Seuraa 
Viestejä1

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Sivut

Kommentit (24)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

Piirrä kuva, jossa joukot leikkailevat toisiaan ja merkitse tuntemasi lukumäärät kuvaan. Eiköhän tuo sillä selviä. Varmaan onnistuisi muodostamaan joukkojen leikkausten ja erotusten avulla kunkin kohdan lausekkeetkin, mutta sekin onnistunee kuvaa katselemalla?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
korant
Seuraa 
Viestejä8326

Enpä ole joukko-oppiin perehtynyt ja siksi kiinnostaa ratkaisu. Ei valjennut kuvioita piirtämällä mutta viimeisen kohdan ehkä osasin laskea päättelemällä. Ei auttanut puuhikinkaan vinkki. Ehkä uuden asian sisäistäminen käy todella hitaasti.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654

Pahus. Viesti katosi taas bittiavaruuteen, kun ei älynnyt ottaa kopiota. No, tiivistetään:

Periaatteessa tehtävän voi ratkaista kirjoittamalla ensin tehtävänannon auki. Jos merkitään

A = matematiikan opiskelijat

B = fysiikan opiskelijat

C = kemian opiskelijat,

niin tehtävänanto antaa suoraan joukkojen

X = A ∪ B ∪ C,

A,

B,

C,

A ∩ B,

A ∩ C ja

B ∩ C

koot.

Puuhikin inkluusio/ekskluusioperiaate sanoo notta joukkojen koolle pätee

#(A ∪ B) = #A + #B - #(A ∩ B),

eli kääntäen

#(A ∩ C) = #A + #B - #(A ∪ B).

Perusjoukkojen komplementtien (X \ A, X \ B, X \ C) koot voidaan laskea tämän avulla tai suoremmin soveltamalla. Tästä voi jatkaa eteenpäin ihan vain muhvomalla joukko-opin sääntöjen (käytännössä siis Boolen algebran :) ) mukaan noita kohtien a-f joukkojen kokojen lauseketta siihen muotoon, että jokaisen termin arvo on tehtävänannossa annettu.

Tai sitten voi (viisaammin) piirtää sen kuvan ja päätellä siitä kuten Opettaja jo vihjasi. Sehän ei tietty käy muodollisesta todistuksesta, mutta eipä liene tällaisessa soveltavassa tehtävässä tarpeenkaan...

We're all mad here.

PPo
Seuraa 
Viestejä13905
kekkeR

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

 

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

wisti
Seuraa 
Viestejä13763

Joukko-oppi tuli kouluihin noin vuonna 1970 ja aiheutti kaamean riidan, jossa vain vähän liioitellen voi sanoa keskikaljan vapauttamisen haittojenkin olevan joukko-opin syytä. Korkeakouluihin tuli aivan tyhmiä opiskelijoita, jotka eivät osanneet matematiikkaa joukko-opin takia. Tosin heille ei oltu ehditty sitä vielä opettaakaan.

 Olen sitä mieltä, että pitkän matematiikan yo-kokeet olivat vaikeimmillaan 70-luvun lopussa, jolloin juuri joukko-oppia opiskelleet saivat tehtäviä ratkoa. Silloin oppikirjoissa kiinnitettiin erityistä huomiota täsmällisyyteen. Ylilyöntejä ja virhearvioita tuli takkuuden vaatimassa  uusien käsitteiden määrässä. Oppilaat olivat kansakoulussa oppineet laskemaan lukuja yhteen. Nyt aikaa kulutettiin siihen, että heille opetettiin ikäänkuin uudestaan samat asiat unionien ja leikkausten avulla. Aikaa käytettiin myös esimerkiksi siihen, että peruskouluikäisten piti osata erottaa funktio muista relaatioista, perusteluna, kun ne funktiot ovat niin tärkeitä...

 Joukko-oppi ja "uusi matematiikka" oli kuitenkin mainettaan parempaa. Huonoin puoli oli uusien käsitteiden runsaus. Perusopetuksessa pitäisi olla kultaisena sääntönä: minimikäsittein maksimimäärä asiaa. 

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

PPo
Seuraa 
Viestejä13905
Jorma
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

Ei riitä.

Tehtävässä todetaan, että

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Jorma
Seuraa 
Viestejä2351
PPo

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Minkä luulet olevan hyväksytty vastaus kyseiseen tehtävään?

Mielestäni täytyy olla varsin katala opettaja jos tulkitsee tehtävän tavallasi.

PPo
Seuraa 
Viestejä13905
Jorma
PPo

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Minkä luulet olevan hyväksytty vastaus kyseiseen tehtävään?

Mielestäni täytyy olla varsin katala opettaja jos tulkitsee tehtävän tavallasi.

Eka ajatukseni oli, että tehtävän kysyjä  yksinkertaisesti oli kopioinut sen väärin ja unohtanut  ilmoittaa kaikkia kolmea ainetta opiskelevien määrän.

Jos näin ei ole, niin tehtävä todellakin on kiero.  

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
PPo
kekkeR

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

 

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

PPo
Jorma
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

Ei riitä.

Tehtävässä todetaan, että

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Eiköhän tässä nyt kuitenkin tarkoiteta, että n(M ∪ F ∪ K) = 500, joten kaavasi mukaan n(M ∩ F ∩ K) = 500 - 447.

Koska opiskelijat saattoivat tuossa yliopistossa opiskella kolmea ainetta (M,F,K) niin kaipa jokaisen täytyi jotain opiskella? Ei tuossa kerrottu sellaistakaan, että ko. yliopistossa olisi voinut (saattanut) opiskella muitakin aineita.

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä13905
Ohman
PPo
kekkeR

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

 

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

PPo
Jorma
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

Ei riitä.

Tehtävässä todetaan, että

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Eiköhän tässä nyt kuitenkin tarkoiteta, että n(M ∪ F ∪ K) = 500, joten kaavasi mukaan n(M ∩ F ∩ K) = 500 - 447.

Koska opiskelijat saattoivat tuossa yliopistossa opiskella kolmea ainetta (M,F,K) niin kaipa jokaisen täytyi jotain opiskella? Ei tuossa kerrottu sellaistakaan, että ko. yliopistossa olisi voinut (saattanut) opiskella muitakin aineita.

Ohman

Jos sinun tulkintasi on oikein, niin tehtävä on kiero. 

a)-kohdassa heidän pitää olettaa, että jokainen opiskelija opiskelee ainakin yhtä kolmesta aineesta, jolloin a)-kohdan oikea vastaus on triviaalisti 500. Tämä on tietenkin oppilaan mielestä liian helppoa ja hän yrittää selvitä jäljellä olevilla tiedoilla, jotka eivät riitä, kuten on nähty. Sitten käy, kuten kävi tämän kysymyksen tekijälle.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

PPo
Ohman
PPo
kekkeR

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

 

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

PPo
Jorma
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

Ei riitä.

Tehtävässä todetaan, että

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Eiköhän tässä nyt kuitenkin tarkoiteta, että n(M ∪ F ∪ K) = 500, joten kaavasi mukaan n(M ∩ F ∩ K) = 500 - 447.

Koska opiskelijat saattoivat tuossa yliopistossa opiskella kolmea ainetta (M,F,K) niin kaipa jokaisen täytyi jotain opiskella? Ei tuossa kerrottu sellaistakaan, että ko. yliopistossa olisi voinut (saattanut) opiskella muitakin aineita.

Ohman

Jos sinun tulkintasi on oikein, niin tehtävä on kiero. 

a)-kohdassa heidän pitää olettaa, että jokainen opiskelija opiskelee ainakin yhtä kolmesta aineesta, jolloin a)-kohdan oikea vastaus on triviaalisti 500. Tämä on tietenkin oppilaan mielestä liian helppoa ja hän yrittää selvitä jäljellä olevilla tiedoilla, jotka eivät riitä, kuten on nähty. Sitten käy, kuten kävi tämän kysymyksen tekijälle.

Sekoiletko nyt? a-kohdassa kysyttiin leikkauksen M ∩ F ∩G elementtien lukumäärää. Ei se ole 500 vaan tuo omasta kaavastasi seuraava 500 - 447.

Et myöskään oikein tuntunut sisäistävän sitä, mitä sanoin muuten.

Ohman

 

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Mielestäni "saattoivat" viittaa vaihtoehtoihin 1, 2 tai 3 eikä tunnu mielekkäältä että mukana olisi opikelijoita, jotka eivät opiskele yhtäkään mainituista aineista. Toisaalta tuon sanan olisi voinut jättää kokonaan pois selvyyden vuoksi ja kirjoittaa "He opiskelivat yhtä tai useampaa...".

PPo
Seuraa 
Viestejä13905
Ohman

PPo
Ohman
PPo
kekkeR

Eli tällainen, yksikertainen tehtävä, mutta ei vaan itsellä lähde käyntii ollenkaan, saa avata!

Yliopistossa opiskeli kaikkiaan 500 opiskelijaa. He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista, matikka, fysiikka ja kemia. Matematiikan oli valinnut 329, fysiikan 186, kemian 295, matematiikan ja fysiikan 83, matematiikan ja kemian 217, fysiikan ja kemian 63. Kuinka moni opiskeli

a)kaikkia kolmea

b)matematiikkaa muttei kemiaa

c)fysiikka mutta ei kemiaa

d)kemiaa muttei fysiikkaa

e)matematiikka tai kemiaa muttei fysiikkaa

f)matematiikkaa mutta ei fysiikka eikä kemiaa.

 

b c ja dhän ovat vähennyslaskuja, mutta miten muut, ei taivu aivot kyllä.

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

PPo
Jorma
PPo

 

Annetut tiedot eivät riitä tehtävän ratkaisuun.

a) n(M∪F∪K)=n(M)+n(F)+n(K)-n(M∩F)-n(M∩K)-n(F∩K)+n(M∩F∩K)=

329+186+295-83-217-63+n(M∩F∩K)=447+n(M∩F∩K)

Pitäisi siis tietää, kuinka moni opiskeli kaikkia kolmea ainetta.

Tätä tietoa tarvitaan myös kohdissa e) ja f)

7 tuntematonta ja tarpeet 7 yhtälön muoidostamiseksi. Hyvin riittää.

Yksi tapa:

www.luontonetti.com/jorma/JJJ/opiskelijat.png  

Ei riitä.

Tehtävässä todetaan, että

 He sattoivat opiskella yhtä tai useampaa seuraavista aineista.

Toisin sanoen voi olla opiskelijoita jotka eivät opiskele mitään mainituista kolmesta aineesta.

Sinun ensimmäinen yhtälösi a+b+c+d+e+f+d=500 pitäisikin kuulua 

 a+b+c+d+e+f+d500 

 

Eiköhän tässä nyt kuitenkin tarkoiteta, että n(M ∪ F ∪ K) = 500, joten kaavasi mukaan n(M ∩ F ∩ K) = 500 - 447.

Koska opiskelijat saattoivat tuossa yliopistossa opiskella kolmea ainetta (M,F,K) niin kaipa jokaisen täytyi jotain opiskella? Ei tuossa kerrottu sellaistakaan, että ko. yliopistossa olisi voinut (saattanut) opiskella muitakin aineita.

Ohman

Jos sinun tulkintasi on oikein, niin tehtävä on kiero. 

a)-kohdassa heidän pitää olettaa, että jokainen opiskelija opiskelee ainakin yhtä kolmesta aineesta, jolloin a)-kohdan oikea vastaus on triviaalisti 500. Tämä on tietenkin oppilaan mielestä liian helppoa ja hän yrittää selvitä jäljellä olevilla tiedoilla, jotka eivät riitä, kuten on nähty. Sitten käy, kuten kävi tämän kysymyksen tekijälle.

Sekoiletko nyt? a-kohdassa kysyttiin leikkauksen M ∩ F ∩G elementtien lukumäärää. Ei se ole 500 vaan tuo omasta kaavastasi seuraava 500 - 447.

Et myöskään oikein tuntunut sisäistävän sitä, mitä sanoin muuten.

Ohman

 

Sekoilen

Olin koko ajan siinä uskossa, että a)kohdassa kysyttiin sitä, että opiskelee jotakin kolmesta. Alkaa luki- ja näköhäiriöt vaivata. Koska tehtävä olikin näin, on sinun tulkintasi oikein.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat