Seuraa 
Viestejä2

Joo elikkä tämmönen kysymys askarruttais. y = -x^2 + 2x paraabelin ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen pyörähdyskappaleen tilavuus. Miten tällanen ratkeais?

Sivut

Kommentit (29)

PPo
Seuraa 
Viestejä15174
jontsa

Joo elikkä tämmönen kysymys askarruttais. y = -x^2 + 2x paraabelin ja x-akselin rajaama alue pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen pyörähdyskappaleen tilavuus. Miten tällanen ratkeais?

V=π∫((x1)²-(x2)²)dy 0≤y≤1 , x1 ja x2 ovat yhtälön y = -x^2 + 2x ratkaisut ,x1>x2

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä15174
jontsa

Juu :)tuo vaan ongelmana, etten tiedä pitäiskö pyörähdyskappaleessa ottaa huomioon tuo ns. "ontto tila" jollakin tavalla. Oikeaa vastausta minulla ei ole.

--merkki antamassani kaavassa huomioi juuri "onton tilan"

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

PPo siis vähän oikaisi. Oikeasti tilavuus on ulko- ja sisäosan tilavuuksien erotus. (Voisit piirtää kuvan.)

Siis V=π∫((x1)²dy- π∫((x2)²)dy joka sitten on V=π∫((x1)²-(x2)²)dy, koska rajat ovat samat.

 

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen.

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

 

 

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Bolzma
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen.

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

Juu no niin mä sen laskin ja meinasin esittää mutta sitten hoksasin että täällä aina haetaan jotain yleispätevää ratkaisua.

 

PPo
Seuraa 
Viestejä15174
Bolzma
CE-hyväksytty

Aniijjoo. Poikkileikkauksen ala kertaa keskiviivan pituus antaa oikean vastauksen vaan jos poikkileikkaus on symmetrinen. 

Nythän se on symmetrinen suoran x=1 suhteen, joten kyllä se niinkin tulee. Varmaan tarkoitettukin laskettavaksi niin.

F(x)=-x^3/3+x^2 , tuohon kun sijoitetaan rajat 0...2, niin tulee -8/3+4=4/3

"keskiviivan" pituus on 2*pi*1=2pi, joten V=8pi/3

 

 

 

Mihin perustuu pituuden laskukaava??

PPo
Seuraa 
Viestejä15174
Bolzma

Se on sellaisen ympyrän kehän pituus, jonka säde on poikkipinta-alan massakeskipisteen, tai mikä lienee painopisteen x-koordinaatin etäisyys origosta. Tässä se on symmetria-akselin etäisyys. Tossa on vähän lisääkin:  http://aijaa.com/gzIlcn

 

Ahaa. Käytit siis tulosta, jonka mukaan tasoalueen pyörähtäessä alueen ulkopuolisen suoran ympäri, tilavuus saadaan alueen pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulona.

Esin Torus (pyörän rengas) V=πR²*2πr

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

Lasketaanpas nyt ihan normaalina tilavuusintegraalina, ilman kikkailuja.

R(x,y,a) = x cos(a)  i + y j + x sin(a) k

dR/dx = cos(a) i + sin(a) k

dR/dy = j

dR/da = - x sin(a) i + x cos(a) k

dR/dx · dR/dy × dR/da = x

V = Int(0 <= x <= 2) dx(Int((0<= y <= -x^2 + 2x) dy ( Int(0 <= a <= 2 pii) x da))) =

2 pii Int(0 <= x <= 2) (-x^3 + 2x^2) dx = 2 pii Sij(0 <= x <= 2) (-x^4 / 4 + 2/3 x^3) =

= 2 pii ( -4 + 16/3) = 8 pii / 3.

Tuossa on siis kolme "sisäkkäistä" integraalia, ensin integroidaan da arvosta 0 arvoon 2 pii, sitten

dy arvosta 0 arvoon -x^2 + 2x ja lopuksi tämän ja x:n tulo kertaa dx arvosta 0 arvoon 2.

Ohman 

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Niin, jos nuo useampiulotteiset intgraalit ovat tuttuja, meneehän se noinkin. Ainakaan meillä lukiossa niitä ei pahemmin käsitelty, ja tuo vastaus olisi näyttänyt heprealta.

Mutta jos ovat tuttuja, meneehän tuo näppärästi myös sylinterikoordinaatistossa.

V=∫∫∫rdrdφdy,

jossa rajat: r: ( 1-√(1-y) <= 1+√(1-y) ), φ:( 0 <= 2π ) ja y:(0 <= 1 ).

r:n rajat tulevat siis toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, kuten aiemmin tässä ketjussa esitellyssä ratkaisussa. Integrointirajoissa r:llä on y riippuvuus, joten se pitää laskea ennen y:n suhteen integrointia.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

JAM
Seuraa 
Viestejä192
bosoni

Niin, jos nuo useampiulotteiset intgraalit ovat tuttuja, meneehän se noinkin. Ainakaan meillä lukiossa niitä ei pahemmin käsitelty, ja tuo vastaus olisi näyttänyt heprealta.

Mutta jos ovat tuttuja, meneehän tuo näppärästi myös sylinterikoordinaatistossa.

V=∫∫∫rdrdφdy,

jossa rajat: r: ( 1-√(1-y) <= 1+√(1-y) ), φ:( 0 <= 2π ) ja y:(0 <= 1 ).

r:n rajat tulevat siis toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, kuten aiemmin tässä ketjussa esitellyssä ratkaisussa. Integrointirajoissa r:llä on y riippuvuus, joten se pitää laskea ennen y:n suhteen integrointia.

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
JAM
bosoni

Niin, jos nuo useampiulotteiset intgraalit ovat tuttuja, meneehän se noinkin. Ainakaan meillä lukiossa niitä ei pahemmin käsitelty, ja tuo vastaus olisi näyttänyt heprealta.

Mutta jos ovat tuttuja, meneehän tuo näppärästi myös sylinterikoordinaatistossa.

V=∫∫∫rdrdφdy,

jossa rajat: r: ( 1-√(1-y) <= 1+√(1-y) ), φ:( 0 <= 2π ) ja y:(0 <= 1 ).

r:n rajat tulevat siis toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta, kuten aiemmin tässä ketjussa esitellyssä ratkaisussa. Integrointirajoissa r:llä on y riippuvuus, joten se pitää laskea ennen y:n suhteen integrointia.

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

   Hyvä, että laitoit. En ole aikaisemmin nimittäin tiennytkään mistä se nyrkkikaava: Tilavuus on 2pi*painopisteen x-koordinaatti*ala tulee. http://aijaa.com/l8ofrr

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
JAM
Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Tuo onkin oikeastaan yksinkertaisepi kuin tässä ketjussa ensimmäisenä esitetty tapa. Ja toisaalta en tiedä miksi merkitsin nuo x:n rajat y: avulla, kun tehtävästä suoraan olisi voinut poimia päinvastaisen, kuten jo Ohman jo edellä teki.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

PPo
Seuraa 
Viestejä15174
JAM

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Todella näppärä ratkaisu

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
JAM

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Ei taida tällainen insinöörimatematiikka ihan mennä.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Opettaja
JAM

Turhahan tuossa on mennä sylinterikoordinaatteihin asti, kun voi oikaista ja muodostaa sylinterinkuoresta tilavuusalkion. Alueen pyörähtäessä y-akselista etäisyydelle x ja dx-paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on dV = 2 π x (-x^2 + 2x ) dx. Tuo sitten integroidaan x:n suhteen 0 → 2. Tämä menee varmaan vielä lukion kursseilla.

Ei taida tällainen insinöörimatematiikka ihan mennä.

Hyvä insinöörimatematiikka on myös matematiikkaa. Kyllähän tuon voi perustella Riemannin summilla tai vastaavilla samoin kuin tehdään silloin, kun lasketaan pinta-aloja integraaleilla.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat