Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008

Pudotetaan  kappale korkeudelta h. Kuinka kauan putoaminen kestää? Ilmanvastusta ei huomioida. Tämä lienee ratkaistu täälläkin ainakin numeerisesti. Pubista tulleena pittää vähän rehvastella. Uskon löytäneeni analyyttisen ratkaisun. Numeerinen testaus. R=6400 km, h=1000 km, g=9,8 m/s². Kaavani antoi 463 s.

Sivut

Kommentit (32)

JPI
Seuraa 
Viestejä26018
Liittynyt5.12.2012
PPo

Pudotetaan  kappale korkeudelta h. Kuinka kauan putoaminen kestää? Ilmanvastusta ei huomioida. Tämä lienee ratkaistu täälläkin ainakin numeerisesti. Pubista tulleena pittää vähän rehvastella. Uskon löytäneeni analyyttisen ratkaisun. Numeerinen testaus. R=6400 km, h=1000 km, g=9,8 m/s². Kaavani antoi 463 s.

Energian säilymisestä  E'=-k/r+½*(dr/dt)², missä massat supistettu pois vähän muklaamalla päädytään integraaliin tyyppiä ∫√(1+a/r)dr.  Tuon kun integroi niin ratkee..Siis meinaat että saadaan ratkaisu suljetussa muodossa? Pitää yrittää, ei viitsi luntata..pitäis osata, mutta on taidot vähän ruostuneet.

3³+4³+5³=6³

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Mistä noin isot erot syntyy? Laskin 0,1 ms askelin oheisella loopilla.

    g = g0 * r02 / r / r
    v = v + g * dt
    r = r - v * dt
    t = t + dt

Alkuarvona r = r0 + h, r02 = r0², r0 = 6400 km, g0 = 9,8

Loppunopeus on 4114 m/s

Eusa
Seuraa 
Viestejä15184
Liittynyt16.2.2011

Laskin keskimääräisen kiihtyvyyden harmonisena keskiarvona ja siitä aika tasaisen kiihtymisen mukaan. Ainankin lämmönvastuksilla harmoninen keskiarvo on käytäntöä, kai se kiihtyvyyksillekin voisi jonkinlaisen approksimaation antaa.

Kiihtyvyys 1000 m korkeudella: 6400²/7400²*9,8 = 7,33 m/s², jolla loppuun asti kiihtyen menisi n. 522 s. Jotenkin tuntuisi, että kyllä kappale ainakin 12 s nopeammin matkan taittaa, kun kiihtyvyys lisääntyy 9,8 m/s²:een lopuksi...

Korantin tulos vastaa 7,68 m/s² tasaista kiihtyvyyttä ja sellainen kiihtyvyys maanpinnan suhteen esiintyy korkeudella 830 m maanpinnasta. Tuo vastaa lähelle √√(½) -suhdetta korkeudesta, joka kyllä voisi olla perusteltukin.

Tarkka arvo olisi √√(½) -suhteella laskien on 511,11 s (vastaten 7,656 m/s² tasaista kiihtymistä).

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008
korant

Mistä noin isot erot syntyy? Laskin 0,1 ms askelin oheisella loopilla.

    g = g0 * r02 / r / r
    v = v + g * dt
    r = r - v * dt
    t = t + dt

Alkuarvona r = r0 + h, r02 = r0², r0 = 6400 km, g0 = 9,8

Loppunopeus on 4114 m/s

Energiaperiaatteella sain loppunopeudeksi

v=√(2g(1/R-1/(R+h))*R=4117 m/s

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero?

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

PPo
Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008
korant

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero?

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

Havaitsin, että integraalissani "pieni" virhe. Palaan asiaan, jos saan korjattua.

PPo
Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008
PPo
korant

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero? .

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

Havaitsin, että integraalissani "pieni" virhe. Palaan asiaan, jos saan korjattua.

Virhe korjattu

r0=R+h

Energiayhtälöstä -GmM/r0=1/2*mv²-GmM/r saadaan

∫dt=√(r0/(2gR²))∫√(r/(r0-r))dr (rajat R→r0)=

√(r0/(2gR²))(r0*asin(√(1-R/r0)+√(r0-R)*√R)=510,3252833=510 s

PPo
Seuraa 
Viestejä12897
Liittynyt10.12.2008

Laskennallisesti hieman helpompi samaan aihepiiriin liittyvä tehtävä.

Maapallon läpi on asetettu putki. Missä ajassa ehtii putkeen pudotettu kappale maapallon keskipisteeseen?

JPI
Seuraa 
Viestejä26018
Liittynyt5.12.2012
PPo

Laskennallisesti hieman helpompi samaan aihepiiriin liittyvä tehtävä.

Maapallon läpi on asetettu putki. Missä ajassa ehtii putkeen pudotettu kappale maapallon keskipisteeseen?

noin 90/4 minuutissa. Heilahdusaika edestakaisin on sama kuin matalalla radalla maata kiertävän satelliitin kiertoaika.

3³+4³+5³=6³

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14034
Liittynyt16.3.2005

Ei mene noin.

Mikä on 2 m maanpinnan alla liikkuva otus, joka syö kiviä? No tietysti kivensyöjä.

Jos maan läpi porataan reikä, ja siihen pudotetaan kivi, niin kuinka syvälle se menee? No tietysti 2 m. Sitten kivensyöjä syö sen.

Tämän selvitti meille matikanopettajani lukiossa jo joskus 40+ vuotta sitten.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Joffrey
Seuraa 
Viestejä3
Liittynyt15.7.2014

Edelliseen tehtävään vastaus analyyttisesti. Fysiikkaa tullut jonkin verran opiskeltua vaikkakaan ei pääaineena, joten virheet ovat mahdollisia. Putoamiskiihtyvyyttä en käyttänyt, sillä se ei ole vakio vaan käytin sen "tilalla" maapallon massaa M=5,97E24 kg ja gravitaatiovakiota G=6,67E-11 Nm^2/kg^2.

Lähtien liikkeelle gravitaatiovoimasta F=ma=GmM/r^2:

a = -GM/r^2

dv/dt = -GM/r^2

dv = -GM/r^2 dt

v-v0 = -GM(t-t0)/r^2 | v0=0 & t0=0

v = -GMt/r^2

dr/dt = -GMt/r^2

r^2 dr = -GMtdt

r_1^3/3-r_0^3/3 = -GMt^2/2+GMt_0^2/2 | :(-GM), t0=0

Rajat vaihdetaan päikseen miinusmerkin vuoksi:

2r_0^3/(3GM) - 2r_1^3/(3GM) = t^2

t =  489,4 s

Joffrey

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14034
Liittynyt16.3.2005

Tässä vanha, joka on joku vuosi sitten ollut tälläkin palstalla, mutta mahtaako jonnet muistaa.

Porataan homogeenisen Maan läpi reikä, johon lasketaan kaksi samanlaista punttia narujen varassa. Narut ovat yhtä pitkät ja toisistaan 1 m etäisyydellä maanpinnalla. Mikä on punttien etäisyys toisistaan maanpinnan alapuolella? Huomaa, että puntit eivät ole kiviä, joten kivensyöjä ei häiritse koetta.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat