Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008

Jonkin verran perusmekaniikkaa, vähän laskemista ja mahdollisesti loputonta selittämistä.

Pitkä suora korsi pääsee pyörimään painopisteensä kautta kulkevan vaakasuoran akselin ympäri.

Korrella kipittelee muurahainen. Juuri, kun se ohittaa akselin, on korsi vaakasuorassa ja korren kulmanopeus on φ'. Muurahainen jatkaa kipittämistään siten, että korren ( ja muurahaisen) kulmanopeus pysyy vakiona. Tehtävänä on määrittää muurahaisen etäisyys akselista r(φ), 0<φ<π/2.

Sovelluksena φ'=0,5 rad/s ja g=10 m/s². Laske r(π/10)

Näin ratkaisun, joka perustui Lagrangen mekaniikkaan je  en tietenkään ymmärtänyt sitä, kun en  ole ko mekaniikkaan perehtynyt. Uskon, että tehtävä ratkeaa kohtuullisella vaivalla Newtonin mekaniikassa.

Sivut

Kommentit (457)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä11862
Liittynyt16.3.2005

Mitenkä se hämähäkki suhtautuu muurahaiseen? Popsii suuhunsa?

Jos korsi pyörii vakionopeudella, niin muurahaisen pitää pysähtyä origoon, että korsi jatkaisi pyörimistään vakionopeudella.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
o_turunen

Mitenkä se hämähäkki suhtautuu muurahaiseen? Popsii suuhunsa?

Jos korsi pyörii vakionopeudella, niin muurahaisen pitää pysähtyä origoon, että korsi jatkaisi pyörimistään vakionopeudella.

Tehtävän mukaan muurahainen jatkaa kipittämistään joten se ei pysähdy.

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
korant

Eikö tuossa tarvita tietoa korren pituudesta, massasta, murkun massasta ja nopeudesta. Etäisyys laskettava ilmeisesti pystyakselista.

Korsi homogeeninen ja tarpeeksi pitkä ts muurahainen ei ehdi korren päähän, ennenkuin se on pyörähtänyt 90°. r(φ) on etäisyys pyörimisakselista.

Kaikki riippuvuudet selviävät tehtävän ratkaisun myötä, jos laskelmani pitävät paikkansa

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Korsi ei keikahda 90° jos on riittävän pitkä ja massa samaa luokkaa kuin murkulla tai suurempi. Heilahdusnopeus ja laajuus on juuri riippuvaisia korren pituudesta ja massasuhteesta. Ja tietysti myös murkun kipittelyvauhdista.

Eiku joo. Kuvittelin koko hökötyksen pyörivän vaakatasossa mutta ei kun korsi vaan pyöriikin pystytasossa kulmanopeudella φ'.

 gφ't·cosφ = 2vφ'

v = ½gtcosφ, φ = φ't = π/10, t = π/5

v = 5tcos(0,5t)

r = ∫(0→π/5)5tcos(0,5t)dt  ?? joku matemaatikko saa integroida jos on sinne päinkään. (Yksiköt metrejä ja sekunteja)

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
korant

Korsi ei keikahda 90° jos on riittävän pitkä ja massa samaa luokkaa kuin murkulla tai suurempi. Heilahdusnopeus ja laajuus on juuri riippuvaisia korren pituudesta ja massasuhteesta. Ja tietysti myös murkun kipittelyvauhdista.

Eiku joo. Kuvittelin koko hökötyksen pyörivän vaakatasossa mutta ei kun korsi vaan pyöriikin pystytasossa kulmanopeudella φ'.

 gφ't·cosφ = 2vφ'

v = ½gtcosφ, φ = φ't = π/10, t = π/5

v = 5tcos(0,5t)

r = ∫(0→π/5)5tcos(0,5t)dt  ?? joku matemaatikko saa integroida jos on sinne päinkään. (Yksiköt metrejä ja sekunteja)

 

Osittaisintegroinniila intgraalisi olisi mennyt. Koska oma ratkaisuni jonkin verran poikkeaa tuosta, en viitsinyt laskea vaan katsoin tuloksen WA:lla, joka antoi integraalin arvoksi

0,962751...=96 cm.

Mihin lähtöyhtälösi perustuu?

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Joo, sain numeerisella integroinnilla saman. Perustui siihen, että murkun painon pyörimistä kiihdyttävä vaikutus pitää kumoutua Corioliskiihtyvyydellä.

Tais tulla ajatusvirhe, koska φ't:n tilalla piti olla se etäisyys r.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Eikös tuo etäisyys riipu siitä, millä nopeudella murkku ohittaa akselin.

Pitääköhän tuo sittenkin olla Näin

g·r·cos(t/2) = v·r ⇒ v = g·cos(t/2)

Murkku kipittäisi aluksi siis 10 m/s. ?? Tuskin

Tolla vauhdilla se menisi 6,18 m.

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
korant

Eikös tuo etäisyys riipu siitä, millä nopeudella murkku ohittaa akselin.

Pitääköhän tuo sittenkin olla Näin

g·r·cos(t/2) = v·r ⇒ v = g·cos(t/2)

Murkku kipittäisi aluksi siis 10 m/s. ?? Tuskin

Tolla vauhdilla se menisi 6,18 m.

Selvästikin nyt sinä arvailet.

Vimeinen arvauksesi on muistaakseni sama (mittaaustarkkuuden rajoissa toki). jonka sain omasta analyyttisesta ratkaisustani.

Edelleen kysyn, mikä on sinun  boldatun lähtöyhtälösi teoreettinen perusta.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

En arvaillut vaan huomasin tehneeni ties kuinka monennen virheen ja unohdin tuosta Coriolisvoimasta säteen eli painovoiman momentin on kumouduttava Coriolisvoiman momentilla jotta korren kulmanopeus pysyy vakiona. Siitä seuraa tuo kaava josta supistuu massa ja etäisyys pois. Yhtälö olisi täydellisenä m·g·r·cos(φ'·t) = 2·m·r·v·φ' jossa φ' on vakio 0,5 rad/s ja g = 10 m/s². Ratkaisin sen numeerisesti koodilla:

Sub murkku()
  dt = 0.000001: tt = 4 * Atn(1) / 5:v = 10
  Do
    r = r + v * dt
    v = 10 * Cos(t / 2)
    t = t + dt
  Loop Until t >= tt
  Debug.Print r
End Sub

Tarkempi etäisyys olisi 6,180345 m

Tuo ei mikään paha integroitavakaan olisi mutta kun noita virheitä pukkaa muutenkin riittävästi.

Hitausvoima-allergikoille vielä varoituksen sana. Yhtälössä käytetty Coriolisvoima on siis todellinen voima koska korsihan kiihdyttää murkkua ihan oikeasti eikä mitenkään näennäisesti. Keskipakovoiman johdosta murkku joutuu lopussa hieman jarruttelemaan ja sen nopeus muutenkin pienenee kulman lähestyessä 90°:tta.

Jälleen tuli todistettua hitausvoima todelliseksi voimaksi.

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
korant

En arvaillut vaan huomasin tehneeni ties kuinka monennen virheen ja unohdin tuosta Coriolisvoimasta säteen eli painovoiman momentin on kumouduttava Coriolisvoiman momentilla jotta korren kulmanopeus pysyy vakiona. Siitä seuraa tuo kaava josta supistuu massa ja etäisyys pois. Yhtälö olisi täydellisenä m·g·r·cos(φ'·t) = 2·m·r·v·φ' jossa φ' on vakio 0,5 rad/s ja g = 10 m/s². Ratkaisin sen numeerisesti koodilla:

Sub murkku()
  dt = 0.000001: tt = 4 * Atn(1) / 5:v = 10
  Do
    r = r + v * dt
    v = 10 * Cos(t / 2)
    t = t + dt
  Loop Until t >= tt
  Debug.Print r
End Sub

Tarkempi etäisyys olisi 6,180345 m

Melkein jo lähdin selvittämään, kuinka asiat mielestäni ovat . Luin kuitenkin sinun seliselisi uudestaan ja siksi kysynkin julkeasti, mihin sinun lähtöyhtälösi perustuu?

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Liittynyt19.7.2012
PPo

Jonkin verran perusmekaniikkaa, vähän laskemista ja mahdollisesti loputonta selittämistä.

Pitkä suora korsi pääsee pyörimään painopisteensä kautta kulkevan vaakasuoran akselin ympäri.

Korrella kipittelee muurahainen. Juuri, kun se ohittaa akselin, on korsi vaakasuorassa ja korren kulmanopeus on φ'. Muurahainen jatkaa kipittämistään siten, että korren ( ja muurahaisen) kulmanopeus pysyy vakiona. Tehtävänä on määrittää muurahaisen etäisyys akselista r(φ), 0<φ<π/2.

Sovelluksena φ'=0,5 rad/s ja g=10 m/s². Laske r(π/10)

Näin ratkaisun, joka perustui Lagrangen mekaniikkaan je  en tietenkään ymmärtänyt sitä, kun en  ole ko mekaniikkaan perehtynyt. Uskon, että tehtävä ratkeaa kohtuullisella vaivalla Newtonin mekaniikassa.

Oikeasti tämä kannattaa tehdä Lagrangen mekaniikalla, mutta kyllä tämä onnistunee tällaisella heuristisella Newtonillakin. Tämä on vähän niin kuin reverse-engineeraus siitä mitä Lagrangessa tapahtuu.

Pyörimismäärä on

  L = I φ' + m r^2 φ'

jossa I on korren hitausmomentti. r:n muutoksen aiheuttama vääntömomentti on siis, kun φ'' = 0:

  M = 2 m r' r φ'

Muurahainen kohdassa r aiheuttaa gravitaatiollaan vääntömomentin -r m g cos(φ' t), jolloin saadaan

  2 m r' r φ' = -r m g cos(φ' t)

jolloin joko r(t) = 0 tai sitten

  2 m r' φ' = -m g cos(φ' t)

josta

  r(t) = -1/2 g sin(φ' t) / (φ')^2

eli

  r(t) = -1/2 g sin(φ) / (φ')^2

Sijoittamalla φ' = 0.5, g = 10, φ = π/10 saadaan

  -6.180339887498948

josta vielä pitää ottaa tuo miinusmerkki pois niin saadaan se etäisyys.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

PPo, yhtälönihän perustuu selvästi siihen, että murkku ei aiheuta korteen minkäänlaista kiihdyttävää momenttia koska ne kumoutuvat. Toiseen suuntaan painovoima kiihdyttää ja vastakkaiseen suuntaan Coriolisvoima kiihdyttää. Fysiikkaa ymmärtävälle asia pitäisi olla selvä. Voltalla näkyy olevan sama yhtälö vaikka hieman toisin perusteltu. Jos et ymmärrä yksinertaista momenttilausetta niin olisi syytä hieman opiskella.

PPo
Seuraa 
Viestejä12408
Liittynyt10.12.2008
korant

PPo, yhtälönihän perustuu selvästi siihen, että murkku ei aiheuta korteen minkäänlaista kiihdyttävää momenttia koska ne kumoutuvat. Toiseen suuntaan painovoima kiihdyttää ja vastakkaiseen suuntaan Coriolisvoima kiihdyttää. Fysiikkaa ymmärtävälle asia pitäisi olla selvä. Voltalla näkyy olevan sama yhtälö vaikka hieman toisin perusteltu. Jos et ymmärrä yksinertaista momenttilausetta niin olisi syytä hieman opiskella.

Kirjoista opin saaneena lähdin liikkeelle pyörimisliikkeen perusyhtälöstä

M=dL/dt

Ainoastaan murkun painovoimalla on momentti pyörimisakselin suhteen, joten

M=mgcosφ*r=d(Iω)/dt=dI/dt*ω+I*dω/dt=d(mr²+I')/dt=2mrr', koska dω/dt=0,I' on korren hitausmomentti⇒

(r=0) tai r'=gcosφ/(2ω)⇒r(φ)=gsinφ/(2ω²)

Korren pituuden pitää olla vähintään g/ω²

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat