Aloin opiskella Lagrangen mekaniikkaa ja aloitin kahden jojon tapauksella.
Jojo , säde r ja massa m, ripustettu kattoon ja toinen jojo on kiinnitetty ensimmäisen jojon pyörimisakselille. Kiinnitys ei häiritse ensimmäisen jojon pyörimistä. Kysytään vapaasti putoamaan päästettyjen jojojen kiihtyvyyksiä kun ne putoavat pyörien. Sain kiihtyvyyksiksi
- kattoon kiinnitetylle jojolle 8/11*g
-jojoon kiinnitetylle jojolle 10/11*g
Sain saman tuloksen Newtonin ja Lagrangen mekaniikalla, joten tulos lienee oikein.
Lisätään kolmas jojo, joka kiinnitetään toiseen samalla tavalla kuin toinen on kiinnitetty kattoon kiinnitetyyn. Nyt kysytään kunkin jojon kiihtyvyyttä.
Newtonin mekaniikalla tehtävää selvitettäessä tarvitaan lankojen jännityksiä. Vaikka yhtälöiden muodostaminen onnituu kohtuullisen helposti, saatujen yhtälöiden käsittelyssä helposti sotkeutuu.
Itse aion yrittää Lagrangen mekaniikkaa. Ei tarvita lankojen jännityksiä.
Sivut
Onko jojo r-säteinen lieriö, jonka ympärille lanka on kierretty? Nuo kiihtyvyysarvot vaikuttavat aika isoilta.
On.
Tuleehan niistä nuo laskemasi arvot. Oletko ratkaissut tuon 3:n jojon tehtävän?
Palaan asiaan...
Sain 30/41g, 38/41g ja alin 40/41g.
Sain samat. Neljällä jojolla tuli
(112*g)/153
(142*g)/153
(50*g)/51
(152*g)/153
ja kymmenellä
(302632*g)/413403
(383722*g)/413403
(135150*g)/137801
(411272*g)/413403
(412832*g)/413403
(137750*g)/137801
(10082*g)/10083
(413392*g)/413403
(137800*g)/137801
(413402*g)/413403
Lisätehtäväksi voisi antaa, että mitä arvoa ylimmän jojon kiihtyvyys lähestyy, kun jojojen määrä lähestyy ääretöntä?
Hupaisaa, että minun piti ihmetellä samaa raja-arvoa, mutta olit muokannutkin tekstiä ja kysyit samaa. Pitää miettiä.
Olen päässyt viiteen jojoon
Kiihtyvyydet ylhäältä alas
418g/571
530g/571
560g/571
568g/571
570g/571
Sehän se on kyllä. Entä mikä on ratkaisu kunkin jojon kiihtyvyydelle N:llä jojolla?
N:n arvolla viisi saatu yhtälöryhmä käsipelillä ratkaistuna riitti minulle.
Yleinen ratkaisu saadaan helpommin yleisessä muodossa kun huomataan, että sille saadaan differenssiyhtälö
g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]
reunaehdoilla
a_0 = 0
g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1}
Tämän voi sitten ratkaista perus differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmillä, jotka ovat analogisia vastaavien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien kanssa. Oheisessa kuvassa on tuo yleinen ratkaisu (jos se nyt toimii).
Mielestäni tuohon löytyy myös jokin rekursiivinen ratkaisu. Toisesta toiseksi alimpaan ratkaisut ovat saman muotoisia. En kuitenkaan jaksanut tai pystynyt kehittelemään sitä sen pidemmälle kun ei tuo matematiikka kovin helposti taivu.
xn=1/4*(x(n+1)+x(n-1)).
missä x1 on ylimmän jojon kiihtyvyys
x1+x2 on seuraavan kiintyvyys
.
.
x1+x2+....xN on alimman jojon kiihtyvyys
Reunaehdot ovat vielä mietinnässä ja saattaahan tuo yhtälökin olla väärin mutta ratkaistavissa mikäli osoittautuu oikeaksi.
Ratkaisun pitäisi kuitenkin riippua myös g:stä, joten siinä mielessä epäilyttää. On kyllä mahdollista, että g:n saa mukaan reunaehtojen kautta. Mutta siis noissa reunaehdoissani ei ole mitään maagista, a_0 = 0 kertoo vain, että ylimmän jojon kiinnityspiste ei kiihdy ja tuo g = 3/2 a_N - 1/2 a_{N-1} on muuten sama kuin differenssiyhtälötermi, mutta alempaa jojoa ei ole.
Jopa tapauksessa ainakin itse ratkaisin yhtälön g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}] ensin ratkaisemalla yleisesti homogeenisen yhtälön 0 = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}], joka on sama kuin tuo sinun yhtälösi. Sen jälkeen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu sattui olemaan homogeeninen ratkaisu plus g. Lopullinen ratkaisu tulee sitten laittamalla reunaehdot toteutumaan määrittämällä vakiot sopivasti tuohon homogeeniseen ratkaisuun. Näissä helpotti huomattavasti symbolisen laskennan softa niin ei tarvinnut käsin noita laskea.
Sen yleinen ratkaisu on xn=c1*(2+√3)^n+ c2*(2-√3)^n.
Jos x0=0 niin c1=-c2 ja 3/2*xN-1/2*x(N-i)=....=xN ????????
Tämän mukaan reunaehdot eivät toimi.
Ei se g voi lopullisesti hävitä, se jää edelleen sinne reunoille. Tuon oman systeemini
g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}]
ratkaisu on a_n=c1*(2+√3)^n+ c2*(2-√3)^n + g, josta c1 ja c2 määräytyvät alku- ja loppuehdoista.
Minä sain a(n) = 4a(n-1) - a(n-2) -2g.
Kun n lähestyy ääretöntä, on rajakiihtyvyytenä g, kuten pitää.
Tämä vistin kaava pätee ainakin viimeisiin jojoihin siten, että toiseksi alimman kiihtyvyyden poikkeama g:stä on kolminkertainen verrattuna alimman poikkeamaan.
Niin siis tuo on sama kaava kuin minunkin g = 2 a_n - 1/2 [a_{n-1} + a_{n+1}] , joten siinä mielessä lienee oikein.
Sivut