Seuraa 
Viestejä15131

Aloin opiskella Lagrangen mekaniikkaa ja aloitin kahden jojon tapauksella.

Jojo , säde r ja massa m, ripustettu kattoon ja toinen jojo on kiinnitetty ensimmäisen jojon pyörimisakselille. Kiinnitys ei häiritse ensimmäisen jojon pyörimistä. Kysytään vapaasti putoamaan päästettyjen jojojen kiihtyvyyksiä kun ne putoavat pyörien. Sain kiihtyvyyksiksi 

- kattoon kiinnitetylle jojolle 8/11*g

-jojoon kiinnitetylle jojolle 10/11*g

Sain saman tuloksen Newtonin ja Lagrangen mekaniikalla, joten tulos lienee oikein.

Lisätään kolmas jojo, joka kiinnitetään toiseen samalla tavalla kuin toinen on kiinnitetty kattoon kiinnitetyyn. Nyt kysytään kunkin jojon kiihtyvyyttä.

Newtonin mekaniikalla tehtävää selvitettäessä tarvitaan lankojen jännityksiä. Vaikka yhtälöiden muodostaminen onnituu kohtuullisen helposti, saatujen yhtälöiden käsittelyssä helposti sotkeutuu.

Itse aion yrittää Lagrangen mekaniikkaa. Ei tarvita lankojen jännityksiä.

 

Sivut

Kommentit (31)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä15131
korant

Tuleehan niistä nuo laskemasi arvot. Oletko ratkaissut tuon 3:n jojon tehtävän?

Olen tien päällä. En ole ehtinyt paneutua tehtävään.

Palaan asiaan...

Volta
Seuraa 
Viestejä123
wisti

Sain 30/41g, 38/41g ja alin 40/41g.

Sain samat. Neljällä jojolla tuli

 (112*g)/153
 (142*g)/153
   (50*g)/51
 (152*g)/153

ja kymmenellä

 (302632*g)/413403
 (383722*g)/413403
 (135150*g)/137801
 (411272*g)/413403
 (412832*g)/413403
 (137750*g)/137801
   (10082*g)/10083
 (413392*g)/413403
 (137800*g)/137801
 (413402*g)/413403

Lisätehtäväksi voisi antaa, että mitä arvoa ylimmän jojon kiihtyvyys lähestyy, kun jojojen määrä lähestyy ääretöntä?

PPo
Seuraa 
Viestejä15131
Volta
wisti

Sain 30/41g, 38/41g ja alin 40/41g.

Sain samat. Neljällä jojolla tuli

 (112*g)/153
 (142*g)/153
   (50*g)/51
 (152*g)/153

ja kymmenellä

 (302632*g)/413403
 (383722*g)/413403
 (135150*g)/137801
 (411272*g)/413403
 (412832*g)/413403
 (137750*g)/137801
   (10082*g)/10083
 (413392*g)/413403
 (137800*g)/137801
 (413402*g)/413403

Lisätehtäväksi voisi antaa, että mitä arvoa ylimmän jojon kiihtyvyys lähestyy, kun jojojen määrä lähestyy ääretöntä?

Arvaus. Raja-arvo on (√3-1)g

Volta
Seuraa 
Viestejä123
PPo
Volta
wisti

Sain 30/41g, 38/41g ja alin 40/41g.

Sain samat. Neljällä jojolla tuli

 (112*g)/153
 (142*g)/153
   (50*g)/51
 (152*g)/153

ja kymmenellä

 (302632*g)/413403
 (383722*g)/413403
 (135150*g)/137801
 (411272*g)/413403
 (412832*g)/413403
 (137750*g)/137801
   (10082*g)/10083
 (413392*g)/413403
 (137800*g)/137801
 (413402*g)/413403

Lisätehtäväksi voisi antaa, että mitä arvoa ylimmän jojon kiihtyvyys lähestyy, kun jojojen määrä lähestyy ääretöntä?

Arvaus. Raja-arvo on (√3-1)g

Sehän se on kyllä. Entä mikä on ratkaisu kunkin jojon kiihtyvyydelle N:llä jojolla?

 

PPo
Seuraa 
Viestejä15131
Volta
PPo
Volta
wisti

Sain 30/41g, 38/41g ja alin 40/41g.

Sain samat. Neljällä jojolla tuli

 (112*g)/153
 (142*g)/153
   (50*g)/51
 (152*g)/153

ja kymmenellä

 (302632*g)/413403
 (383722*g)/413403
 (135150*g)/137801
 (411272*g)/413403
 (412832*g)/413403
 (137750*g)/137801
   (10082*g)/10083
 (413392*g)/413403
 (137800*g)/137801
 (413402*g)/413403

Lisätehtäväksi voisi antaa, että mitä arvoa ylimmän jojon kiihtyvyys lähestyy, kun jojojen määrä lähestyy ääretöntä?

Arvaus. Raja-arvo on (√3-1)g

Sehän se on kyllä. Entä mikä on ratkaisu kunkin jojon kiihtyvyydelle N:llä jojolla?

Kun tuntemattomiksi valitaan kunkin jojon kiihtyvyys ylempänä olevaan jojoon nähden (ylimpänä olevan kiihtyvyys kattoon nähden), saadaan lineaarinen N:n tuntemattoman yhtälöryhmä, jonka muodostaminen toki onnistuu kohtuullisen helposti. Tälle yhtälöryhmälle saadaa ratkaisut deteminanttien avulla lausuttuna. En usko pystyväni näitä determinantteja kehittelemään niin ,että niistä olisi mitään hyötyä esim. kysytyn raja-arvon määrittämiseksi.

 N:n  arvolla viisi saatu yhtälöryhmä käsipelillä ratkaistuna riitti minulle.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
PPo

Kun tuntemattomiksi valitaan kunkin jojon kiihtyvyys ylempänä olevaan jojoon nähden (ylimpänä olevan kiihtyvyys kattoon nähden), saadaan lineaarinen N:n tuntemattoman yhtälöryhmä, jonka muodostaminen toki onnistuu kohtuullisen helposti. Tälle yhtälöryhmälle saadaa ratkaisut deteminanttien avulla lausuttuna. En usko pystyväni näitä determinantteja kehittelemään niin ,että niistä olisi mitään hyötyä esim. kysytyn raja-arvon määrittämiseksi.

 N:n  arvolla viisi saatu yhtälöryhmä käsipelillä ratkaistuna riitti minulle.

Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

reunaehdoilla

  a_0 = 0
  g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}

Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).

 

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Mielestäni tuohon löytyy myös jokin rekursiivinen ratkaisu. Toisesta toiseksi alimpaan ratkaisut ovat saman muotoisia. En kuitenkaan jaksanut tai pystynyt kehittelemään sitä sen pidemmälle kun ei tuo matematiikka kovin helposti taivu.

PPo
Seuraa 
Viestejä15131
Volta
PPo

Kun tuntemattomiksi valitaan kunkin jojon kiihtyvyys ylempänä olevaan jojoon nähden (ylimpänä olevan kiihtyvyys kattoon nähden), saadaan lineaarinen N:n tuntemattoman yhtälöryhmä, jonka muodostaminen toki onnistuu kohtuullisen helposti. Tälle yhtälöryhmälle saadaa ratkaisut deteminanttien avulla lausuttuna. En usko pystyväni näitä determinantteja kehittelemään niin ,että niistä olisi mitään hyötyä esim. kysytyn raja-arvon määrittämiseksi.

 N:n  arvolla viisi saatu yhtälöryhmä käsipelillä ratkaistuna riitti minulle.

Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

reunaehdoilla

  a_0 = 0
  g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}

Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).

Sain yhtälöksi

xn=1/4*(x(n+1)+x(n-1)).

missä x1 on ylimmän jojon kiihtyvyys

x1+x2 on seuraavan kiintyvyys

.

.

x1+x2+....xN on alimman jojon kiihtyvyys

Reunaehdot ovat vielä mietinnässä ja saattaahan tuo yhtälökin olla väärin mutta ratkaistavissa mikäli osoittautuu oikeaksi.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
PPo
Volta

Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

reunaehdoilla

  a_0 = 0
  g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}

Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).

Sain yhtälöksi

xn=1/4*(x(n+1)+x(n-1)).

missä x1 on ylimmän jojon kiihtyvyys

x1+x2 on seuraavan kiintyvyys

.

.

x1+x2+....xN on alimman jojon kiihtyvyys

Reunaehdot ovat vielä mietinnässä ja saattaahan tuo yhtälökin olla väärin mutta ratkaistavissa mikäli osoittautuu oikeaksi.

Ratkaisun pitäisi kuitenkin riippua myös g:stä, joten siinä mielessä epäilyttää. On kyllä mahdollista, että g:n saa mukaan reunaehtojen kautta. Mutta siis noissa reunaehdoissani ei ole mitään maagista, a_0 = 0 kertoo vain, että ylimmän jojon kiinnityspiste ei kiihdy ja tuo g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1} on muuten sama kuin differenssiyhtälötermi, mutta alempaa jojoa ei ole.

Jopa tapauksessa ainakin itse ratkaisin yhtälön g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}] ensin ratkaisemalla yleisesti homogeenisen yhtälön 0 = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}], joka on sama kuin tuo sinun yhtälösi. Sen jälkeen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu sattui olemaan homogeeninen ratkaisu plus g. Lopullinen ratkaisu tulee sitten laittamalla reunaehdot toteutumaan määrittämällä vakiot sopivasti tuohon homogeeniseen ratkaisuun. Näissä helpotti huomattavasti symbolisen laskennan softa niin ei tarvinnut käsin noita laskea.

 

PPo
Seuraa 
Viestejä15131
Volta
PPo
Volta

Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

reunaehdoilla

  a_0 = 0
  g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}

Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).

Sain yhtälöksi

xn=1/4*(x(n+1)+x(n-1)).

missä x1 on ylimmän jojon kiihtyvyys

x1+x2 on seuraavan kiintyvyys

.

.

x1+x2+....xN on alimman jojon kiihtyvyys

Reunaehdot ovat vielä mietinnässä ja saattaahan tuo yhtälökin olla väärin mutta ratkaistavissa mikäli osoittautuu oikeaksi.

Ratkaisun pitäisi kuitenkin riippua myös g:stä, joten siinä mielessä epäilyttää. On kyllä mahdollista, että g:n saa mukaan reunaehtojen kautta. Mutta siis noissa reunaehdoissani ei ole mitään maagista, a_0 = 0 kertoo vain, että ylimmän jojon kiinnityspiste ei kiihdy ja tuo g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1} on muuten sama kuin differenssiyhtälötermi, mutta alempaa jojoa ei ole.

Jopa tapauksessa ainakin itse ratkaisin yhtälön g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}] ensin ratkaisemalla yleisesti homogeenisen yhtälön 0 = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}], joka on sama kuin tuo sinun yhtälösi. Sen jälkeen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu sattui olemaan homogeeninen ratkaisu plus g. Lopullinen ratkaisu tulee sitten laittamalla reunaehdot toteutumaan määrittämällä vakiot sopivasti tuohon homogeeniseen ratkaisuun. Näissä helpotti huomattavasti symbolisen laskennan softa niin ei tarvinnut käsin noita laskea.

Muodostin yhtälöryhmän kiihtyvyyksien ratkaisemiseksi. Kun otetaan kolme peräkkäistä yhtälöä ja keskimmäisestä vähennetään ensimmääisen ja kolmannen keskiarvo, niin g häviää ja jäljelle jää antamani yhtälö.

Sen yleinen ratkaisu on xn=c1*(2+√3)^n+ c2*(2-√3)^n.

Jos x0=0 niin c1=-c2 ja 3/2*xN-1/2*x(N-i)=....=xN ????????

Tämän mukaan reunaehdot eivät toimi.

Volta
Seuraa 
Viestejä123
PPo
Volta

Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

reunaehdoilla

  a_0 = 0
  g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}

Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).

Muodostin yhtälöryhmän kiihtyvyyksien ratkaisemiseksi. Kun otetaan kolme peräkkäistä yhtälöä ja keskimmäisestä vähennetään ensimmääisen ja kolmannen keskiarvo, niin g häviää ja jäljelle jää antamani yhtälö.

Sen yleinen ratkaisu on xn=c1*(2+√3)^n+ c2*(2-√3)^n.

Jos x0=0 niin c1=-c2 ja 3/2*xN-1/2*x(N-i)=....=xN ????????

Tämän mukaan reunaehdot eivät toimi.

Ei se g voi lopullisesti hävitä, se jää edelleen sinne reunoille. Tuon oman systeemini

  g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]

ratkaisu on a_n=c1*(2+√3)^n+ c2*(2-√3)^n + g, josta c1 ja c2 määräytyvät alku- ja loppuehdoista.

 

Volta
Seuraa 
Viestejä123
korant

Tämä vistin kaava pätee ainakin viimeisiin jojoihin siten, että toiseksi alimman kiihtyvyyden poikkeama g:stä on kolminkertainen verrattuna alimman poikkeamaan.

Niin siis tuo on sama kaava kuin minunkin g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}] , joten siinä mielessä lienee oikein.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat