Seuraa 
Viestejä12240
Liittynyt12.2.2013

Löysin täältä netistä Jännän näköisen tehtävän ja kyllä ratkaisunkin siihen, mutta enpä kerro.

Meillä on R-säteisen ympyrän kaaren pätkä AB vaikkapa lattaraudasta taivutettu. Tästä on R:n pituisilla naruilla tehty "ympyräsektori". ABO. sektorista  tehdään heiluri, joka voi heilua kitkatta O:sta ripustettuna. Ei tässä vielä kaikki! Kaarelle laitetaan a-säteinen vanne, tai putken pätkä. Tämä pyöriskelee kaarella luisumatta, mutta ilman vierimisvastusta.. Määritä kaaren heiluntataajuus, kun oletetaan, että heilahduskulma pieni ja a<<R. Sekä kaaren että vanteen massa on m.

A swing of mass m made from an arc section of radius of R is suspended from a pivot byropes at both ends. A hoop, also of mass m, and radius a rolls without slipping on the 

swing. The swing and the hoop move without dissipative friction subject to a constant

gravitational force Fg = -mg j

. Find all possible frequencies of oscillation of the system

for small displacements from equilibrium assuming a/R<<1

Sivut

Kommentit (189)

salai
Seuraa 
Viestejä7366
Liittynyt17.3.2005

Kellopeli appelsiinit?

Mitä tahansa edellä esitetyistä väitteistä saa epäillä ja ne voidaan muuttaa toisiksi ilman erillistä ilmoitusta. Kirjoittaja pyrkii kuitenkin toimimaan rehellisesti ja noudattamaan voimassa olevia lakeja.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14361
Liittynyt16.2.2011

Kanada on hyva vastaus, onhan siina kolome tavua.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

salai
Seuraa 
Viestejä7366
Liittynyt17.3.2005
wisti

Löysin täältä netistä Jännän näköisen tehtävän ja kyllä ratkaisunkin siihen, mutta enpä kerro.

Jännän vivahteet?

Mitä tahansa edellä esitetyistä väitteistä saa epäillä ja ne voidaan muuttaa toisiksi ilman erillistä ilmoitusta. Kirjoittaja pyrkii kuitenkin toimimaan rehellisesti ja noudattamaan voimassa olevia lakeja.

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008
wisti

Löysin täältä netistä Jännän näköisen tehtävän ja kyllä ratkaisunkin siihen, mutta enpä kerro.

Meillä on R-säteisen ympyrän kaaren pätkä AB vaikkapa lattaraudasta taivutettu. Tästä on R:n pituisilla naruilla tehty "ympyräsektori". ABO. sektorista  tehdään heiluri, joka voi heilua kitkatta O:sta ripustettuna. Ei tässä vielä kaikki! Kaarelle laitetaan a-säteinen vanne, tai putken pätkä. Tämä pyöriskelee kaarella luisumatta, mutta ilman vierimisvastusta.. Määritä kaaren heiluntataajuus, kun oletetaan, että heilahduskulma pieni ja a

swing. The swing and the hoop move without dissipative friction subject to a constant

gravitational force Fg = -mg j

. Find all possible frequencies of oscillation of the system

for small displacements from equilibrium assuming a/R<<1

Kokeilempa kepillä jäätä.

Pelkkä kaari on matemaattinen heiluri joten sen taajuus on 1/2π*√(g/R). Jos sen päälle asetetaan vanne, niin kaaren ja vanteen väiset voimat ovat kohtisuorassa kaarta vastaan. Jos näin on, niin ainoastaan kaaren painolla on kaaren radan suuntainen komponentti. Vanne ei siis vaikuta kaaren heilumistaajuuteen.??????

PS. Koska tehtävä on jännä, selitykseni saattaa juuri ja juuri riittä aloitukseksi. Luulen, että nyt tarvitaan vähintään SIJ:n professionaalisempaa fysiikan ymmärtämistä

o_turunen
Seuraa 
Viestejä11846
Liittynyt16.3.2005

Ei tuossa mikään kitka vaikuta, joten vanne vaikuttaa ainoastaan hitausvoimallaan.

 

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

wisti
Seuraa 
Viestejä12240
Liittynyt12.2.2013

PPo. Päättelysi oli pitävä! Tämä oli ratkaisuista toinen. Sen verran neuvoa, että molemmat ratkaisut oli saatu melkoisella, muttei kohtuuttomalla laskemisella. Todettakoon, että sekosin itse Ja lunttasin ratkaisun, mutta kyllä sen joku täällä ratkaissee.

.

[

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008
Sepi

Ehdottomasti 42.

Huumorin kukka se on kaanein kukka

Terveisiä vaan myös astronomylle, asdf:lle, Vatkaimelle ja salaille.

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008
wisti

PPo. Päättelysi oli pitävä! Tämä oli ratkaisuista toinen. Sen verran neuvoa, että molemmat ratkaisut oli saatu melkoisella, muttei kohtuuttomalla laskemisella. Todettakoon, että sekosin itse Ja lunttasin ratkaisun, mutta kyllä sen joku täällä ratkaissee.

.

[

Oletetaan, että ensimmäinen yritelmä liittyy tapaukseen, jodssa molemmat heilahtelevat.

Tarkastellaan tapausta, jossa kaarta on kallistettu ja asetetaan vanne kaaren alimpaan kotaan ja lasketaan kaari heilahtelemaan. Nyt vanne alkaa pyöriä mutta pyöriminen tapahtuu maahan nähden paikoillaan, koska kitkaa ei ole. Kun kaari liikkuu alaspäin sen potentiaalienergia muuttuu kaaren ja vanteen liike-energioiksi. Jos vannetta ei olisi asetettu kaarelle , potentiaalienergia muutttuisi pelkästään kaaren liike-energiaksi.Tästä saadaan ehto 

1/2*m(v0)²=1/2*mv²+1/2*I(ω1)², missä v0=ω0*R, v=ω*R ja I=ma².

Koska vanne ei liu'u, saadaan v*dt=ω1*a*dt. Lasketaan ja saadaan ω=ω0/√2.

Nyt kaaren heilahdustaajuus on 1/2π*√(g/2R)

PS. Tuskin kelpaa, kun laskemista ei ole melkoisesti.

wisti
Seuraa 
Viestejä12240
Liittynyt12.2.2013

Joo ei se ole oikein. Sinänsä on kiinnostavaa saataisiinko oikea ratkaisu myös tuollaisella "puolittaisella" pähkäilyllä tai N:n mekaniikalla. Annetaan sinulle siimaa sen verran, että malliratkaisussa oli L-yhtälö, josta saatiin yhtälöpari, olihan kulmia nyt kaksi.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
Liittynyt19.7.2012

Äkkiä mietittynä tulisi jotain tällaista, laskuvirheitä saattaa kyllä olla, mutta periaate toiminee:

- Heilurin liike riippuu vain massakeskipisteen liikkeestä ja sillä on seuraavat potentiaali- ja liike-energiat, jos θ on poikkeama alakohdasta ja θ' on sen aikaderivaatta:

  V_h = m g R cos(θ)
  T_h = 1/2 m R^2 (θ')^2

- Vanteen heilumiskulma olkoon φ ja kulmanopeus φ', ja senhän vaikuttaa säteellä R-a. Siispä sen massakeskipisteen potentiaali- ja liike-energiat ovat

  V_v = m g (R-a) cos(φ)
  T_v = 1/2 m (R-a)^2 (φ')^2
 
- Sitten vielä vanteella on pyörimismäärä. Vanteen hitausmomentti on J = m a^2 / 2, ja jos se pyörii nopeudella ω, on sen energia

  T_p = J ω^2 / 2

- Nyt kuitenkin jos vanne vierii, on oltava ω = R/a (θ' - φ'), eli

  T_p = J [R/a (θ' - φ')]^2 / 2 = 1/4 m R^2 [(θ')^2 - 2 θ' φ' + (φ')^2]

- Siispä kokonaispotentiaali- ja liike-energiat ovat

  V = m g R cos(θ) + m g (R-a) cos(φ)
  T = 1/2 m R^2 (θ')^2 + 1/2 m (R-a)^2 (φ')^2 + 1/4 m R^2 [(θ')^2 - 2 θ' φ' + (φ')^2]

- Euler-Lagrangen yhtälöitä varten tarvitaan derivaatat:

  ∂(V-T)/∂θ = -m g R sin(θ)
    ∂(V-T)/∂φ = -m g (R-a) sin(φ)
  ∂(V-T)/∂θ' = m R^2 θ' + 1/2 m R^2 θ' - 1/2 m R^2 φ'
    ∂(V-T)/∂φ' = m (R-a)^2 φ' + 1/2 m R^2 φ' - 1/2 m R^2 θ'
  d∂(V-T)/∂θ'/dt = m R^2 θ'' + 1/2 m R^2 θ'' - 1/2 m R^2 φ''
  d∂(V-T)/∂φ'/dt   = m (R-a)^2 φ'' + 1/2 m R^2 φ'' - 1/2 m R^2 θ''

josta saadaan Euler-Lagrange-yhtälöiksi

  m R^2 θ'' + 1/2 m R^2 θ'' - 1/2 m R^2 φ'' = -m g R sin(θ)
  m (R-a)^2 φ'' + 1/2 m R^2 φ'' - 1/2 m R^2 θ'' = -m g (R-a) sin(φ)

Jos θ ja φ ovat "pieniä" ja R-a =~ R, saadaan linearisoimalla ja pienellä supistuksella

  θ'' = -3g/R/4 θ - g/R/4 φ
  φ''   = -3g/R/4 φ - g/R/4 θ

Jonka ominausmoodit ovat kulmanopeuksiltaan

  sqrt(g/R) ja sqrt(g/R/2)

Sitten kun tämä saadaan muokattua oikeaksi ratkaisuksi, voidaan kehittää vastaava Newton-pähkäily sikäli kun tätä ei lasketa sellaiseksi (eräänlainen energiaperiaatehan tämä on).

wisti
Seuraa 
Viestejä12240
Liittynyt12.2.2013
Volta

Äkkiä mietittynä tulisi jotain tällaista, laskuvirheitä saattaa kyllä olla, mutta periaate toiminee:

- Heilurin liike riippuu vain massakeskipisteen liikkeestä ja sillä on seuraavat potentiaali- ja liike-energiat, jos θ on poikkeama alakohdasta ja θ' on sen aikaderivaatta:

  V_h = m g R cos(θ)
  T_h = 1/2 m R^2 (θ')^2

- Vanteen heilumiskulma olkoon φ ja kulmanopeus φ', ja senhän vaikuttaa säteellä R-a. Siispä sen massakeskipisteen potentiaali- ja liike-energiat ovat

  V_v = m g (R-a) cos(φ)
  T_v = 1/2 m (R-a)^2 (φ')^2
 
- Sitten vielä vanteella on pyörimismäärä. Vanteen hitausmomentti on J = m a^2 / 2, ja jos se pyörii nopeudella ω, on sen energia

  T_p = J ω^2 / 2

- Nyt kuitenkin jos vanne vierii, on oltava ω = R/a (θ' - φ'), eli

  T_p = J [R/a (θ' - φ')]^2 / 2 = 1/4 m R^2 [(θ')^2 - 2 θ' φ' + (φ')^2]

- Siispä kokonaispotentiaali- ja liike-energiat ovat

  V = m g R cos(θ) + m g (R-a) cos(φ)
  T = 1/2 m R^2 (θ')^2 + 1/2 m (R-a)^2 (φ')^2 + 1/4 m R^2 [(θ')^2 - 2 θ' φ' + (φ')^2]

- Euler-Lagrangen yhtälöitä varten tarvitaan derivaatat:

  ∂(V-T)/∂θ = -m g R sin(θ)
    ∂(V-T)/∂φ = -m g (R-a) sin(φ)
  ∂(V-T)/∂θ' = m R^2 θ' + 1/2 m R^2 θ' - 1/2 m R^2 φ'
    ∂(V-T)/∂φ' = m (R-a)^2 φ' + 1/2 m R^2 φ' - 1/2 m R^2 θ'
  d∂(V-T)/∂θ'/dt = m R^2 θ'' + 1/2 m R^2 θ'' - 1/2 m R^2 φ''
  d∂(V-T)/∂φ'/dt   = m (R-a)^2 φ'' + 1/2 m R^2 φ'' - 1/2 m R^2 θ''

josta saadaan Euler-Lagrange-yhtälöiksi

  m R^2 θ'' + 1/2 m R^2 θ'' - 1/2 m R^2 φ'' = -m g R sin(θ)
  m (R-a)^2 φ'' + 1/2 m R^2 φ'' - 1/2 m R^2 θ'' = -m g (R-a) sin(φ)

Jos θ ja φ ovat "pieniä" ja R-a =~ R, saadaan linearisoimalla ja pienellä supistuksella

  θ'' = -3g/R/4 θ - g/R/4 φ
  φ''   = -3g/R/4 φ - g/R/4 θ

Jonka ominausmoodit ovat kulmanopeuksiltaan

  sqrt(g/R) ja sqrt(g/R/2)

Sitten kun tämä saadaan muokattua oikeaksi ratkaisuksi, voidaan kehittää vastaava Newton-pähkäily sikäli kun tätä ei lasketa sellaiseksi (eräänlainen energiaperiaatehan tämä on).

Arvelinkin, ettet malta erillään pysyä. Voit hakea itse virheen. Tehtävä pitäisi löytyä täältä.

http://physics.columbia.edu/files/physics/content/1ClassicalMech.pdf

Se on teht 4 ja ratkaisu löytyy alempaa. Jos et malta vielä  luntata, voit pyrkiä ratkaisuun sqrt(g/R) ja sqrt(g/(3R)) .

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat