Seuraa 
Viestejä15164

Pudotetaan  kappale korkeudelta h. Kuinka kauan putoaminen kestää? Ilmanvastusta ei huomioida. Tämä lienee ratkaistu täälläkin ainakin numeerisesti. Pubista tulleena pittää vähän rehvastella. Uskon löytäneeni analyyttisen ratkaisun. Numeerinen testaus. R=6400 km, h=1000 km, g=9,8 m/s². Kaavani antoi 463 s.

Sivut

Kommentit (32)

JPI
Seuraa 
Viestejä29467
PPo

Pudotetaan  kappale korkeudelta h. Kuinka kauan putoaminen kestää? Ilmanvastusta ei huomioida. Tämä lienee ratkaistu täälläkin ainakin numeerisesti. Pubista tulleena pittää vähän rehvastella. Uskon löytäneeni analyyttisen ratkaisun. Numeerinen testaus. R=6400 km, h=1000 km, g=9,8 m/s². Kaavani antoi 463 s.

Energian säilymisestä  E'=-k/r+½*(dr/dt)², missä massat supistettu pois vähän muklaamalla päädytään integraaliin tyyppiä ∫√(1+a/r)dr.  Tuon kun integroi niin ratkee..Siis meinaat että saadaan ratkaisu suljetussa muodossa? Pitää yrittää, ei viitsi luntata..pitäis osata, mutta on taidot vähän ruostuneet.

3³+4³+5³=6³

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
korant
Seuraa 
Viestejä8326

Mistä noin isot erot syntyy? Laskin 0,1 ms askelin oheisella loopilla.

    g = g0 * r02 / r / r
    v = v + g * dt
    r = r - v * dt
    t = t + dt

Alkuarvona r = r0 + h, r02 = r0², r0 = 6400 km, g0 = 9,8

Loppunopeus on 4114 m/s

Eusa
Seuraa 
Viestejä18295

Laskin keskimääräisen kiihtyvyyden harmonisena keskiarvona ja siitä aika tasaisen kiihtymisen mukaan. Ainankin lämmönvastuksilla harmoninen keskiarvo on käytäntöä, kai se kiihtyvyyksillekin voisi jonkinlaisen approksimaation antaa.

Kiihtyvyys 1000 m korkeudella: 6400²/7400²*9,8 = 7,33 m/s², jolla loppuun asti kiihtyen menisi n. 522 s. Jotenkin tuntuisi, että kyllä kappale ainakin 12 s nopeammin matkan taittaa, kun kiihtyvyys lisääntyy 9,8 m/s²:een lopuksi...

Korantin tulos vastaa 7,68 m/s² tasaista kiihtyvyyttä ja sellainen kiihtyvyys maanpinnan suhteen esiintyy korkeudella 830 m maanpinnasta. Tuo vastaa lähelle √√(½) -suhdetta korkeudesta, joka kyllä voisi olla perusteltukin.

Tarkka arvo olisi √√(½) -suhteella laskien on 511,11 s (vastaten 7,656 m/s² tasaista kiihtymistä).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
korant

Mistä noin isot erot syntyy? Laskin 0,1 ms askelin oheisella loopilla.

    g = g0 * r02 / r / r
    v = v + g * dt
    r = r - v * dt
    t = t + dt

Alkuarvona r = r0 + h, r02 = r0², r0 = 6400 km, g0 = 9,8

Loppunopeus on 4114 m/s

Energiaperiaatteella sain loppunopeudeksi

v=√(2g(1/R-1/(R+h))*R=4117 m/s

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero?

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
korant

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero?

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

Havaitsin, että integraalissani "pieni" virhe. Palaan asiaan, jos saan korjattua.

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
PPo
korant

Joo, aivan oikein, loppunopeus on 4117,2 m/s. Mulla jäi näkyviin sekunnin välein lasketut nopeusarvot ja tuo 4114 vastasi nopeutta hetkellä 510 s.

Mutta miksi ajassa on noin suuri ero? .

Johtuukohan siitä, että kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä, nopeus on kiihtyvyyden integraali ajan suhteen, ei etäisyyden suhteen.

Havaitsin, että integraalissani "pieni" virhe. Palaan asiaan, jos saan korjattua.

Virhe korjattu

r0=R+h

Energiayhtälöstä -GmM/r0=1/2*mv²-GmM/r saadaan

∫dt=√(r0/(2gR²))∫√(r/(r0-r))dr (rajat R→r0)=

√(r0/(2gR²))(r0*asin(√(1-R/r0)+√(r0-R)*√R)=510,3252833=510 s

PPo
Seuraa 
Viestejä15164

Laskennallisesti hieman helpompi samaan aihepiiriin liittyvä tehtävä.

Maapallon läpi on asetettu putki. Missä ajassa ehtii putkeen pudotettu kappale maapallon keskipisteeseen?

JPI
Seuraa 
Viestejä29467
PPo

Laskennallisesti hieman helpompi samaan aihepiiriin liittyvä tehtävä.

Maapallon läpi on asetettu putki. Missä ajassa ehtii putkeen pudotettu kappale maapallon keskipisteeseen?

noin 90/4 minuutissa. Heilahdusaika edestakaisin on sama kuin matalalla radalla maata kiertävän satelliitin kiertoaika.

3³+4³+5³=6³

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Ei mene noin.

Mikä on 2 m maanpinnan alla liikkuva otus, joka syö kiviä? No tietysti kivensyöjä.

Jos maan läpi porataan reikä, ja siihen pudotetaan kivi, niin kuinka syvälle se menee? No tietysti 2 m. Sitten kivensyöjä syö sen.

Tämän selvitti meille matikanopettajani lukiossa jo joskus 40+ vuotta sitten.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Joffrey
Seuraa 
Viestejä3

Edelliseen tehtävään vastaus analyyttisesti. Fysiikkaa tullut jonkin verran opiskeltua vaikkakaan ei pääaineena, joten virheet ovat mahdollisia. Putoamiskiihtyvyyttä en käyttänyt, sillä se ei ole vakio vaan käytin sen "tilalla" maapallon massaa M=5,97E24 kg ja gravitaatiovakiota G=6,67E-11 Nm^2/kg^2.

Lähtien liikkeelle gravitaatiovoimasta F=ma=GmM/r^2:

a = -GM/r^2

dv/dt = -GM/r^2

dv = -GM/r^2 dt

v-v0 = -GM(t-t0)/r^2 | v0=0 & t0=0

v = -GMt/r^2

dr/dt = -GMt/r^2

r^2 dr = -GMtdt

r_1^3/3-r_0^3/3 = -GMt^2/2+GMt_0^2/2 | :(-GM), t0=0

Rajat vaihdetaan päikseen miinusmerkin vuoksi:

2r_0^3/(3GM) - 2r_1^3/(3GM) = t^2

t =  489,4 s

Joffrey

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Tässä vanha, joka on joku vuosi sitten ollut tälläkin palstalla, mutta mahtaako jonnet muistaa.

Porataan homogeenisen Maan läpi reikä, johon lasketaan kaksi samanlaista punttia narujen varassa. Narut ovat yhtä pitkät ja toisistaan 1 m etäisyydellä maanpinnalla. Mikä on punttien etäisyys toisistaan maanpinnan alapuolella? Huomaa, että puntit eivät ole kiviä, joten kivensyöjä ei häiritse koetta.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Toinen vanha:
Porataan homogeenisen Maan läpi reikä. Lasketaan sinne puntti narun varassa. Mihin osoittaa naru?
(a) Maan painopisteeseen
(b) jonnekin muualle?

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Kiihtyvyys Maan sisällä on suoraan verrannollinen etäisyyteen Maan keskipisteestä eikä kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön kuten pinnan yläpuolella.

Sain 1269 s noilla PPo:n lähtöarvoilla.

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
Joffrey

Edelliseen tehtävään vastaus analyyttisesti. Fysiikkaa tullut jonkin verran opiskeltua vaikkakaan ei pääaineena, joten virheet ovat mahdollisia. Putoamiskiihtyvyyttä en käyttänyt, sillä se ei ole vakio vaan käytin sen "tilalla" maapallon massaa M=5,97E24 kg ja gravitaatiovakiota G=6,67E-11 Nm^2/kg^2.

Lähtien liikkeelle gravitaatiovoimasta F=ma=GmM/r^2:

a = -GM/r^2

dv/dt = -GM/r^2

dv = -GM/r^2 dt

v-v0 = -GM(t-t0)/r^2 | v0=0 & t0=0

v = -GMt/r^2

dr/dt = -GMt/r^2

r^2 dr = -GMtdt

r_1^3/3-r_0^3/3 = -GMt^2/2+GMt_0^2/2 | :(-GM), t0=0

Rajat vaihdetaan päikseen miinusmerkin vuoksi:

2r_0^3/(3GM) - 2r_1^3/(3GM) = t^2

t =  489,4 s

Joffrey

Boldatussa kohdassa meni pieleen. Tuo olisi oikein , jos v olisi vakio, mutta niinhän ei ole.

Ajan saa alla olevasta laskukaavasta. Perustelut aiemmassa postauksessa.

t=√(r0/(2gR²))(r0*asin(√(1-R/r0)+√(r0-R)*√R)=510,3252833=510 s

PS.GM=gR²

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
JPI
PPo

Laskennallisesti hieman helpompi samaan aihepiiriin liittyvä tehtävä.

Maapallon läpi on asetettu putki. Missä ajassa ehtii putkeen pudotettu kappale maapallon keskipisteeseen?

noin 90/4 minuutissa. Heilahdusaika edestakaisin on sama kuin matalalla radalla maata kiertävän satelliitin kiertoaika.

Tarkennetaan vähän . Noin 21 min.

PS. Ajalle löytyy myös laskukaava g:n ja R:n avulla.

PPo
Seuraa 
Viestejä15164
o_turunen

Tässä vanha, joka on joku vuosi sitten ollut tälläkin palstalla, mutta mahtaako jonnet muistaa.

Porataan homogeenisen Maan läpi reikä, johon lasketaan kaksi samanlaista punttia narujen varassa. Narut ovat yhtä pitkät ja toisistaan 1 m etäisyydellä maanpinnalla. Mikä on punttien etäisyys toisistaan maanpinnan alapuolella? Huomaa, että puntit eivät ole kiviä, joten kivensyöjä ei häiritse koetta.

 

Jos narujen pituus on h, niin punttien etäisyys on (1-h/R) metriä tuntuu luontevalta vastaukselta.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat