Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Tämän ketjun aiheena on differentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Eli tähän ketjuun voi kirjoitella mitä mieeen juolahtaa differentiaaliyhtälöistä. Ei tarvitse olla ekspertti, vaan kaikki ideat ovat tervetulleita.

 

Tehtävä:

y'' + ω² y = 0.

Löydettävä ratkaisuja.

Siinä se on. Ei mitään olettamuksia mistään, mitä y tai ω on jne.

 

 

 

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Kommentit (32)

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

En ole juurikaan diff. yhtälöitä ratkonut mutta käsitykseni on että yleensä kokeillaan sopiiko jokin funktio ratkaisuksi ja tuossahan on kyse sinimuotoisesta värähtelystä.

d²(sin(ωt))/dt² = -ω²·sin(ωt)

Värähtelyn kulmataajuus on ω ja amplitudi määräytyy alkuehdoista.

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä. Tässä esim. liitetään kaksi integraattoria peräkkäin ja kytketään jälkimmäisen integraattorin lähtö ensimmäisen tuloon kerrottuna -ω²:lla (sopivalla vahvistuksella/vaimennuksella) ja asettamalla signaalin amplitudille sopiva alkuarvo. Jälkimmäisen integraattorin lähtö on kyseinen ratkaisusignaali. Integraattoreiden integointiaikavakiolla voidaan määrittää signaalin aika-akseli eli se voidaan saada hidastettuna tai nopeutettuna.

NytRiitti
Seuraa 
Viestejä2851
Liittynyt12.9.2012
korant

..

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä.

...

Voiskohan vastaavan toteuttaa SPICE:n avulla compuuterilla

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Näyttää ihan tavalliselta lineaariselta yhtälöltä.

Oletus oomegasta tosin on aika väljä. Onko se reaalinen tai kompleksinen tai edes vakio?

Ja saako y todella olla mitä tahansa? Laskutoimitukset ja derivointi voivat olla määriteltyjä vaikka minkälaisissa eksoottisissa avaruuksissa.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013
Veli H.
korant

..

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä.

...

Voiskohan vastaavan toteuttaa SPICE:n avulla compuuterilla

Ilman muuta millä hyvänsä elektroniikkasimulaattorilla jossa on analogiset komponentit mukana. Kolme operaatiovahvistinta, pari kondensaattoria ja muutama vastus. Tuota voisi vaikka kokeilla.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014
korant

En ole juurikaan diff. yhtälöitä ratkonut mutta käsitykseni on että yleensä kokeillaan sopiiko jokin funktio ratkaisuksi ja tuossahan on kyse sinimuotoisesta värähtelystä.

d²(sin(ωt))/dt² = -ω²·sin(ωt)

Värähtelyn kulmataajuus on ω ja amplitudi määräytyy alkuehdoista.

Opiskeluaina eräs diff.yhtälöiden ratkaisumenetelmä oli analogiaratkaisin jossa elektronisilla integraattoreilla voitiin toteuttaa annettua yhtälöä vastaava kytkentä. Tässä esim. liitetään kaksi integraattoria peräkkäin ja kytketään jälkimmäisen integraattorin lähtö ensimmäisen tuloon kerrottuna -ω²:lla (sopivalla vahvistuksella/vaimennuksella) ja asettamalla signaalin amplitudille sopiva alkuarvo. Jälkimmäisen integraattorin lähtö on kyseinen ratkaisusignaali. Integraattoreiden integointiaikavakiolla voidaan määrittää signaalin aika-akseli eli se voidaan saada hidastettuna tai nopeutettuna.

Tuo mainitsemasi analogiaratkaisi on kyllä mielenkiintoinen, oliko sellaisella mahdollista saada jonkinlaisia numeerisia tuloksia, vai oliko se pelkastään kuva oskilloskoopilla, josta voitiin tietysti päätellä jotain yhtälön ratkaisusta?

En nyt siis enää tarkoita mun esittämääni yhtälöä, vaan kyse on yleisemmistä yhtälöistä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013
Veli H.
Siinäpä sellainen juuri. Muistelin nähneeni noin puoli vuosisataa sitten analogialaskimen, jonka paneelissa oli lukuisa määrä tarkkuuspotikoita, konkkia, operaatiovahvistimia ja keloja. Museoesinehän se oli jo silloin enkä tiedä sen kohtalosta. Micrö-Cap-ohjelmalla olen muutama vuosikymmen sitten simuloinut elektroniikkapiirejä ja koneellani ohjelmisto on edelleen mutten ainakaan vielä saanut kytkentää toimimaan:

Lähtösignaali on sinikäyrä, jonka ω = 10 rad/s ja amplitudi 5V kun kondensaattorin C1 alkuarvoksi asetetaan -0,5 V.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
Liittynyt31.12.2013
Spanish Inquisitor Jr

Tämän ketjun aiheena on differentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Eli tähän ketjuun voi kirjoitella mitä mieeen juolahtaa differentiaaliyhtälöistä. Ei tarvitse olla ekspertti, vaan kaikki ideat ovat tervetulleita.

 

Tehtävä:

y'' + ω² y = 0.

Löydettävä ratkaisuja.

Siinä se on. Ei mitään olettamuksia mistään, mitä y tai ω on jne.

 

 

 http://aijaa.com/TTsLbf

   tässä on sitten pyöritystä:

o_turunen
Seuraa 
Viestejä13967
Liittynyt16.3.2005
korant

Micrö-Cap-ohjelmalla olen muutama vuosikymmen sitten simuloinut elektroniikkapiirejä ja koneellani ohjelmisto on edelleen mutten ainakaan vielä saanut kytkentää toimimaan:

Oskillaattoripiirejä tarkasteltaessa yleensä oletetaan, että ne ovat jo käynnissä, eli värähtelevät.

Ne ovat kuitenkin aluksi labiilissa tilassa, ja niiden käynnistämiseen tarvitaan jotain, esimerkiksi lämpökohinaa. Harva simulaattori osaa suoraan käynnistää oskillaattorin. Varmaan joku impulssi johonkin kohtaan piirissä auttaisisen käyntiin.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013
o_turunen
Varmaan joku impulssi johonkin kohtaan piirissä auttaisisen käyntiin.
Kyllä, käynnistäminen edellyttää oikeita lähtöarvoja eli tuossa on asetettu kondensaattorin C1 alkuarvoksi -0,5 V (eli 1. integraattorin lähtö) (Uc2 = 0) ja vasta sen jälkeen toiminta alkaa. Takaisinkytkentäsilmukassa voisi olla kytkin joka alkuhetkellä suljetaan.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Huomasin pikku ajatusvirheen noissa komponenttiarvoissa. Kaikki vastukset ovat 1 kΩ ja u1:n alkuarvo on -5V. Tällöin u2 = 5V·sin(10·t) ja u1 = -5V·cos(10·t).

myl
Seuraa 
Viestejä224
Liittynyt18.11.2010

 

Jos nyt palattaisiin alkuperäiseen aiheeseen ja kirjoitetaan yhtälö muotoon

y''=-ω²y.

Siitä näkyy että funktion y täytyy olla sellainen että sen derivaatta on sama funktio, ehkä jollain vakiolla kerrottuna. Tällaisia ovat eksponenttifunkio, trigonometriset funtiot ja hyperboliset funktiot.

Yhtälö on toista kertalukua, joten ratkaisussa täytyy olla kaksi lineaarisesti riippumatonta funktiota. Tällainen yrite on esim. y(t)= Ae^at + Be^bt, jossa a≠b. Kun sen sijoittaa yhtälöön, voi ratkaista kertoimet a ja b, sekä reunaehdoista kertoimet A ja B. Trigonometriset ja hyperboliset yritteet antavat saman ratkaisun.

Käytännössä ratkaisu tehdään kuitenkin seuraavalla tavalla, koska se toimii yleisemmin.

Otetaan yhtälöstä Laplace-muunnos

s²Y - sy_0 - y_1+ω²Y = 0,

jossa y_0 on funktion arvo origossa (kun t = 0) ja y_1 sen ensimmäisen derivaatan arvo siinä.

Laplace-muunnos siirtää funktion koordinaatistosta toiseen (s-avaruuteen). Tässä tapauksessa aikatasosta taajuustasoon. Ratkaistaan Y

Y = (sy_0+y_1)/(s²+ω²).

Tehdään nyt käänteismuunnos takaisin aikatasoon, eli katsotaan taulukosta yo. funktion käänteismuunnos. Sen voi myös laskea integroimalla e^st Y(s) sopivaa polkua pitkin äärettömän välin yli.

Käänteisfunktio eli alkuperäisen yhtälön ratkaisu on y = y_0 cos(ωt)+(y_1/ ω)sin(ωt).

- myl

 

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat