Seuraa 
Viestejä2
Liittynyt3.10.2014

Joo elikkä tämmönen kysymys askarruttais. y = -x^2 + 2x paraabelin ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen pyörähdyskappaleen tilavuus. Miten tällanen ratkeais?

Sivut

Kommentit (29)

PPo
Seuraa 
Viestejä12396
Liittynyt10.12.2008
jontsa

Joo elikkä tämmönen kysymys askarruttais. y = -x^2 + 2x paraabelin ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen pyörähdyskappaleen tilavuus. Miten tällanen ratkeais?

V=π∫((x1)²-(x2)²)dy 0≤y≤1 , x1 ja x2 ovat yhtälön y = -x^2 + 2x ratkaisut ,x1>x2

jontsa
Seuraa 
Viestejä2
Liittynyt3.10.2014

Juu :)tuo vaan ongelmana, etten tiedä pitäiskö pyörähdyskappaleessa ottaa huomioon tuo ns. "ontto tila" jollakin tavalla. Oikeaa vastausta minulla ei ole.

PPo
Seuraa 
Viestejä12396
Liittynyt10.12.2008
jontsa

Juu :)tuo vaan ongelmana, etten tiedä pitäiskö pyörähdyskappaleessa ottaa huomioon tuo ns. "ontto tila" jollakin tavalla. Oikeaa vastausta minulla ei ole.

--merkki antamassani kaavassa huomioi juuri "onton tilan"

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

PPo siis vähän oikaisi. Oikeasti tilavuus on ulko- ja sisäosan tilavuuksien erotus. (Voisit piirtää kuvan.)

Siis V=π∫((x1)²dy- π∫((x2)²)dy joka sitten on V=π∫((x1)²-(x2)²)dy, koska rajat ovat samat.

 

Bolzma
Seuraa 
Viestejä105
Liittynyt31.12.2013
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen.

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

 

 

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005
Bolzma
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen.

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

Juu no niin mä sen laskin ja meinasin esittää mutta sitten hoksasin että täällä aina haetaan jotain yleispätevää ratkaisua.

 

PPo
Seuraa 
Viestejä12396
Liittynyt10.12.2008
Bolzma
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen. 

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

 

 

 

Mihin perustuu pituuden laskukaava??

Bolzma
Seuraa 
Viestejä105
Liittynyt31.12.2013

Se on sellaisen ympyrän kehän pituus, jonka säde on poikkipinta-alan massakeskipisteen, tai mikä lienee painopisteen x-koordinaatin etäisyys origosta. Tässä se on symmetria-akselin etäisyys. Tossa on vähän lisääkin:  http://aijaa.com/gzIlcn

PPo
Seuraa 
Viestejä12396
Liittynyt10.12.2008
Bolzma

Se on sellaisen ympyrän kehän pituus, jonka säde on poikkipinta-alan massakeskipisteen, tai mikä lienee painopisteen x-koordinaatin etäisyys origosta. Tässä se on symmetria-akselin etäisyys. Tossa on vähän lisääkin:  http://aijaa.com/gzIlcn

 

Ahaa. Käytit siis tulosta, jonka mukaan tasoalueen pyörähtäessä alueen ulkopuolisen suoran ympäri, tilavuus saadaan alueen pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulona.

Esin Torus (pyörän rengas) V=πR²*2πr

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Lasketaanpas nyt ihan normaalina tilavuusintegraalina, ilman kikkailuja.

R(x,y,a) = x cos(a)  i + y j + x sin(a) k

dR/dx = cos(a) i + sin(a) k

dR/dy = j

dR/da = - x sin(a) i + x cos(a) k

dR/dx · dR/dy × dR/da = x

V = Int(0 <= x <= 2) dx(Int((0<= y <= -x^2 + 2x) dy ( Int(0 <= a <= 2 pii) x da))) =

2 pii Int(0 <= x <= 2) (-x^3 + 2x^2) dx = 2 pii Sij(0 <= x <= 2) (-x^4 / 4 + 2/3 x^3) =

= 2 pii ( -4 + 16/3) = 8 pii / 3.

Tuossa on siis kolme "sisäkkäistä" integraalia, ensin integroidaan da arvosta 0 arvoon 2 pii, sitten

dy arvosta 0 arvoon -x^2 + 2x ja lopuksi tämän ja x:n tulo kertaa dx arvosta 0 arvoon 2.

Ohman 

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Niin, jos nuo useampiulotteiset intgraalit ovat tuttuja, meneehän se noinkin. Ainakaan meillä lukiossa niitä ei pahemmin käsitelty, ja tuo vastaus olisi näyttänyt heprealta.

Mutta jos ovat tuttuja, meneehän tuo näppärästi myös sylinterikoordinaatistossa.

V=∫∫∫rdrdφdy,

jossa rajat: r: ( 1-√(1-y) <= 1+√(1-y) ), φ:( 0 <= 2π ) ja y:(0 <= 1 ).

r:n rajat tulevat siis toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, kuten aiemmin tässä ketjussa esitellyssä ratkaisussa. Integrointirajoissa r:llä on y riippuvuus, joten se pitää laskea ennen y:n suhteen integrointia.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
bosoni

Niin, jos nuo useampiulotteiset intgraalit ovat tuttuja, meneehän se noinkin. Ainakaan meillä lukiossa niitä ei pahemmin käsitelty, ja tuo vastaus olisi näyttänyt heprealta.

Mutta jos ovat tuttuja, meneehän tuo näppärästi myös sylinterikoordinaatistossa.

V=∫∫∫rdrdφdy,

jossa rajat: r: ( 1-√(1-y) <= 1+√(1-y) ), φ:( 0 <= 2π ) ja y:(0 <= 1 ).

r:n rajat tulevat siis toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, kuten aiemmin tässä ketjussa esitellyssä ratkaisussa. Integrointirajoissa r:llä on y riippuvuus, joten se pitää laskea ennen y:n suhteen integrointia.

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat