Seuraa 
Viestejä9
Liittynyt30.10.2014

Moro!

Tarvitsisin apua kolmessa matematiikan laskussa. Ideani ei nyt ole, että kopioisin vain ratkaisut. Haluaisin oikeasti ymmärtää ja tietää, mitä ja miten ne on laskettu.

Tässä ensimmäinen tehtävä:

"Mikä on todennäköisyys sille, että lukujonosta 1,2, ..., 120 umpimähkään valituista kahdesta eri luvusta toinen on > 70 ja toinen < 40?"

 

Toinen:

"Seitsemän henkilöä asettuu satunnaisesti istumaan penkille. Laske todennäköisyys, että tietyt kaksi henkilöä sijoittuvat vierekkäin."

 

Kolmas:

"Kuudentoista oppilaan ryhmästä umpimähkään valitut kaksi oppilasta ovat tyttöjä todennäköisyydellä 3/8. Kuinka monta tyttöä on ryhmässä?"

Kiitos jo etukäteen!

Sivut

Kommentit (71)

Eusa
Seuraa 
Viestejä15168
Liittynyt16.2.2011
Geeli

Moro!

Tarvitsisin apua kolmessa matematiikan laskussa. Ideani ei nyt ole, että kopioisin vain ratkaisut. Haluaisin oikeasti ymmärtää ja tietää, mitä ja miten ne on laskettu.

Tässä ensimmäinen tehtävä:

"Mikä on todennäköisyys sille, että lukujonosta 1,2, ..., 120 umpimähkään valituista kahdesta eri luvusta toinen on > 70 ja toinen < 40?"

 

Toinen:

"Seitsemän henkilöä asettuu satunnaisesti istumaan penkille. Laske todennäköisyys, että tietyt kaksi henkilöä sijoittuvat vierekkäin."

 

Kolmas:

"Kuudentoista oppilaan ryhmästä umpimähkään valitut kaksi oppilasta ovat tyttöjä todennäköisyydellä 3/8. Kuinka monta tyttöä on ryhmässä?"

Kiitos jo etukäteen!

1. Laske mikä on todennäköisyys, että luku a kuuluu osajoukkoon {71,...,120} (5/12) ja mikä toiselle vaihtoehdolle (13/14) ja koska nuo tulee molemmat toteutua, kerrotaan osatodennäköisyydet keskenään (5/12)*(13/14) = 65/168 = 5*13/(13^2-1)

Jos tuli virheitä ja ylimääräistä vinkeilyä, älä hämäänny - joku vastaa paremmin. 

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Geeli
Seuraa 
Viestejä9
Liittynyt30.10.2014

Kiitos Eusa vastaukestasi!

Kirjan takana vastauksena luki: 65/238. Mietin tuota tovin ja ihmettelen kyllä, että mistä tuo vastaus on oikein saatu. Sinun laskussasi ollaan kyllä oikeilla jäljillä mutta en tiedä, kuinka soveltaisin tuota.

Newcastle
Seuraa 
Viestejä55
Liittynyt13.12.2011

Todennäköisyys, että (A < 40) ja (B > 70 ehdolla lukujono lyhentynyt yhdellä)

P(A < 40) = 39/120
P(B > 70 | A < 40 ) = (120-70)/119 = 50/119

Nyt luvut voivat tulla kahdessa eri järjestyksessä, koska ensin voi olla pienempi/suurempi.

Eli kysytty todennäköisyys

2*P( A < 40) * P( B > 70 | A < 40) = 39*50 / (120*119) = 65/238.

Kysymys kirjassa on "väärin aseteltu", koska lukujonosta valitut luvut eivät lähde pois, toisin kuin korttipakkapelissä. Oikea todennäköisyys on

= 39*50 / (120*120) = 13/96

Toinen:

"Seitsemän henkilöä asettuu satunnaisesti istumaan penkille. Laske todennäköisyys, että tietyt kaksi henkilöä sijoittuvat vierekkäin."

 Lähde lähestymään tätä henkilöiden kokonaissijoittautumismäärällä 2*6! (pariskuntaa voidaan pitää yhtenä henkilönä, joka sijoittuu johonkin, luku kaksi tulee siitä, että he istuvat vierekkäin joko tavalla AB/BA) Ja kuinka monella tavalla 2 henkilöä voi sijoittua tähän vierekkäin (kysyttiin nimenomaan tiettyä kahta), vaihtoehtoja ei ole montaa ja "kaavan" voi miettiä ihan itse. Jollain varmaan tulee mieleen joku helpompi tapa? Muistelisin, että oli lukiossa kumminkin ihan perus ns. "kaavatehtävä"

Kolmas:

"Kuudentoista oppilaan ryhmästä umpimähkään valitut kaksi oppilasta ovat tyttöjä todennäköisyydellä 3/8. Kuinka monta tyttöä on ryhmässä?"

Olkoon n poikien ja m tyttöjen määrä

P(2 tyttöä) = m/(m+n) * (m-1)/(m+n-1) = 3/8, missä m+n = 16

Näin kai se menee?

Newcastle
Seuraa 
Viestejä55
Liittynyt13.12.2011

Pahoitteluni,

Eli kyseinen todennäköisyys piti vielä kertoa kahdella. Laskin ja tarkistin, mutta kirjoituksesta tippunut näköjään tossa ekvivalenttimerkin kohdalla se kakkonen, eli

2*P( A < 40) * P( B > 70 | A < 40) = 2 * 39*50 / (120*119) = 65/238.

Ja tuo 119 tulee siitä, että lukujonosta on jo otettu yksi luku 120-1 = 119. (luku A < 40).

pöhl
Seuraa 
Viestejä919
Liittynyt19.3.2005

Muistakaapa vielä terminologia. {1,2,...,120} on joukko. Jos X on mielivaltainen joukko ja N luonnollisten lukujen joukko, niin kuvaus x:N->X on joukon X jono. Matematiikassa jonot ovat siis aina kuvauksia eli funktioita, mutta merkintä 1,2, ..., 120 ei tarkoita kuvausta.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

1. 39/120 · 50/119 + 50/120 · 39/119 = 65/238

2. (2! · 6 · 5!) / 7! = 2/7 (Ne kaksi "tiettyä"  vierekkäin istuvaa on ensin valittu.)

3. Tyttöjä t kappaletta.

C(m,n) = m! / (n! · (m-n)!)

C(t,2)/ C(16,2) = 3/8

t! /( 2! · (t-2)!) = 3/8 · 16! / (2! · 14!) = 45

t(t-1) = 90 joten t = 10.

Ohman

Ronron
Seuraa 
Viestejä9265
Liittynyt10.12.2006

Mikä on 30 vuotiaan ihmisen todennäköisyys kuolla seuraavan sekunnin aikana, mikäli ei huomioida elämäntapaan liittyviä seikkoja, vaan oletetaan ainoastaan esim elinajanodotteen olevan 80v? Entä mikä on todennäköisyys kun ihminen on 90v? Miten tämmöisiä lasketaan? 

くそっ!

Eusa
Seuraa 
Viestejä15168
Liittynyt16.2.2011
Ronron

Mikä on 30 vuotiaan ihmisen todennäköisyys kuolla seuraavan sekunnin aikana, mikäli ei huomioida elämäntapaan liittyviä seikkoja, vaan oletetaan ainoastaan esim elinajanodotteen olevan 80v? Entä mikä on todennäköisyys kun ihminen on 90v? Miten tämmöisiä lasketaan? 

Ei ole riittävästi lähtötietoja. Eri ikäisten kuolintilastoja tarvitaan ja väestömäärä.

Tietysti matemaattisen lineaarisesti voidaan perustaa otaksumat:

50% on hengissä 80-vuotiaana, viimeinenkin kuolee 160 ikävuoteen mennessä, jakauma tasainen. Kyseessä maapallon ihminen, väkimäärä 7 miljardia. Syntyvyys on siis tasainen ja sama kuin kuolleisuus.

30-vuotiaista olisi hengissä 81,25% - Joka sekunti kuolisi n. 1 yksilö - kuoleman osuminen minkä tahansa 30-vuotiaan kohdalle seuraavan sekunnin aikana olisi luokkaa 1*10^-6 % (en jaksa laskea tarkkaan jakaumasta kuolevien 30-vuotiaiden osuutta kaikista ikäryhmistä).

90-vuotiaaksi selviäisi hengissä 43,75%, jne...

Mutta tällainen laskeminen ei tietysti anna mitenkään kovin käyttökelpoisia tuloksia.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Eusa
Ronron

Mikä on 30 vuotiaan ihmisen todennäköisyys kuolla seuraavan sekunnin aikana, mikäli ei huomioida elämäntapaan liittyviä seikkoja, vaan oletetaan ainoastaan esim elinajanodotteen olevan 80v? Entä mikä on todennäköisyys kun ihminen on 90v? Miten tämmöisiä lasketaan? 

Ei ole riittävästi lähtötietoja. Eri ikäisten kuolintilastoja tarvitaan ja väestömäärä.

Tietysti matemaattisen lineaarisesti voidaan perustaa otaksumat:

50% on hengissä 80-vuotiaana, viimeinenkin kuolee 160 ikävuoteen mennessä, jakauma tasainen. Kyseessä maapallon ihminen, väkimäärä 7 miljardia. Syntyvyys on siis tasainen ja sama kuin kuolleisuus.

30-vuotiaista olisi hengissä 81,25% - Joka sekunti kuolisi n. 1 yksilö - kuoleman osuminen minkä tahansa 30-vuotiaan kohdalle seuraavan sekunnin aikana olisi luokkaa 1*10^-6 % (en jaksa laskea tarkkaan jakaumasta kuolevien 30-vuotiaiden osuutta kaikista ikäryhmistä).

90-vuotiaaksi selviäisi hengissä 43,75%, jne...

Mutta tällainen laskeminen ei tietysti anna mitenkään kovin käyttökelpoisia tuloksia.

Eikä anna juuri vastausta Ronronin kysymykseenkään. Onko pakko kirjoittaa, vaikka ei asiasta olisi mitään järkevää sanottavaa?
Ohman

Eusa
Seuraa 
Viestejä15168
Liittynyt16.2.2011
Ohman
Eusa
Ronron

Mikä on 30 vuotiaan ihmisen todennäköisyys kuolla seuraavan sekunnin aikana, mikäli ei huomioida elämäntapaan liittyviä seikkoja, vaan oletetaan ainoastaan esim elinajanodotteen olevan 80v? Entä mikä on todennäköisyys kun ihminen on 90v? Miten tämmöisiä lasketaan? 

Ei ole riittävästi lähtötietoja. Eri ikäisten kuolintilastoja tarvitaan ja väestömäärä.

Tietysti matemaattisen lineaarisesti voidaan perustaa otaksumat:

50% on hengissä 80-vuotiaana, viimeinenkin kuolee 160 ikävuoteen mennessä, jakauma tasainen. Kyseessä maapallon ihminen, väkimäärä 7 miljardia. Syntyvyys on siis tasainen ja sama kuin kuolleisuus.

30-vuotiaista olisi hengissä 81,25% - Joka sekunti kuolisi n. 1 yksilö - kuoleman osuminen minkä tahansa 30-vuotiaan kohdalle seuraavan sekunnin aikana olisi luokkaa 1*10^-6 % (en jaksa laskea tarkkaan jakaumasta kuolevien 30-vuotiaiden osuutta kaikista ikäryhmistä).

90-vuotiaaksi selviäisi hengissä 43,75%, jne...

Mutta tällainen laskeminen ei tietysti anna mitenkään kovin käyttökelpoisia tuloksia.

Eikä anna juuri vastausta Ronronin kysymykseenkään. Onko pakko kirjoittaa, vaikka ei asiasta olisi mitään järkevää sanottavaa?

Ei.

Kirjoitin tähän, koska

a) emme ole yhteiskunta -osastossa, jolloin olisi riittänyt mainita lähtötietojen puutteesta

b) kiinnosti luodata edes hieman mistä tuollaisessa todennäköisyyslaskennassa voisi olla kyse

c) Ohman pitää kiusata kirjoittamaan asiasta jotain järkevää sanottavaa ;]

d) kiinnostaa Ronronin aiheenvaihto sinänsä, jospa jatkaisi ja pohtisi itse pitemmällekin...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Ohman

1. 39/120 · 50/119 + 50/120 · 39/119 = 65/238

2. (2! · 6 · 5!) / 7! = 2/7 (Ne kaksi "tiettyä"  vierekkäin istuvaa on ensin valittu.)

3. Tyttöjä t kappaletta.

C(m,n) = m! / (n! · (m-n)!)

C(t,2)/ C(16,2) = 3/8

t! /( 2! · (t-2)!) = 3/8 · 16! / (2! · 14!) = 45

t(t-1) = 90 joten t = 10.

Ohman

Tuli tuosta-tehtävästä mieleen toinen versio siitä. Entäpä jos istuvatkin suoran penkin sijasta pyöreällä penkillä tai pyöreän pöydän ääressä? Tällöin mahdollisia paikkoja tuolle parille on vain viisi eikä kuusi kuten alkuperäisessä tehtävässä. Tn on nyt (2! · 5 · 5!) / 7! = 5/21.

Alkuperäisen tehtävän tn oli 2/7 = 6/21. Huomataan, että molemmissa on osoittajassa tuo "suotuisten" (mahdollisten ) välien lukumäärä, joihin tuo pari voi istua. Kaikkiaan mahdollisia paikkoja seitsemästä joihin 2 voidaan istuttaa on C(7,2) = 21. Joten tn:t ovat 6/21 ja 5/21.

Tuo C(7,2) voidaan järkeillä myös näin: toisen paikka voidaan valita seitsemästä ja toisen kuudesta eli mahdollisuuksia on 42. Mutta näiden kahden järjestyksellä ei ole väliä, joten mahdollisuuksia on vain 42/2 = 21. 

Tämä nyt vain mahdollisten todennäköisyyksistä kiinnostuneiden koululaisten huviksi.

Ohman

Geeli
Seuraa 
Viestejä9
Liittynyt30.10.2014

Saisinko apua kahdessa laskussa?

 

Ensimmäinen:

Laatikossa on 30 keltaista ja 20 valkoista pöytätennispalloa. Sieltä otetaan käyttöön kymmenen palloa umpimähkään. Millä todennäköisyydellä saadaan enemmän valkoisia kuin keltaisia palloja?

 

Toinen:

Pokeripelissä pelaajalle jaetaan viisi korttia. Värisuora on viisi saman maan peräkkäistä numeroa olevaa korttia. Miten suuri mahdollisuus on pelaajalla saada pokerissa värisuora?

 

Kiitos jo etukäteen!

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat