Seuraa 
Viestejä29459

Ok, siis meillä on funktio f(x), jolle pätee f³(x) = ¾f(x) -¼f(3x).

Ratkaisuna on tietysti kaksi vakioarvoa f:lle, mutta onpas eräs ei-vakiokin, ihan oikea tunnettu funktio, jota en kerro. Miten tuosta alkaisitte etsimään ko. funktiota. Miten tommoisia yhtälöitä lähestytään? Sarjakehitelmä varmastikkin puree ja sitten vain verrataan tunnettujen funktioden sarjakehitelmiin, pitää kokeilla kunhan ehtii/viitsii.

3³+4³+5³=6³

Kommentit (17)

PPo
Seuraa 
Viestejä15163
JPI

Ok, siis meillä on funktio f(x), jolle pätee f³(x) = ¾f(x) -¼f(3x).

Ratkaisuna on tietysti kaksi vakioarvoa f:lle, mutta onpas eräs ei-vakiokin, ihan oikea tunnettu funktio, jota en kerro. Miten tuosta alkaisitte etsimään ko. funktiota. Miten tommoisia yhtälöitä lähestytään? Sarjakehitelmä varmastikkin puree ja sitten vain verrataan tunnettujen funktioden sarjakehitelmiin, pitää kokeilla kunhan ehtii/viitsii.

f(x)= sinx kelpaa ratkaisuksi.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä15163
korant

Näyttää kelpaavan mutta miten sen löysit?

Yhtälö muistutti mielestäni hämärästi trigonometristen funkitoiden palautuskaavoja.

Vähän taulukon selailua ja BINGO!

pöhl
Seuraa 
Viestejä956
JPI
Miten tommoisia yhtälöitä lähestytään? Sarjakehitelmä varmastikkin puree ja sitten vain verrataan tunnettujen funktioden sarjakehitelmiin, pitää kokeilla kunhan ehtii/viitsii.

Ei pure kaikkiin. Cauchyn funktionaaliyhtälöllä f(x+y)=f(x)f(y) on Lebesguen mitan suhteen epämitallisia ratkaisuja. Yleistä ratkaisutapaa ei taida olla olemassa, joitain matikkakilpailuissa tarvittavia tekniikoita on IMOmathissä.

JPI
Seuraa 
Viestejä29459
PPo
korant

Näyttää kelpaavan mutta miten sen löysit?

Yhtälö muistutti mielestäni hämärästi trigonometristen funkitoiden palautuskaavoja.

Vähän taulukon selailua ja BINGO!

Aivan, juuri taulukoista minäkin tuon löysin ja korvasin sitten sin(x):n f(x):llä.

Mutta miten tuon tyyppisiä yhtälöitä yleensä ratkaistaan?

 

3³+4³+5³=6³

JPI
Seuraa 
Viestejä29459
Puuhikki
JPI
Miten tommoisia yhtälöitä lähestytään? Sarjakehitelmä varmastikkin puree ja sitten vain verrataan tunnettujen funktioden sarjakehitelmiin, pitää kokeilla kunhan ehtii/viitsii.

Ei pure kaikkiin. Cauchyn funktionaaliyhtälöllä f(x+y)=f(x)f(y) on Lebesguen mitan suhteen epämitallisia ratkaisuja. Yleistä ratkaisutapaa ei taida olla olemassa, joitain matikkakilpailuissa tarvittavia tekniikoita on IMOmathissä.

Joopa joo, funktionaaliyhtälöitähän nuo ovatkin, kiitos linkistä.

3³+4³+5³=6³

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
PPo

Epistä.

Mitä iloa on enää omasta vähäisestä osaamisesta kun WA on ylivoimainen

Kun ei itse ole matemaatikko, niin nämä symbolimatematiikkatyökalut ovat mahtavia: ne eivät – yleensä – tee virheitä, ja ne ovat lisäksi käytännössä salamannopeita. Silloin voi matematiikan sovellutuksissa kiinnittää huomionsa juuri oikeaan asiaan eli yhtälöiden johtoon ja niiden ratkaisuihin. Ikävä ja virheherkkä kaavanvääntö on sivuseikka.

Kaiken lisäksi ohjelmistojen koodigeneraattorilla saa tuloksen ohjelmakoodiksi tuossa tuokiossa. Ainakin teknisten sovellusten algoritmintekijän tai koodarin tuottavuus ja virheettömyys nousee kertalukuja.

Tosin näissäkin pätee havaitsemani kertalukusääntö eli "jos jollakin keinolla pystytään ratkaisemaan kertalukua N olevat ongelmat, niin syntyvät ongelmat ovat ainakin kertalukua N+1". Olen joskus tutkinut – ja pitkään – patologisesti käyttäytyviä yhtälöiden ratkaisuja, jotka sinällään olivat aivan oikein, mutta tulokset olisi pitänyt koodata toisin numeerisen tarkkuuden säilyttämiseksi kyseisillä parametriarvoilla. Ei silloinkaan koodigeneraattori osannut.

 

Vanha jäärä

PPo
Seuraa 
Viestejä15163
PPo
hmk

Wolfram Alphalla tuo(kin) ratkeaa melko nopeasti. Nokkela pirulainen ;)

Epistä.

Mitä iloa on enää omasta vähäisestä osaamisesta kun WA on ylivoimainen

Pientä lohtua      vuotavalle mielelle.

WA tarjosi ratkaisuksi f(x) =-sin (c1x).

Koneelta puuttuu empatia ja --merkin käyttämisen vaikeuden aiheuttamien traumojjen ymmärtäminen.

Ei-koneena olisin kirjoittanut vastauksen f(x) =sin (cx)

JPI
Seuraa 
Viestejä29459
PPo
PPo
hmk

Wolfram Alphalla tuo(kin) ratkeaa melko nopeasti. Nokkela pirulainen ;)

Epistä.

Mitä iloa on enää omasta vähäisestä osaamisesta kun WA on ylivoimainen

Pientä lohtua      vuotavalle mielelle.

WA tarjosi ratkaisuksi f(x) =-sin (c1x).

Koneelta puuttuu empatia ja --merkin käyttämisen vaikeuden aiheuttamien traumojjen ymmärtäminen.

Ei-koneena olisin kirjoittanut vastauksen f(x) =sin (cx)

No voihan prkl. Koklasin summamutikassa  muutamia samantyyppisiä funktionnaliyhtälöitä WA:lla, ei löytynyt recurrence solutuionia niihin, joten aika mielenkiintoista. hmmm...

3³+4³+5³=6³

hmk
Seuraa 
Viestejä1081
PPo

Pientä lohtua      vuotavalle mielelle.

WA tarjosi ratkaisuksi f(x) =-sin (c1x).

Koneelta puuttuu empatia ja --merkin käyttämisen vaikeuden aiheuttamien traumojjen ymmärtäminen.

Ei-koneena olisin kirjoittanut vastauksen f(x) =sin (cx)

Nonni, inhimilliselle elementille on vielä tilaa :)

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

hmk
Seuraa 
Viestejä1081
JPI

No voihan prkl. Koklasin summamutikassa  muutamia samantyyppisiä funktionnaliyhtälöitä WA:lla, ei löytynyt recurrence solutuionia niihin, joten aika mielenkiintoista. hmmm...

Itse löysin suht vähällä vaivalla monia muitakin esimerkkejä .

Kirjoititko potenssit f(x)^2 vai f^2(x), kuten avausviestissäsi? WA ilmeisesti tulkitsee jälkimmäisen yhdistetyksi funktioksi, siis f(f(x)), ja tällaiset yhtälöt taitavat olla aika hard-coreja ;)

 

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

JPI
Seuraa 
Viestejä29459
hmk
JPI

No voihan prkl. Koklasin summamutikassa  muutamia samantyyppisiä funktionnaliyhtälöitä WA:lla, ei löytynyt recurrence solutuionia niihin, joten aika mielenkiintoista. hmmm...

Itse löysin suht vähällä vaivalla monia muitakin esimerkkejä .

Kirjoititko potenssit f(x)^2 vai f^2(x), kuten avausviestissäsi? WA ilmeisesti tulkitsee jälkimmäisen yhdistetyksi funktioksi, siis f(f(x)), ja tällaiset yhtälöt taitavat olla aika hard-coreja ;)

 

Kirjoitin tyyliin f(x)^2, mutta ilmeisti kysymykseni olivat liian randomeja.

Äsken koklasin f(x)^2 + f(x) = x^2 +c ja f(x+1) = kf(x)

Osaa se perskules.

 

 

3³+4³+5³=6³

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
JPI
Puuhikki
JPI
Miten tommoisia yhtälöitä lähestytään? Sarjakehitelmä varmastikkin puree ja sitten vain verrataan tunnettujen funktioden sarjakehitelmiin, pitää kokeilla kunhan ehtii/viitsii.

Ei pure kaikkiin. Cauchyn funktionaaliyhtälöllä f(x+y)=f(x)f(y) on Lebesguen mitan suhteen epämitallisia ratkaisuja. Yleistä ratkaisutapaa ei taida olla olemassa, joitain matikkakilpailuissa tarvittavia tekniikoita on IMOmathissä.

Joopa joo, funktionaaliyhtälöitähän nuo ovatkin, kiitos linkistä.

Cauchyn funktionaaliyhtälö on kyllä f(x+y) = f(x) + f(y).

Tuon yhtälön f(x+y) = f(x) f(y) ratkaisuja ovat eksponentiaalifunktiot.

Ohman

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat