Seuraa 
Viestejä24
Liittynyt9.1.2015

Olen koko aamun pähkäillyt tätä asiaa useammasta oppikirjasta mutta en käsitä selvää eroa riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön välillä.

 

Esim. Miksi

 

a) Mikä on todennäköisyys, että nopanheitossa saadaan arvo 1 tai 2?

 

P(A)=1/6

P(B)=1/6

 

Todennäköisyys, että saadaan arvo 1 tai 2 (yhteenlaskusäännön avulla):

 

P(A unioni B)= P(A)+P(B)=1/6+1/6=2/6=1/3=0,333

 

tuo vastaus on siis oikein ja se on laskettu käyttämällä plussaa, toinen esim.

 

Mikä on P(kahdella peräkkäisellä nopanheitolla saadaan molemmilla numero 6?)

 

P(kuutonen)=1/6

 

P(kuutonen, kuutonen)=1/6*1/6=1/36

 

Minkä takia ensimmäinen esimerkki on laskettu käyttämällä plussaa ja toinen esimerkki käyttämällä kertolaskua? Molemmat tapahtumat ovat erillisiä. Molemmissa laskuissa esiintyy sama murtoluku kahdesti. Mikä hitton on se ero mistä tietää käyttääkö plussaa vai kertolaskua? Ensin kirjassa sanotaan että erilliset tapahtumat lasketaan käyttämällä plussaa, seuraavaksi sanotaan että erilliset tapahtumat lasketaan käyttämällä kertolaskua. Mitä ihmettä?? Toivoisin joltain kärsivälliseltä selkeää ja ja helposti ymärrettävää vastausta (en siis ole mikään matikkanero joten hyvin matemaattisella kielellä ilmaistut ratkaisut eivät luultavasti minulle aukea.) Kiitos paljon, tämä ongelma turhauttaa kaipaisin kovasti apua ja selvennystä asiaan. :)

Kommentit (10)

MooM
Seuraa 
Viestejä6066
Liittynyt29.6.2012
Rea Jansson

Olen koko aamun pähkäillyt tätä asiaa useammasta oppikirjasta mutta en käsitä selvää eroa riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön välillä.

 a) Mikä on todennäköisyys, että nopanheitossa saadaan arvo 1 tai 2?

 Todennäköisyys, että saadaan arvo 1 tai 2 (yhteenlaskusäännön avulla):

  

b) Mikä on P(kahdella peräkkäisellä nopanheitolla saadaan molemmilla numero 6?)

P(kuutonen, kuutonen)=1/6*1/6=1/36

 

Minkä takia ensimmäinen esimerkki on laskettu käyttämällä plussaa ja toinen esimerkki käyttämällä kertolaskua? 

Perussääntö noihin riippumattomiin tapauksiin:

TAI = plussa: enemmän mahdollisuuksia, riittää, että jompikumpi tapahtuu. Yhteenlaskeminen kasvattaa loppusummaa verrattuna yksittäisiin todennäköisyyksiin.  

JA = kertolasku: molempien pitää tapahtua, siis vähemmän vaihtoehtoja. Pienempi todennäköisyys kuin vain jommankumman toteutuminen. Kun kerrotaan (alle ykkösen olevalla luvulla, kuten todennäköisyydet ovat), ensimmäinen luku pienenee edelleen.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Rea Jansson

Olen koko aamun pähkäillyt tätä asiaa useammasta oppikirjasta mutta en käsitä selvää eroa riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön välillä.

 

Esim. Miksi

 

a) Mikä on todennäköisyys, että nopanheitossa saadaan arvo 1 tai 2?

 

P(A)=1/6

P(B)=1/6

 

Todennäköisyys, että saadaan arvo 1 tai 2 (yhteenlaskusäännön avulla):

 

P(A unioni B)= P(A)+P(B)=1/6+1/6=2/6=1/3=0,333

 

tuo vastaus on siis oikein ja se on laskettu käyttämällä plussaa, toinen esim.

 

Mikä on P(kahdella peräkkäisellä nopanheitolla saadaan molemmilla numero 6?)

 

P(kuutonen)=1/6

 

P(kuutonen, kuutonen)=1/6*1/6=1/36

 

Minkä takia ensimmäinen esimerkki on laskettu käyttämällä plussaa ja toinen esimerkki käyttämällä kertolaskua? Molemmat tapahtumat ovat erillisiä. Molemmissa laskuissa esiintyy sama murtoluku kahdesti. Mikä hitton on se ero mistä tietää käyttääkö plussaa vai kertolaskua? Ensin kirjassa sanotaan että erilliset tapahtumat lasketaan käyttämällä plussaa, seuraavaksi sanotaan että erilliset tapahtumat lasketaan käyttämällä kertolaskua. Mitä ihmettä?? Toivoisin joltain kärsivälliseltä selkeää ja ja helposti ymärrettävää vastausta (en siis ole mikään matikkanero joten hyvin matemaattisella kielellä ilmaistut ratkaisut eivät luultavasti minulle aukea.) Kiitos paljon, tämä ongelma turhauttaa kaipaisin kovasti apua ja selvennystä asiaan. :)

Ensimmäisessä on kyseessä tuo "unioni": A ∪ B ja koska A ja B ovat pistevieraita, on

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Jälkimmäisessä on kyseessä "leikkaus" (yhteisjoukko) A ∩ B ja P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Jos A ja B eivät ole pistevieraita eli A ∩ B =/ ∅, niin

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Tämä siksi, että tuohon "leikkaukseen" kuuluvat alkiot pitää laskea mukaan vain yhteen kertaan, Ne kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B ja tulisivat laskettua kahdesti jos tuota vähennyslaskua ei tehdä.

Ohman

 

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Selitänpä vielä vähän lisää tuota jälkimmäistä. Tarkastele kahden peräkkäisen heiton tuloksia. Mahdollisia tuloksia on 36, (1,1) , (1,2),...,(6,1),...(6,6)

A on tapaus, että 1. heitolla tulee 6. A on alkioiden (6,1),..(6,6) muodostama joukko.

Alkioita on 6 ja P(A) = 6/36 = 1/6.B on tapaus, että toisella heitolla tulee 6. B on alkioiden (1,6), (2,6),..(6,6) muodostama joukko. P(B) on  niinikään 6/36 =1/6.

Tapaus, että molemmilla heitoilla tulee 6 on A ∩ B , kuten voit noita joukkoja A ja B tutkimalla todeta,noiden joukkojen yhteisjoukossa on yksi alkio, (6,6).Ja P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 1/36.

Ohman

käyttäjä-7021
Seuraa 
Viestejä24
Liittynyt9.1.2015

Kiitos hirveästi avusta! Piirsin tehtävävihon ruudukkoon 2. esimerkin vaihtoehdot ja suotuisat tapaukset vedin yli isolla tussilla. P(A) ja P(B) yhteinen alkio näyttä tosiaan olevan (6,6), mutta onko tämä yhteinen alkio siis syy siihen että kyseinen tehtävä lasketaan kertolaskuna?

 

Ymmärsin kyllä että "tai"-sana viittaa + laskuun & "ja"-sana kertolaskuun. Mutta hämäräksi jää se että 2. esimerkissä ei mitenkään paperilla ilmene että yhteinen alkio pitäisi jollain tapaa vähentää laskusta (1/6*1/6=1/36), pitääkö siis vain pään sisällä tiedostaa että se on syy siihen miksi laskutoimitus tehdään kertolaskuna eikä pluslaskuna?

BCK
Seuraa 
Viestejä6960
Liittynyt9.7.2010

Eikö tuossa ekassa esimerkissä heitetä vain yhden kerran, kun taas tokassa esimerkissä kaksi kertaa? (Todennäköisyys että saa osumaksi 1 tai 2, mutta ei 3, 4, 5 tai 6 on 2/6, mikä sattuu olemaan myös osumien 1 ja 2 ynnälasketut todennäköisyydet.)

Jos taas heitetään kaksi kertaa, nk. tuossa toisessa esimerkissä, todennäköisyys saadaan kai kertomalla kummankin heiton todennäköisyydet?

käyttäjä-7021
Seuraa 
Viestejä24
Liittynyt9.1.2015

Hyvä pointti, ensimmäisessä esimerkissä tosiaan vain yksi nopanheitto kun taas toisessa esimerkissä kaksi nopanheittoa. Tarkoitetaankohan tällä juuri sitä että tai-sanaan viitattessa kyseessä on juurikin tilanne jossa heitetään noppaa vain kerran. Onko mahollista että kertolaskussa heitettäisiin noppaa vain kerran? Silloin kylläkään ehto "molempien pitää tapahtua" (jolloin lasketaan todennäköisyys tilanteelle jossa molemmat suotuisat tapahtuvat) ei toteudu.

MooM
Seuraa 
Viestejä6066
Liittynyt29.6.2012
Rea Jansson

Hyvä pointti, ensimmäisessä esimerkissä tosiaan vain yksi nopanheitto kun taas toisessa esimerkissä kaksi nopanheittoa. Tarkoitetaankohan tällä juuri sitä että tai-sanaan viitattessa kyseessä on juurikin tilanne jossa heitetään noppaa vain kerran. Onko mahollista että kertolaskussa heitettäisiin noppaa vain kerran? Silloin kylläkään ehto "molempien pitää tapahtua" (jolloin lasketaan todennäköisyys tilanteelle jossa molemmat suotuisat tapahtuvat) ei toteudu.

Todennäköisyyksiä voi hahmottaa niin monella tavalla... Osa ajattelee joukko-opin kautta, kuten Ohmanin selityksessä. Jos ei ole tottunut siihen ajattelutapaan, sen omaksuminen ei ole ihan helppoa, ainakaan ilman piirtelyä.

Toisille on helponta hahmottaa kaikki mahdollisuudet ja niiden määrä ja sitten ne vaihtoehdot, joilla tehtävän ehto täyttyy ja verrata näiden määriä. Nopalla joaksiella heitolla voi tulla 1,2,3,4,5 tai 6. Jos kysytään niin, että tulee 1 tai 2 on toteutuu kahdella mahdollislla heitolla. Näinen määrä suhteessa kaikkiin mahdollisuuksiin on 2/6, eli supistettuna 1/3 tai 0,333...

Kaksi perättäistä heittoa antaa paljon eri mahdollisuuksia. Jos 1. noppa antaa 1, toinen voi antaa 1,2,3,4,5 tai 6. Samoin jos ensimmäinen antaa 2, toinen voi antaa 1,2,3,4,5 tai 6. Jne. 36 eri tilannetta voi tyntyä. Näistä vain yksi, täyttää ehdon: 6 ekalla ja 6 tokalla.

Kertolaskua käyteään silloin, kun tapahtumia on useita. Nopalla eri heittoja. Silloin kertomalla saadaan nimittäjään mahdollisuuksien määrä (=nopalla kaikki mahdolliset lukuparit, jotka voi tulla tulokseksi) ja osoittajaan kysyttyjen tapahtumien määrä (=nopalla niiden parien määrä, joden todennäköisyydet kerrottiin).

Jos heittoja tehtäisiin neljä, erilaisia mahdollisuuksia olisi 6*6*6*6 (kun pidetään mukana heittojärjestys, eli on eri asia saada sarja 1-2-5-6 kuin esim. 2-1-6-5, neljä heitettyä noppaa tietysti sisältää molemmissa tapahuksissa nuo luvut). 

Kahdella heitollakin on eri asia saada "ensin 6 ja sitten 5" kuin "lopputuloksena 6 ja 5" (jälkimmäinen voi syntyä kahdella tavalla: ensin 6, sitten 5 tai ensin 5, sitten 6). Tässä tulee se plussa mukaan: sarjan 6-5 todennäköisyys on 1/36, samoin sarjan 5-6. Lopputuloksen "saadaan 5 ja 6" t.n. on siis 1/36+1/36, koska on kaksi vaihtoehtoa.

Yhteenlasku siis kuvaa vain sitä, että kun sallitaan eri lopputuloksia, vaihtoehtoja tulee lisää. Summa ei voi mennä koskaan yli ykkösen, jos yksittäiset todennäköisyydet on osattu määritellä oikein. 

 

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010

Lisätään nyt vielä, että P(A ∩ B) = P(A) · P(B) vain silloin, kun A-  ja B-tapahtumat ovat riippumattomia. Eli ehdollinen tn P(A l B) = P(A). Jos näin ei ole, kertolaskusääntö on

P(A ∩ B) = P(B) · P(A l B).

Mutta esimerkissäsi heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia. Se, mitä 1. heitolla tulee, ei vaikuta siihen, mitä 2. heitolla tulee.

Ehkäpä sinun opinnoissasi ei vielä ole ollut puhetta noista ehdollisista todennäköisyyksistä mutta laitoin nyt täydellisyyden vuoksi, ettet luulisi, että aina on

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Monesti tn-oppikirjoissa käytetään merkintää A + B kun tarkoitetaan tuota yhdysjoukkoa (unionia)

A ∪ B ja merkintää AB kun tarkoitetaan yhteisjoukkoa (leikkausta)  A ∩ B. Tästä on ehkä helpompi muistaa nuo laskusäännöt kunhan pitää mielessä sen, mitä sanoin tapahtumien (joukkojen) pistevieraudesta ja tuosta tapahtumien riippumattomuudesta.

Ohman

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Rea Jansson

Hyvä pointti, ensimmäisessä esimerkissä tosiaan vain yksi nopanheitto kun taas toisessa esimerkissä kaksi nopanheittoa. Tarkoitetaankohan tällä juuri sitä että tai-sanaan viitattessa kyseessä on juurikin tilanne jossa heitetään noppaa vain kerran. Onko mahollista että kertolaskussa heitettäisiin noppaa vain kerran? Silloin kylläkään ehto "molempien pitää tapahtua" (jolloin lasketaan todennäköisyys tilanteelle jossa molemmat suotuisat tapahtuvat) ei toteudu.

Kyllä tuossa tai -tilanteessa voi noppaa heittää vaikka kuinka monta kertaa ja ja -tilanteessa vain kerran eli ei tämä pelkästään tuolla nyrkkisäännöllä onnistu. Oleellista olisi ymmärtää, mitä kysytään. (Tosin lukiomatikassa ei paljon kysellä, joten voihan noillakin säännöillä (tai = +, ja = *) selvitä.)

Joskus kuitenkin pitäisi ajatella ihan konkreettisesti että kun noppaa heitetään, niin kuinka monta kertaa tulosten joukossa on sekä 1 että 2 (ja) vai joko 1 tai 2 tai molemmat (tai).

Jos esimerkiksi noppaa heitetään kerran, tuloksena ei voi olla samalla kertaa 1 ja 2, joten ja-todennäköisyys on 0; jos kaksi kertaa, on kaksi mahdollisuutta (1, 2) ja (2, 1), jolloin tn. = 2/36, joita ei kyllä kertolaskulla saa, vaan pitäisi käyttää yleisempää sääntöä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013
Opettaja
Jos esimerkiksi noppaa heitetään kerran, tuloksena ei voi olla samalla kertaa 1 ja 2, joten ja-todennäköisyys on 0; jos kaksi kertaa, on kaksi mahdollisuutta (1, 2) ja (2, 1), jolloin tn. = 2/36, joita ei kyllä kertolaskulla saa, vaan pitäisi käyttää yleisempää sääntöä.
Onko tuota tarpeen edes sanoa. Yksi heitto ja yksi tulos on kai päivän selvä.

Kertolaskulla saa tulokset 1 ja 2 tai 2 ja 1. Siinä pätee loogisesti ja vastaa kertolaskua ja tai vastaa yhteenlaskua. Turha tähän on sotkea joukko-opin käsitteitä mitkä vain sekoittavat yksinkertaista asiaa.

Tilanne on eri, jos tulokset ovat jotenkin toisistaan riippuvia. Silloin tarvitaan ilmeisesti näitä Opettajan hienouksia.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat