan, ettei tuossa ole mitaan missaan muussa jarjestyksessa, niin on nolla yksikkoa noin jarjestettyna.

Ohmanin esittämällä hienolla kertoman määritelmällä ei tietenkään ole mitään sisältöä.

Sinä käytät kertomaa erilaisten järjesysten kuvaamiseen. Nollan alkion järjestysten määrää voi yrittää pyöritellä verbaalisesti mutta ontuvaa se on. Selvempää mielestäni on sanoa, että järjestyksestä puhuttaessa järjestettävien lukumäärä on 1,2,3,...

Siispä 0! ei liity mitenkään järjestyksiin.

PPo
Seuraa 
Viestejä15175
Näinonnäreet

Kuitenkin binomijakaumassa tuo 0! = 1 esiintyy ääripäissä ja ainakin muodollisesti järjestysten määrä kuvaavana lukuarvona.

Kun binomikaavaa n!/(k!*(n-k)! sovelletaan tapauksiin k=1,2...n-1 saadaan järkevä tulos. Tapauksissa k=0 tai k=n, päädytään tulokseen 1/0!. Suoraan laskemalla saadaan kyseisiksi kertoimiksi 1.

Sopimalla, että 0!=! binomikaava pätee myön näinin erikoistapauksiin, eikä niitä tarvitse joka kerta erikseen mainita.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Eusa

Voihan asian ajatella myos kertoman merkityksesta:

Kolme yksikkoa voi asettaa kuuteen eri jarjestykseen 3!=6, kaksi yksikkoa kahteen eri jarjestykseen 2!=2, yhden yhteen 1!=1. Kun yksikoita ei ole yhtaan, mika on jarjestysten maara? Eiko voi ajatella, etta jarjestyksia on yksi: todetaan, ettei tuossa ole mitaan missaan muussa jarjestyksessa, niin on nolla yksikkoa noin jarjestettyna.

Voisi periaatteessa ajatella noinkin. Vaan eikö vain herääkin hiukan epäilyksiä? Jos tuon ajatuksen järkevyyttä tarkastelee matemaattisesti, niin joutuu pohdiskelemaan mm. sellaista kummajaista, kuin kuvausta tyhjältä joukolta itselleen.

Minusta on vain helpompaa sopia että 0! = 1. Se kun toimii hyvin kombinatorisissa kaavoissa. Ei sillä mitään sen kummempaa merkitystä tarvitse ollakaan, kun ei kertomafunktiollakaan oikeastaan tarvitse olla. Epätyhjän joukon permutaatioiden määrä nyt vaan sattuu olemaan sama kuin kertomafunktion arvo, mikä on helposti todistettavissa.

We're all mad here.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18303
abskissa
Eusa

Voihan asian ajatella myos kertoman merkityksesta:

Kolme yksikkoa voi asettaa kuuteen eri jarjestykseen 3!=6, kaksi yksikkoa kahteen eri jarjestykseen 2!=2, yhden yhteen 1!=1. Kun yksikoita ei ole yhtaan, mika on jarjestysten maara? Eiko voi ajatella, etta jarjestyksia on yksi: todetaan, ettei tuossa ole mitaan missaan muussa jarjestyksessa, niin on nolla yksikkoa noin jarjestettyna.

Voisi periaatteessa ajatella noinkin. Vaan eikö vain herääkin hiukan epäilyksiä? Jos tuon ajatuksen järkevyyttä tarkastelee matemaattisesti, niin joutuu pohdiskelemaan mm. sellaista kummajaista, kuin kuvausta tyhjältä joukolta itselleen.

Ei kai sentään. Kuvaus on tyhjästä joukosta luonnollisille luvuille.

!/ {} -> N, järjestysten määrä on aina yksi luku, eli ratkaisujoukko: !: {} -> {1}.

Vastaavasti

!: {1} -> {1}

!: {1,2} -> {2}

!: {1,2,3} -> {6}

Eihän kysytä millaisia järjestyksiä saadaan, vaan montako niitä on. Voidaan myös ottaa tyhjä joukko osajoukoksi ja silloin se ei lisää järjestysten määrää:

!/ {} U M = (0+lkm(M))!  vrt. !/ {1,2,3} U {4,5} = (lkm({1,2,3})+lkm({5}))! = (3+1)! = 4!

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

En nyt oikein ymmärrä ajatuksenjuoksuasi Eusa. Millä perusteella "järjestysten määrä on aina yksi luku"? Miksi tyhjällä joukolla on järjestys? Mikä on tyhjän joukon järjestys? Miten määrittelet permutaation?

Minä määrittelisin joukon S permutaation joko bijektioksi S->S tai äärellisten joukkojen tapauksessa vaikka injektioksi S->{1, 2, 3, ..., n}, missä n on joukon S alkioiden lukumäärä. Kumpikaan määritelmä ei oikein sovellu tyhjään joukkoon.

---

Tähän aiheeseen liittyy kiinteästi toinenkin matemaattinen käytäntö: tyhjän tulon arvoksi sovitaan usein 1. Siitähän seuraa suoraan 0!=1, kun kertomafunktio määritellään tulomuodossa.

We're all mad here.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat