Seuraa 
Viestejä2841

Tämän ketjun aiheena on differentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Eli tähän ketjuun voi kirjoitella mitä mieeen juolahtaa differentiaaliyhtälöistä. Ei tarvitse olla ekspertti, vaan kaikki ideat ovat tervetulleita.

 

Tehtävä:

y'' + ω² y = 0.

Löydettävä ratkaisuja.

Siinä se on. Ei mitään olettamuksia mistään, mitä y tai ω on jne.

 

 

 

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Kommentit (32)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
korant
Seuraa 
Viestejä8326

En ole juurikaan diff. yhtälöitä ratkonut mutta käsitykseni on että yleensä kokeillaan sopiiko jokin funktio ratkaisuksi ja tuossahan on kyse sinimuotoisesta värähtelystä.

d²(sin(ωt))/dt² = -ω²·sin(ωt)

Värähtelyn kulmataajuus on ω ja amplitudi määräytyy alkuehdoista.

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä. Tässä esim. liitetään kaksi integraattoria peräkkäin ja kytketään jälkimmäisen integraattorin lähtö ensimmäisen tuloon kerrottuna -ω²:lla (sopivalla vahvistuksella/vaimennuksella) ja asettamalla signaalin amplitudille sopiva alkuarvo. Jälkimmäisen integraattorin lähtö on kyseinen ratkaisusignaali. Integraattoreiden integointiaikavakiolla voidaan määrittää signaalin aika-akseli eli se voidaan saada hidastettuna tai nopeutettuna.

NotYet
Seuraa 
Viestejä4122
korant

..

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä.

...

Voiskohan vastaavan toteuttaa SPICE:n avulla compuuterilla

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

Näyttää ihan tavalliselta lineaariselta yhtälöltä.

Oletus oomegasta tosin on aika väljä. Onko se reaalinen tai kompleksinen tai edes vakio?

Ja saako y todella olla mitä tahansa? Laskutoimitukset ja derivointi voivat olla määriteltyjä vaikka minkälaisissa eksoottisissa avaruuksissa.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Veli H.
korant

..

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä.

...

Voiskohan vastaavan toteuttaa SPICE:n avulla compuuterilla

Ilman muuta millä hyvänsä elektroniikkasimulaattorilla jossa on analogiset komponentit mukana. Kolme operaatiovahvistinta, pari kondensaattoria ja muutama vastus. Tuota voisi vaikka kokeilla.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2841
korant

En ole juurikaan diff. yhtälöitä ratkonut mutta käsitykseni on että yleensä kokeillaan sopiiko jokin funktio ratkaisuksi ja tuossahan on kyse sinimuotoisesta värähtelystä.

d²(sin(ωt))/dt² = -ω²·sin(ωt)

Värähtelyn kulmataajuus on ω ja amplitudi määräytyy alkuehdoista.

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä. Tässä esim. liitetään kaksi integraattoria peräkkäin ja kytketään jälkimmäisen integraattorin lähtö ensimmäisen tuloon kerrottuna -ω²:lla (sopivalla vahvistuksella/vaimennuksella) ja asettamalla signaalin amplitudille sopiva alkuarvo. Jälkimmäisen integraattorin lähtö on kyseinen ratkaisusignaali. Integraattoreiden integointiaikavakiolla voidaan määrittää signaalin aika-akseli eli se voidaan saada hidastettuna tai nopeutettuna.

Tuo mainitsemasi analogiaratkaisi on kyllä mielenkiintoinen, oliko sellaisella mahdollista saada jonkinlaisia numeerisia tuloksia, vai oliko se pelkastään kuva oskilloskoopilla, josta voitiin tietysti päätellä jotain yhtälön ratkaisusta?

En nyt siis enää tarkoita mun esittämääni yhtälöä, vaan kyse on yleisemmistä yhtälöistä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Veli H.
Siinäpä sellainen juuri. Muistelin nähneeni noin puoli vuosisataa sitten analogialaskimen, jonka paneelissa oli lukuisa määrä tarkkuuspotikoita, konkkia, operaatiovahvistimia ja keloja. Museoesinehän se oli jo silloin enkä tiedä sen kohtalosta. Micrö-Cap-ohjelmalla olen muutama vuosikymmen sitten simuloinut elektroniikkapiirejä ja koneellani ohjelmisto on edelleen mutten ainakaan vielä saanut kytkentää toimimaan:

Lähtösignaali on sinikäyrä, jonka ω = 10 rad/s ja amplitudi 5V kun kondensaattorin C1 alkuarvoksi asetetaan -0,5 V.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
Spanish Inquisitor Jr

Tämän ketjun aiheena on differentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Eli tähän ketjuun voi kirjoitella mitä mieeen juolahtaa differentiaaliyhtälöistä. Ei tarvitse olla ekspertti, vaan kaikki ideat ovat tervetulleita.

 

Tehtävä:

y'' + ω² y = 0.

Löydettävä ratkaisuja.

Siinä se on. Ei mitään olettamuksia mistään, mitä y tai ω on jne.

 

 

 http://aijaa.com/TTsLbf

   tässä on sitten pyöritystä:

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900
korant

Micrö-Cap-ohjelmalla olen muutama vuosikymmen sitten simuloinut elektroniikkapiirejä ja koneellani ohjelmisto on edelleen mutten ainakaan vielä saanut kytkentää toimimaan:

Oskillaattoripiirejä tarkasteltaessa yleensä oletetaan, että ne ovat jo käynnissä, eli värähtelevät.

Ne ovat kuitenkin aluksi labiilissa tilassa, ja niiden käynnistämiseen tarvitaan jotain, esimerkiksi lämpökohinaa. Harva simulaattori osaa suoraan käynnistää oskillaattorin. Varmaan joku impulssi johonkin kohtaan piirissä auttaisisen käyntiin.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
o_turunen
Varmaan joku impulssi johonkin kohtaan piirissä auttaisisen käyntiin.
Kyllä, käynnistäminen edellyttää oikeita lähtöarvoja eli tuossa on asetettu kondensaattorin C1 alkuarvoksi -0,5 V (eli 1. integraattorin lähtö) (Uc2 = 0) ja vasta sen jälkeen toiminta alkaa. Takaisinkytkentäsilmukassa voisi olla kytkin joka alkuhetkellä suljetaan.

myl
Seuraa 
Viestejä224

 

Jos nyt palattaisiin alkuperäiseen aiheeseen ja kirjoitetaan yhtälö muotoon

y''=-ω²y.

Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna. Tällaisia ovat eksponenttifunkio, trigonometriset funtiot ja hyperboliset funktiot.

Yhtälö on toista kertalukua, joten ratkaisussa täytyy olla kaksi lineaarisesti riippumatonta funktiota. Tällainen yrite on esim. y(t)= Ae^at + Be^bt, jossa a≠b. Kun sen sijoittaa yhtälöön, voi ratkaista kertoimet a ja b, sekä reunaehdoista kertoimet A ja B. Trigonometriset ja hyperboliset yritteet antavat saman ratkaisun.

Käytännössä ratkaisu tehdään kuitenkin seuraavalla tavalla, koska se toimii yleisemmin.

Otetaan yhtälöstä Laplace-muunnos

s²Y - sy_0 - y_1+ω²Y = 0,

jossa y_0 on funktion arvo origossa (kun t = 0) ja y_1 sen ensimmäisen derivaatan arvo siinä.

Laplace-muunnos siirtää funktion koordinaatistosta toiseen (s-avaruuteen). Tässä tapauksessa aikatasosta taajuustasoon. Ratkaistaan Y

Y = (sy_0+y_1)/(s²+ω²).

Tehdään nyt käänteismuunnos takaisin aikatasoon, eli katsotaan taulukosta yo. funktion käänteismuunnos. Sen voi myös laskea integroimalla e^st Y(s) sopivaa polkua pitkin äärettömän välin yli.

Käänteisfunktio eli alkuperäisen yhtälön ratkaisu on y = y_0 cos(ωt)+(y_1/ ω)sin(ωt).

- myl

 

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
myl

 

Jos nyt palattaisiin alkuperäiseen aiheeseen ja kirjoitetaan yhtälö muotoon

y''=-ω²y.

Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna. Tällaisia ovat eksponenttifunkio, trigonometriset funtiot ja hyperboliset funktiot.

 

- myl

 

(1) d/dx (e^x) = e^x

(2) d/dx (sin(x)) = cos (x)

(3) d/dx (sinh(x)) = cosh(x)

Ainoastaan kaavassa (1) on sama funktio.

Mutta eihän näihin epätäsmällisyyksiin saisi tällä palstalla tietenkään puuttua. Eläköön epäselvyys!

Ohman

 

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Ohman
myl

 

Jos nyt palattaisiin alkuperäiseen aiheeseen ja kirjoitetaan yhtälö muotoon

y''=-ω²y.

Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna. Tällaisia ovat eksponenttifunkio, trigonometriset funtiot ja hyperboliset funktiot.

 

- myl

 

(1) d/dx (e^x) = e^x

(2) d/dx (sin(x)) = cos (x)

(3) d/dx (sinh(x)) = cosh(x)

Ainoastaan kaavassa (1) on sama funktio.

Mutta eihän näihin epätäsmällisyyksiin saisi tällä palstalla tietenkään puuttua. Eläköön epäselvyys!

Ohman

 

Pitäisi tietysti sanoa: "...toinen derivaatta on sama funktio", sillä on kyseessä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

Vanha jäärä

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Vanha jäärä
Ohman
myl

Jos nyt palattaisiin alkuperäiseen aiheeseen ja kirjoitetaan yhtälö muotoon

y''=-ω²y.

Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna. Tällaisia ovat eksponenttifunkio, trigonometriset funtiot ja hyperboliset funktiot.

- myl

(1) d/dx (e^x) = e^x

(2) d/dx (sin(x)) = cos (x)

(3) d/dx (sinh(x)) = cosh(x)

Ainoastaan kaavassa (1) on sama funktio.

Mutta eihän näihin epätäsmällisyyksiin saisi tällä palstalla tietenkään puuttua. Eläköön epäselvyys!

Ohman

Pitäisi tietysti sanoa: "...toinen derivaatta on sama funktio", sillä on kyseessä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

   d^2/dx^2 (sin(x) =

d/dx (d/dx) (sin(x)) = d/dx(cos(x)) = - sin(x)

Jos sin(x) ja - sin(x) ovat "sama funktio", niin mikäs siinä. Tosin silloin sin(x) = - sin(x) ja siis sin(x) = 0. Mutta mikäs siinä.Turhaahan näihin on puuttua. Virheet kunniaan! Kunhan nyt on vähän "sinnepäin", niin hyvä.

Ohman 

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Ohman

Pitäisi tietysti sanoa: "...toinen derivaatta on sama funktio", sillä on kyseessä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

d^2/dx^2 (sin(x) =

d/dx (d/dx) (sin(x)) = d/dx(cos(x)) = - sin(x)

Jos sin(x) ja - sin(x) ovat "sama funktio", niin mikäs siinä. Tosin silloin sin(x) = - sin(x) ja siis sin(x) = 0. Mutta mikäs siinä.Turhaahan näihin on puuttua. Virheet kunniaan! Kunhan nyt on vähän "sinnepäin", niin hyvä.

Ohman 

Oletin, että olit lukenut alkuperäisen tekstin, enkä siksi siteerannut kuin vain sen osan tekstiä, jossa virhe oli. Mutta hyvä on, tässä koko virke alkuperäistä tekstiä korjattuna: "Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen toinen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna."

Varmaan myös tuosta voi löytää jonkin epätarkkuuden. Kieliopillisesti siitä esimerkiksi puuttuu yksi pilkku kuten alkuperäisestäkin.

Vanha jäärä

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Vanha jäärä

[quote author="Ohman" time="01.08.2014 klo 09:33"]

 

Pitäisi tietysti sanoa: "...toinen derivaatta on sama funktio", sillä on kyseessä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

d^2/dx^2 (sin(x) =

d/dx (d/dx) (sin(x)) = d/dx(cos(x)) = - sin(x)

Jos sin(x) ja - sin(x) ovat "sama funktio", niin mikäs siinä. Tosin silloin sin(x) = - sin(x) ja siis sin(x) = 0. Mutta mikäs siinä.Turhaahan näihin on puuttua. Virheet kunniaan! Kunhan nyt on vähän "sinnepäin", niin hyvä.

Ohman 

Oletin, että olit lukenut alkuperäisen tekstin, enkä siksi siteerannut kuin vain sen osan tekstiä, jossa virhe oli. Mutta hyvä on, tässä koko virke alkuperäistä tekstiä korjattuna: "Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen toinen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna."

Varmaan myös tuosta voi löytää jonkin epätarkkuuden. Kieliopillisesti siitä esimerkiksi puuttuu yksi pilkku kuten alkuperäisestäkin.

 

 

Parahin Vanha jäärä!

 

Turhaa keskusteluahan tämä tietenkin on. Sanon nyt kuitenkin, etten minä pilkkuja etsinyt. Tuon korjaamasi lauseen (lisäsit sanan "toinen") jälkeen tulee alkuperäisessä tekstissä kuitenkin lause, jossa sanotaan "Tällaisia ovat ... trigonometriset funktiot...

No, sin(x) on trigonometrinen funktio, mutta d/dx (sin(x)) = cos(x) ja d^2/dx^2 (sin(x)) = - sin(x),

joten sen enempää alkuperäinen lause kuin korjaamasikaan eivät ole sopusoinnussa tuon seuraavan lauseen kanssa.

Kaikella kunnioituksella vanhoja jääriä kohtaan

Ohman

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat