Seuraa 
Viestejä15125

Jonkin verran perusmekaniikkaa, vähän laskemista ja mahdollisesti loputonta selittämistä.

Pitkä suora korsi pääsee pyörimään painopisteensä kautta kulkevan vaakasuoran akselin ympäri.

Korrella kipittelee muurahainen. Juuri, kun se ohittaa akselin, on korsi vaakasuorassa ja korren kulmanopeus on φ'. Muurahainen jatkaa kipittämistään siten, että korren ( ja muurahaisen) kulmanopeus pysyy vakiona. Tehtävänä on määrittää muurahaisen etäisyys akselista r(φ), 0<φ<π/2.

Sovelluksena φ'=0,5 rad/s ja g=10 m/s². Laske r(π/10)

Näin ratkaisun, joka perustui Lagrangen mekaniikkaan je  en tietenkään ymmärtänyt sitä, kun en  ole ko mekaniikkaan perehtynyt. Uskon, että tehtävä ratkeaa kohtuullisella vaivalla Newtonin mekaniikassa.

Sivut

Kommentit (457)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Mitenkä se hämähäkki suhtautuu muurahaiseen? Popsii suuhunsa?

Jos korsi pyörii vakionopeudella, niin muurahaisen pitää pysähtyä origoon, että korsi jatkaisi pyörimistään vakionopeudella.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
o_turunen

Mitenkä se hämähäkki suhtautuu muurahaiseen? Popsii suuhunsa?

Jos korsi pyörii vakionopeudella, niin muurahaisen pitää pysähtyä origoon, että korsi jatkaisi pyörimistään vakionopeudella.

Tehtävän mukaan muurahainen jatkaa kipittämistään joten se ei pysähdy.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

Eikö tuossa tarvita tietoa korren pituudesta, massasta, murkun massasta ja nopeudesta. Etäisyys laskettava ilmeisesti pystyakselista.

Korsi homogeeninen ja tarpeeksi pitkä ts muurahainen ei ehdi korren päähän, ennenkuin se on pyörähtänyt 90°. r(φ) on etäisyys pyörimisakselista.

Kaikki riippuvuudet selviävät tehtävän ratkaisun myötä, jos laskelmani pitävät paikkansa

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Korsi ei keikahda 90° jos on riittävän pitkä ja massa samaa luokkaa kuin murkulla tai suurempi. Heilahdusnopeus ja laajuus on juuri riippuvaisia korren pituudesta ja massasuhteesta. Ja tietysti myös murkun kipittelyvauhdista.

Eiku joo. Kuvittelin koko hökötyksen pyörivän vaakatasossa mutta ei kun korsi vaan pyöriikin pystytasossa kulmanopeudella φ'.

 gφ't·cosφ = 2vφ'

v = ½gtcosφ, φ = φ't = π/10, t = π/5

v = 5tcos(0,5t)

r = ∫(0→π/5)5tcos(0,5t)dt  ?? joku matemaatikko saa integroida jos on sinne päinkään. (Yksiköt metrejä ja sekunteja)

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

Korsi ei keikahda 90° jos on riittävän pitkä ja massa samaa luokkaa kuin murkulla tai suurempi. Heilahdusnopeus ja laajuus on juuri riippuvaisia korren pituudesta ja massasuhteesta. Ja tietysti myös murkun kipittelyvauhdista.

Eiku joo. Kuvittelin koko hökötyksen pyörivän vaakatasossa mutta ei kun korsi vaan pyöriikin pystytasossa kulmanopeudella φ'.

 gφ't·cosφ = 2vφ'

v = ½gtcosφ, φ = φ't = π/10, t = π/5

v = 5tcos(0,5t)

r = ∫(0→π/5)5tcos(0,5t)dt  ?? joku matemaatikko saa integroida jos on sinne päinkään. (Yksiköt metrejä ja sekunteja)

 

Osittaisintegroinniila intgraalisi olisi mennyt. Koska oma ratkaisuni jonkin verran poikkeaa tuosta, en viitsinyt laskea vaan katsoin tuloksen WA:lla, joka antoi integraalin arvoksi

0,962751...=96 cm.

Mihin lähtöyhtälösi perustuu?

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Joo, sain numeerisella integroinnilla saman. Perustui siihen, että murkun painon pyörimistä kiihdyttävä vaikutus pitää kumoutua Corioliskiihtyvyydellä.

Tais tulla ajatusvirhe, koska φ't:n tilalla piti olla se etäisyys r.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Eikös tuo etäisyys riipu siitä, millä nopeudella murkku ohittaa akselin.

Pitääköhän tuo sittenkin olla Näin

g·r·cos(t/2) = v·r ⇒ v = g·cos(t/2)

Murkku kipittäisi aluksi siis 10 m/s. ?? Tuskin

Tolla vauhdilla se menisi 6,18 m.

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

Eikös tuo etäisyys riipu siitä, millä nopeudella murkku ohittaa akselin.

Pitääköhän tuo sittenkin olla Näin

g·r·cos(t/2) = v·r ⇒ v = g·cos(t/2)

Murkku kipittäisi aluksi siis 10 m/s. ?? Tuskin

Tolla vauhdilla se menisi 6,18 m.

Selvästikin nyt sinä arvailet.

Vimeinen arvauksesi on muistaakseni sama (mittaaustarkkuuden rajoissa toki). jonka sain omasta analyyttisesta ratkaisustani.

Edelleen kysyn, mikä on sinun  boldatun lähtöyhtälösi teoreettinen perusta.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

En arvaillut vaan huomasin tehneeni ties kuinka monennen virheen ja unohdin tuosta Coriolisvoimasta säteen eli painovoiman momentin on kumouduttava Coriolisvoiman momentilla jotta korren kulmanopeus pysyy vakiona. Siitä seuraa tuo kaava josta supistuu massa ja etäisyys pois. Yhtälö olisi täydellisenä m·g·r·cos(φ'·t) = 2·m·r·v·φ' jossa φ' on vakio 0,5 rad/s ja g = 10 m/s². Ratkaisin sen numeerisesti koodilla:

Sub murkku()
  dt = 0.000001: tt = 4 * Atn(1) / 5:v = 10
  Do
    r = r + v * dt
    v = 10 * Cos(t / 2)
    t = t + dt
  Loop Until t >= tt
  Debug.Print r
End Sub

Tarkempi etäisyys olisi 6,180345 m

Tuo ei mikään paha integroitavakaan olisi mutta kun noita virheitä pukkaa muutenkin riittävästi.

Hitausvoima-allergikoille vielä varoituksen sana. Yhtälössä käytetty Coriolisvoima on siis todellinen voima koska korsihan kiihdyttää murkkua ihan oikeasti eikä mitenkään näennäisesti. Keskipakovoiman johdosta murkku joutuu lopussa hieman jarruttelemaan ja sen nopeus muutenkin pienenee kulman lähestyessä 90°:tta.

Jälleen tuli todistettua hitausvoima todelliseksi voimaksi.

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

En arvaillut vaan huomasin tehneeni ties kuinka monennen virheen ja unohdin tuosta Coriolisvoimasta säteen eli painovoiman momentin on kumouduttava Coriolisvoiman momentilla jotta korren kulmanopeus pysyy vakiona. Siitä seuraa tuo kaava josta supistuu massa ja etäisyys pois. Yhtälö olisi täydellisenä m·g·r·cos(φ'·t) = 2·m·r·v·φ' jossa φ' on vakio 0,5 rad/s ja g = 10 m/s². Ratkaisin sen numeerisesti koodilla:

Sub murkku()
  dt = 0.000001: tt = 4 * Atn(1) / 5:v = 10
  Do
    r = r + v * dt
    v = 10 * Cos(t / 2)
    t = t + dt
  Loop Until t >= tt
  Debug.Print r
End Sub

Tarkempi etäisyys olisi 6,180345 m

Melkein jo lähdin selvittämään, kuinka asiat mielestäni ovat . Luin kuitenkin sinun seliselisi uudestaan ja siksi kysynkin julkeasti, mihin sinun lähtöyhtälösi perustuu?

Volta
Seuraa 
Viestejä123
PPo

Jonkin verran perusmekaniikkaa, vähän laskemista ja mahdollisesti loputonta selittämistä.

Pitkä suora korsi pääsee pyörimään painopisteensä kautta kulkevan vaakasuoran akselin ympäri.

Korrella kipittelee muurahainen. Juuri, kun se ohittaa akselin, on korsi vaakasuorassa ja korren kulmanopeus on φ'. Muurahainen jatkaa kipittämistään siten, että korren ( ja muurahaisen) kulmanopeus pysyy vakiona. Tehtävänä on määrittää muurahaisen etäisyys akselista r(φ), 0<φ<π/2.

Sovelluksena φ'=0,5 rad/s ja g=10 m/s². Laske r(π/10)

Näin ratkaisun, joka perustui Lagrangen mekaniikkaan je  en tietenkään ymmärtänyt sitä, kun en  ole ko mekaniikkaan perehtynyt. Uskon, että tehtävä ratkeaa kohtuullisella vaivalla Newtonin mekaniikassa.

Oikeasti tämä kannattaa tehdä Lagrangen mekaniikalla, mutta kyllä tämä onnistunee tällaisella heuristisella Newtonillakin. Tämä on vähän niin kuin reverse-engineeraus siitä mitä Lagrangessa tapahtuu.

Pyörimismäärä on

  L = I φ' + m r^2 φ'

jossa I on korren hitausmomentti. r:n muutoksen aiheuttama vääntömomentti on siis, kun φ'' = 0:

  M = 2 m r' r φ'

Muurahainen kohdassa r aiheuttaa gravitaatiollaan vääntömomentin -r m g cos(φ' t), jolloin saadaan

  2 m r' r φ' = -r m g cos(φ' t)

jolloin joko r(t) = 0 tai sitten

  2 m r' φ' = -m g cos(φ' t)

josta

  r(t) = -1/2 g sin(φ' t) / (φ')^2

eli

  r(t) = -1/2 g sin(φ) / (φ')^2

Sijoittamalla φ' = 0.5, g = 10, φ = π/10 saadaan

  -6.180339887498948

josta vielä pitää ottaa tuo miinusmerkki pois niin saadaan se etäisyys.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

PPo, yhtälönihän perustuu selvästi siihen, että murkku ei aiheuta korteen minkäänlaista kiihdyttävää momenttia koska ne kumoutuvat. Toiseen suuntaan painovoima kiihdyttää ja vastakkaiseen suuntaan Coriolisvoima kiihdyttää. Fysiikkaa ymmärtävälle asia pitäisi olla selvä. Voltalla näkyy olevan sama yhtälö vaikka hieman toisin perusteltu. Jos et ymmärrä yksinertaista momenttilausetta niin olisi syytä hieman opiskella.

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

PPo, yhtälönihän perustuu selvästi siihen, että murkku ei aiheuta korteen minkäänlaista kiihdyttävää momenttia koska ne kumoutuvat. Toiseen suuntaan painovoima kiihdyttää ja vastakkaiseen suuntaan Coriolisvoima kiihdyttää. Fysiikkaa ymmärtävälle asia pitäisi olla selvä. Voltalla näkyy olevan sama yhtälö vaikka hieman toisin perusteltu. Jos et ymmärrä yksinertaista momenttilausetta niin olisi syytä hieman opiskella.

Kirjoista opin saaneena lähdin liikkeelle pyörimisliikkeen perusyhtälöstä

M=dL/dt

Ainoastaan murkun painovoimalla on momentti pyörimisakselin suhteen, joten

M=mgcosφ*r=d(Iω)/dt=dI/dt*ω+I*dω/dt=d(mr²+I')/dt=2mrr', koska dω/dt=0,I' on korren hitausmomentti⇒

(r=0) tai r'=gcosφ/(2ω)⇒r(φ)=gsinφ/(2ω²)

Korren pituuden pitää olla vähintään g/ω²

PPo
Seuraa 
Viestejä15125

Pieni jatkotehtävä.

Oletetaan, että murkku pysyy korrella myös silloin kun korsi on pystyasennossa ja voi jatkaa liikettään siten, että kulmanopeus ω on vakio.

Mikä on tällöin murkun rata koordinaatistossa, jonka origo on pyörimisakseli?

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Tuo selvä tapaus, murkku kävelee takaisin käyttäen samaa nopeuden kaavaa.

Mutta sinulle kysymys. Jospa akseli onkin pystysuorassa siten, ettei painovoima aiheita minkäänlaista momenttia niin jostain ihmeen syystä kulmanopeus ei pysy vakiona vaan hidastuu. Tämä edellyttää momenttia ja väitit ettei ole muuta momenttia kuin painovoiman aiheuttama. Vai selitätkö momentin toisin sanoin että pyörimismäärän avulla. Ei se momentti sieltä katoa semantiikalla.

Sinulla näkyy olevan vastustamaton hinku yrittää teilata ratkaisuni fysiikan vastaiseksi kun ratkaisen antamasi tehtävän oikein. Virhettä siitä et tule löytämään vaikka pyörittelisit kaavojasi miten hyvänsä. Tämä on taas todistus todellisesta hitausvoimasta, tässä tapauksessa Coriolisvoimasta ja sitähän sinä yrität epätoivoisesti mitätöidä mutta et onnistu.

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

Tuo selvä tapaus, murkku kävelee takaisin käyttäen samaa nopeuden kaavaa.

Mutta sinulle kysymys. Jospa akseli onkin pystysuorassa siten, ettei painovoima aiheita minkäänlaista momenttia niin jostain ihmeen syystä kulmanopeus ei pysy vakiona vaan hidastuu. Tämä edellyttää momenttia ja väitit ettei ole muuta momenttia kuin painovoiman aiheuttama. Vai selitätkö momentin toisin sanoin että pyörimismäärän avulla. Ei se momentti sieltä katoa semantiikalla.

Sinulla näkyy olevan vastustamaton hinku yrittää teilata ratkaisuni fysiikan vastaiseksi kun ratkaisen antamasi tehtävän oikein. Virhettä siitä et tule löytämään vaikka pyörittelisit kaavojasi miten hyvänsä. Tämä on taas todistus todellisesta hitausvoimasta, tässä tapauksessa Coriolisvoimasta ja sitähän sinä yrität epätoivoisesti mitätöidä mutta et onnistu.

Murkun ja korren muodostamaan systeemiin vaikuttavat ulkoiset voimat ovat kumpaankin kohdistuva painovoima ja korteen kohdistuva tukivoima. Näillä ja ainoastaan näillä voimilla tehtävä ratkeaa, kun tarkastelut suoritetaan inertiaalissa. Koska systeemi ei ole etenevässä liikkeessä, tilanteen fysiikka kiteytyy pyörimisliikkeen perusyhtälöön, jota käytin.

Tehtävän ratkaisuun eivät vaikuta hämärät horinat hitausvoimista ja momenttiehdoista.

PS. Kysyin murkun rataa.

 

PPo
Seuraa 
Viestejä15125
korant

Tuo selvä tapaus, murkku kävelee takaisin käyttäen samaa nopeuden kaavaa.

Mutta sinulle kysymys. Jospa akseli onkin pystysuorassa siten, ettei painovoima aiheita minkäänlaista momenttia niinjostain ihmeen syystä kulmanopeus ei pysy vakiona vaan hidastuu. Tämä edellyttää momenttia ja väitit ettei ole muuta momenttia kuin painovoiman aiheuttama. Vai selitätkö momentin toisin sanoin että pyörimismäärän avulla. Ei se momentti sieltä katoa semantiikalla.

Sinulla näkyy olevan vastustamaton hinku yrittää teilata ratkaisuni fysiikan vastaiseksi kun ratkaisen antamasi tehtävän oikein. Virhettä siitä et tule löytämään vaikka pyörittelisit kaavojasi miten hyvänsä. Tämä on taas todistus todellisesta hitausvoimasta, tässä tapauksessa Coriolisvoimasta ja sitähän sinä yrität epätoivoisesti mitätöidä mutta et onnistu.

jostain ihmeen syystä????

Minusta syy on ilmeinen.

Jos akseli on pystysuorassa niin pyörimisliikkeen perusyhtälön mukaan 

M=dL/dt=0⇒L=Iω on vakio. Kun murkku kävelee pyörimisakselista poispäin I kasvaa ja ω pienenee.

Boldattu lienee taas sinun fysikkasi, ei klassista mekaniikkaa..

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Murkku vaikuttaa korteen ulkoisella voimalla mikä kiihdyttää kortta. Ota huomioon, ettei korsi voi kiihtyä ilman siihen vaikuttavaa momenttia. Se kuuluu aivan fysiikan perusteisiin. Jos et näin yksinkertaista asiaa tajua niin kertaapa hierman fysiikan perusteita. Tämä on jo kolmas seikka mikä osoittaa selviä puutteita fysiikan ymmärryksessäsi. Tässä toistuu jälleen sama totuus kuin pyörivissä moukareissakin. Sekä murkku että korsi kiihdyttävät toisiaan hitausvoimillaan mikä näkyy selvästi korren kulmanopeuden muutoksena. Kyse ei ole mistään horinoista kuten laitosfyysikot niin mielellään väittävät kun törmäävät laitosfysiikan vastaisiin totuuksiin.

Korren I ei kasva mihinkään mutta silti sen kulmanopeus pienenee. Ainut mahdollisuus tähän on murkun aiheuttama pyörimisnopeutta hidastava momentti. Opiskele fysiikkaa ja lopeta typerä vänkäämisesi.

Murkku liikkuu korteen nähden joten niitä on tarkasteltava erillisinä kappaleina eikä yhtenä muotoaan muuttavana kappaleena. Eihän Newtonin mekaniikka sellaista tunne.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat