Seuraa 
Viestejä9087

Lämmön varastoituminen ja lämmön johtuminen erillisinä tapahtumina ovat selviä, mutta jos tarkastellaan lämmön varstoistunista sen johtuessa kappaleessa niin tilanne mutkistuu melkoisesti.

Jos oletetaan että ulkoinen lähde tuottaa lämpöä kappaleeseen, lämmittäen sitä siten että samalla osa lämmöstä poistuu tietyn rajapinnan yli (esim. äärettömän pitkä pötkö, josta tarkastellaan ensimmäistä metrin palaa), niin miten saadaan selville kuinka suuri osa tuotetusta lämmöstä on tietyllä hetkellä sitoutuneena tuohon määäräosaan ja kuinka suuri osa lämpömäärästä on poistunut tuosta alueesta.

Sivut

Kommentit (30)

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1572

Ratkotaan (osittais)differentiaaliyhtälöitä. Tässä hieman alkeita vakiotilaongelmien ratkaisuun. Transientit ja epälineaariset tapaukset tuovat ongelmiin lisävaikeutta. Tosin skalaarikenttien (tässä lämpötilat) ratkominen on aina kertalukua helpompaa kuin vektorikenttien.

 

Vanha jäärä

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
sääpeikko
Seuraa 
Viestejä7133
Nature

Lämmön varastoituminen ja lämmön johtuminen erillisinä tapahtumina ovat selviä, mutta jos tarkastellaan lämmön varstoistunista sen johtuessa kappaleessa niin tilanne mutkistuu melkoisesti.

Jos oletetaan että ulkoinen lähde tuottaa lämpöä kappaleeseen, lämmittäen sitä siten että samalla osa lämmöstä poistuu tietyn rajapinnan yli (esim. äärettömän pitkä pötkö, josta tarkastellaan ensimmäistä metrin palaa), niin miten saadaan selville kuinka suuri osa tuotetusta lämmöstä on tietyllä hetkellä sitoutuneena tuohon määäräosaan ja kuinka suuri osa lämpömäärästä on poistunut tuosta alueesta.

Jos tuo pötkö on kiinteässä kappaleessa sisällä niin Fourierin johtumislailla voit laskea eri pisteitä kohti lämpötilan ja lämpövirran :

http://www.taftan.com/thermodynamics/FOURIER.HTM

http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_heat_conduction

Muistat vain laittaa tuohon lähdetermin, joko W/m^3 lämmöntuotto jos se on jossain tilavuudessa tai W/m^2 jos lämpö siirtyy jonkin pinnan läpi tietyllä teholla.

JOs taas tuo sylinteri on ilmassa, niin sen reunoilta siirtyy lämpöä konvektiolla, tosin pitää muistaa että tällöin sylinterin sisällä lämpötilajakauma on epälineaarinen

Täällä sinulle Nusseltin lukuja siitä :

https://www.thermalfluidscentral.org/encyclopedia/index.php/Natural_convection_on_cylinders_and_spheres

Tietysti jos lämpö tulee vain toisesta päästä, niin lähempänä lämmöntuottajaa konvektio on turbulenttia ja kauempana lämmön tuottajasta konvektio on laminaaria, koska lämpötilagradientti on pienempi sylinterissä.

Lämpötilagradienttiin vaikuttaa tietysti kaasun/nesteen ominaisuus joka on tuon sylinterin ympärillä, sekä sylinterin materiaali, esim. kupari johtaa hyvin lämpöä mutta esim. puu huonosti.

Tuossa oli sellainen lyhyt tietopaketti tosta.

Anna minulle lähtötiedoiksi sylinterin halkaisija, ja päästä tulevan lämpövirran määrä W/m¨^2 , sylinterin materiaali sekä sen ympärillä olevan kiinteän tai nesteen tai kaasun materiaali ja ympärillä olevan kiinteän tai nesteen tai kaasun lämpötila niin lasken tehon mitä siirtyy tuon yli ja hyvä lähtötieto olisi myös se, onko sylinteri pystyttäin vai vaakasuunnassa.

Tietysti on sitten eri tilanteita tuosta haluatko laskea ajasta riippumattoman tilan(stationääri tila, jolloin tehonsiirto alueiden yli = vakio ja derivaatta ajan suhteen on 0) , eli esim. katulamppu syttyy päälle, mikä on lämpötilajakauma lampun rakenteissa 3 ulotteisest 2 tunnin päästä. Se on eri asia kuin transientti tapahtuma, jossa lämpötilajakauma 3 ulotteisesti pitää laskea esim. 3 sekunnin päästä kun lämmitys alkaa.

Yksi huomioitava asia on myös tuossa se, että lämpöä siirtyy säteilemälläkin osa jos tuo on nesteen tai ilman kanssa kosketuksissa ja säteilylämmönsiirto tulee merkittäväksi varsinkin sen jälkeen jos tuon sylinterin ympärillä on kalvokiehumista.

it's the Sun stupid!

Nature
Seuraa 
Viestejä9087

Periaate oli sellainen, että se osa mihin lämpöä ulkopuolisesta paikallisesta lähteestä johtuu on periaatteessa osa äärettömän suurta kokonaisuutta (ei siis mitään tiettyä rajapintaa).

Halutaan siis vain tarkastella miten ajan kuluessa rajoitettuun osaan tuota ääretöntä tilavuutta (kiinteä materiaali) lämpöä kertyy ja missä suhteessa sitä lämpöä samassa ajassa johtuu ko. alueen (so. vain laskennallisesti rajatun) ulkopuolelle. Sillä ei ole merkitystä millä tavoin lämpöä tuohon tilavuuteen tuodaan, lämpövirta vain on vakio. Vaihtoehtoisesti voi tarkastella sitäkin tilannetta, että lämpöä tuottavan osan lämpötila on vakio.

Osaan nuo kaikki peruslämpöopin yhtälöt, mutta en osaa soveltaa niitä tilanteessa jossa samaan tilavuuteen yht'aikaisesti tuodaan lämpöä, varastoituu lämpöä ja poistuu loppuosa lämmöstä johtumalla. Ongelma on lähinnä siinä että tunnetaan tuon tilavuuden peruslämpötila ennen lämmön syötön aloittamista, jolloin siis ei ole olemassa mitään tiettyä lämpötiaeroa, vaan ne lämpötilat määräytyvät pelkästään kyseisen aineen ominaisuuksien ja tunnetun syötettävän lämpövirran pohjalta.

Olen yrittänyt hamottaa tuota jopa sähköisenä vastinkytkentänä, jossa on kondensaattori sähkön varastoijana ja vastuksia kuvaamassa virran samanaikaista johtumista. Kun kondensaattori on täynnä, saavutetaan ns. stationääritilanne, jolloin piirriin tuleva ja sieltä lähtevä elektronivirta on yhtä suuri. Tuota lämpösysteemiä on vain hankala saada kuvattua tuon kaltaisella kytkennällä, jossa lämmön johtumista vastaava osuus virrasta ja varastoitumista vastaava osuus virrasta ilmenevät rinta rinnan.

Kaikenlaisia muita esimerkkejä lämmönsiirtymisestä löytyy pilvin pimein ja ne ovat aika helppoja, mutta tämä tuntuu hankalalta hamottaa.

Enkä siis tyydy tarkastelemaan stationääritilannetta, vaan pitäisi saada selville mikä tilanne on minä tahansa ajan hetkenä lämmön tuonnin alkamisesta lukien.

Nature
Seuraa 
Viestejä9087

Jos vaikka tarkastellaan tuota hieman muotoiltuna.

http://www.taftan.com/thermodynamics/FOURIER.HTM

Eli jos tuossa pidetään kiinni siitä että dQ/dt on vakio koko ajan ja oletetaan tuo dx:n paksuinen laatta osaksi rajattoman pituista kappaletta, jonka lämpötila olkoon To = 10 C:sta. Nyt siis tarkoitus on tarkastella kuinka suuri osa lämpömäärästä (dQ/dt * t) on varastoitunut tuohon dx:n paksuiseen osaan ja kuinka suuri osuus on johtunut siitä samassa ajassa läpi. Tuo dT, jonka mukaan läpimenevän osuuden voisi laskea, ei ole tiedossa koska se muuttuu koko ajan.

Luonto tietää tietää ratkaisun, mutta onko sille olemassa valmista matemaattista mallia vai joudunko kehittämäään sen itse.

Yleisestä lämpöyhtälöstä kun karsii pois muuttuvan ominaislämmönjohtavuuden ja lämmön generoinnin, luulisi siinä olevan se lähtökohta ratkaisulle. Jotenkin vain tuntuu, että sitten ei kuitenkaan ole tarpeeksi alku- tai reunaehtoja olemassa sen ratkaisemiseen.

Numeerinenkin ratkaisu kelpaisi. Luonnollisen logaritmin mukaan muuttuva tilanne on kaiken järjen mukaan kyseessä-

JPI
Seuraa 
Viestejä26804
Nature

Jos vaikka tarkastellaan tuota hieman muotoiltuna.

http://www.taftan.com/thermodynamics/FOURIER.HTM

Eli jos tuossa pidetään kiinni siitä että dQ/dt on vakio koko ajan ja oletetaan tuo dx:n paksuinen laatta osaksi rajattoman pituista kappaletta, jonka lämpötila olkoon To = 10 C:sta. Nyt siis tarkoitus on tarkastella kuinka suuri osa lämpömäärästä (dQ/dt * t) on varastoitunut tuohon dx:n paksuiseen osaan ja kuinka suuri osuus on johtunut siitä samassa ajassa läpi. Tuo dT, jonka mukaan läpimenevän osuuden voisi laskea, ei ole tiedossa koska se muuttuu koko ajan.

No dx:n paksuiseen osaan on varastoitunut lämpöenergiaa ρAdx∫C(T)dT, missä integrointi on 0:sta T:hen, C(T) on lämpökapasiteetti (J/m³K),  ρ aineen tiheys ja A pinta-ala. Voidaan tietysti käyttää ko. lämpötilaan keskiarvoistettua lämpökapasiteettiä C' (vakio), jolloin dQ=ρACTdx. Sanot "kuinka suuri osuus on johtunut SAMASSA AJASSA läpi". Siis missä samassa ajassa? lämpövuohan on tuossa ajasta riippumaton ja se on DQ/dt=-λAdT/dx.

 

3³+4³+5³=6³

Nature
Seuraa 
Viestejä9087
JPI
Nature

Jos vaikka tarkastellaan tuota hieman muotoiltuna.

http://www.taftan.com/thermodynamics/FOURIER.HTM

Eli jos tuossa pidetään kiinni siitä että dQ/dt on vakio koko ajan ja oletetaan tuo dx:n paksuinen laatta osaksi rajattoman pituista kappaletta, jonka lämpötila olkoon To = 10 C:sta. Nyt siis tarkoitus on tarkastella kuinka suuri osa lämpömäärästä (dQ/dt * t) on varastoitunut tuohon dx:n paksuiseen osaan ja kuinka suuri osuus on johtunut siitä samassa ajassa läpi. Tuo dT, jonka mukaan läpimenevän osuuden voisi laskea, ei ole tiedossa koska se muuttuu koko ajan.

No dx:n paksuiseen osaan on varastoitunut lämpöenergiaa ρAdx∫C(T)dT, missä integrointi on 0:sta T:hen, C(T) on lämpökapasiteetti (J/m³K),  ρ aineen tiheys ja A pinta-ala. Voidaan tietysti käyttää ko. lämpötilaan keskiarvoistettua lämpökapasiteettiä C' (vakio), jolloin dQ=ρACTdx. Sanot "kuinka suuri osuus on johtunut SAMASSA AJASSA läpi". Siis missä samassa ajassa? lämpövuohan on tuossa ajasta riippumaton ja se on DQ/dt=-λAdT/dx.

Paitsi että se dT muuttuu koko ajan, kun lämpöä siirtyy etupinnasta kauemmaksi kappaleeseen, josta tuo tarkasteltava viipale on vain pieni osa. Eikä se lämpövuokaan ole ajasta riippumaton (lämpövirta kyllä, jos se on alkuehtona), koska tilanne ei ole sationäärinen, vaan (mitä ilmeisimmin logaritimisesti) muuttuva.

Nature
Seuraa 
Viestejä9087

Periaatteessahan asia on niin, että kaikki lämpövirran (eli lämmitystehon) tuottama lämpö on varastoitunut siihen kokonaisuuteen, mutta mikä osuus siitä kokonaismäärästä on varastoitunut tuohon viipaleeseen.

Lämpötila muodostuu tuollaisessa tapauksessa käsittääkseni logaritmiseksi käyräksi, mutta miten se eksponentti määräytyy. Mitä ilmeisemmin sen täytyy liittyä lämmönjohtavuuden ja ominaislämpökapasiteetin suhteeseen.

Se, mihin tätä ratkaisua sovellan liittyy suurempaan kokonaisuuteen, mutta ensin tarvitaan periaattellinen ratkaisu.

Edit: Eli pitäisi pystyä ratkaisemaan sekä lämpötila että lämpötilagradientti ajan ja paikan suhteen.

sääpeikko
Seuraa 
Viestejä7133
Nature

Periaatteessahan asia on niin, että kaikki lämpövirran (eli lämmitystehon) tuottama lämpö on varastoitunut siihen kokonaisuuteen, mutta mikä osuus siitä kokonaismäärästä on varastoitunut tuohon viipaleeseen.

Lämpötila muodostuu tuollaisessa tapauksessa käsittääkseni logaritmiseksi käyräksi, mutta miten se eksponentti määräytyy. Mitä ilmeisemmin sen täytyy liittyä lämmönjohtavuuden ja ominaislämpökapasiteetin suhteeseen.

Se, mihin tätä ratkaisua sovellan liittyy suurempaan kokonaisuuteen, mutta ensin tarvitaan periaattellinen ratkaisu.

Edit: Eli pitäisi pystyä ratkaisemaan sekä lämpötila että lämpötilagradientti ajan ja paikan suhteen.

Siirtyykö tuosta sylinteristä lämpö johtumalla tuohon tilavuuteen eli onko ns. tilavuus kiinteää materiaalia vai kaasu vai nestemäistä, tällä on merkittävä vaikutus tähän tehtävän lopputulokseen. Ja tällä tilavuudella on jokin alku lämpötilakin olemassa varmasti. Eihän lämpövirtaa muuten voi olla ellei ole lämpötilaeroja.

Ja sitten olisi hyvä tietää onko tämä tilavuus minkälainen ? onko se äärettömän suuri vai jokin huone, vai jokin seinämäinen paikka vai minkälainen. Siitä riippuu paljon sekin paljon tuohon sinun viipaleeseen on varastoitunut lämpöä. Eli viipaleestasi siirtyy lämpöä jonkinlaisen lämpövastuksen läpi nesteeseen/kaasuun/kiinteään materiaaliin. Tätä lämpövastusta kutsutaan konvektiossa nimellä lämmönsiirtokerroin h, jonka voi laskea erilaisiin tapauksiin, riippuen olosuhteista. sain ainakin sellaisen mielikuvan tosta että tuo tilavuus on äärettömän suuri.

http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_transfer_coefficient

Ja kuten jo aikasemmissani kommenteissani jo sanoin, niin tuo lämmönsiirtokerroin h, ei ole todellakaan vakio paikan suhteen, vaan sen arvo pienenee mitä kauemmaksi mennään seinämästä mistä lämpövirta tulee.

Tuosta h:Sta saat lämpövastuksen kaavalla R = 1/h*A       ,missä A on pinta-ala jolla on tietty lämmönsiirtokerroin.

it's the Sun stupid!

Nature
Seuraa 
Viestejä9087
peikko763
Nature

Periaatteessahan asia on niin, että kaikki lämpövirran (eli lämmitystehon) tuottama lämpö on varastoitunut siihen kokonaisuuteen, mutta mikä osuus siitä kokonaismäärästä on varastoitunut tuohon viipaleeseen.

Lämpötila muodostuu tuollaisessa tapauksessa käsittääkseni logaritmiseksi käyräksi, mutta miten se eksponentti määräytyy. Mitä ilmeisemmin sen täytyy liittyä lämmönjohtavuuden ja ominaislämpökapasiteetin suhteeseen.

Se, mihin tätä ratkaisua sovellan liittyy suurempaan kokonaisuuteen, mutta ensin tarvitaan periaattellinen ratkaisu.

 

Edit: Eli pitäisi pystyä ratkaisemaan sekä lämpötila että lämpötilagradientti ajan ja paikan suhteen.

Siirtyykö tuosta sylinteristä lämpö johtumalla tuohon tilavuuteen eli onko ns. tilavuus kiinteää materiaalia vai kaasu vai nestemäistä, tällä on merkittävä vaikutus tähän tehtävän lopputulokseen. Ja tällä tilavuudella on jokin alku lämpötilakin olemassa varmasti. Eihän lämpövirtaa muuten voi olla ellei ole lämpötilaeroja.

Ja sitten olisi hyvä tietää onko tämä tilavuus minkälainen ? onko se äärettömän suuri vai jokin huone, vai jokin seinämäinen paikka vai minkälainen. Siitä riippuu paljon sekin paljon tuohon sinun viipaleeseen on varastoitunut lämpöä. Eli viipaleestasi siirtyy lämpöä jonkinlaisen lämpövastuksen läpi nesteeseen/kaasuun/kiinteään materiaaliin. Tätä lämpövastusta kutsutaan konvektiossa nimellä lämmönsiirtokerroin h, jonka voi laskea erilaisiin tapauksiin, riippuen olosuhteista.

http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_transfer_coefficient

Ja kuten jo aikasemmissani kommenteissani jo sanoin, niin tuo lämmönsiirtokerroin h, ei ole todellakaan vakio paikan suhteen, vaan sen arvo pienenee mitä kauemmaksi mennään seinämästä mistä lämpövirta tulee.

Tuosta h:Sta saat lämpövastuksen kaavalla R = 1/h*A       ,missä A on pinta-ala jolla on tietty lämmönsiirtokerroin.

Koko kiinteä kappale on periaatteessa äärettömän suuri ja sillä on lähtötilanteessa jokin peruslämpötila, joka tietysti on alempi kuin se lämpöä tuottavan elementin lämpötila. Sillähän nyt periaatteessa ei ole merkitystä millä tavoin lämpöä tuohon kappaleeseen siirtyy, kunhan lämpövirta on vakio tuon pinnan tai "etuseinän" yli. Minua ei siis kiinnosta miten lämpö siihen kappaleeseen siirtyy vaan se miten suuri osa siitä siirtyneestä lämmöstä on milläkin hetkellä sitoutunut tuohon tarkasteltavaan tilavuuteen.

Kyse on siis siitä, että suuren ominaislämpökapasiteetin ja pienen lämmönjohtumiskertoimen omaavasta aineesta muodostuneessa "äärettömän" laajassa kappaleessa lämpöä voi varastoitu paljon mutta se etenee johtumalla hitaasti. Siksi kiinnostaisi kovasti miten suuri osa tulleesta kokonaislämpömäärästä on jossain rajallisessa alueessa sitoutuneena ja miten suuri osa siitä on siirtynyt jo etäämmälle.

Järki sanoo, että tuo pitäisi olla laskettavaissa, mutta ainoa viite jonka tuohon asiaan olen löytänyt on, että ratkaisu ei kuulu tämän kurssin puitteisiin. Ilmeisestikään ratkaisu ei siis ole yksinkertainen, koska lämmönsiirto oli tuon kurssin puitteissa muutoin varsin tarkkaan läpikäyty. Samat asiat olen itse opiskellut (eri kurssilla tosin) varsin menestyksekkäästi.

sääpeikko
Seuraa 
Viestejä7133
Nature

Eli tuosta johtuu kiinteään ympäristöön lämpöä joka on äärettömän suuri ja haluat ratkaisun ajan suhteen. Voit käyttää siihen implisiittistä menetelmää tai explisiittistä. Ehkä Implisiittinen sopii kuitenkin paremmin tuohon kun käyttää ominaislämpökapasiteettiakin :

http://www.tut.fi/smg/tp/kurssit/DEE-54000/luennot2013/luennot_vko49.pdf

Tuolla esiintyy tuo Fo, eli Fourierin luku, tässä siihen lisätietoa :

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_number

Ja kuten huomaat, sinun pitää se sylinteri jakaa vaakasuunnassa elementteihin aluksi, ja se tilavuus myös. Jos haluaa tarkempaa ratkaisua niin myös pystysuunnassa molemmat. Tuon tehtävän voi myös ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöllä, voin siitä laittaa tänne ratkaisun myöhemmin vielä jos tarvit. Kysy tosta differenssimenetelmästä jos se tuntuu hankalalta.

Kannattaa lukaista vielä nämä luentokalvot läpi kuitenkin, jos lämmönsiirron perusteet tiesit, niin pääset tuohon differenssimenetelmään sisään paremmin :

http://www.tut.fi/smg/tp/kurssit/DEE-54000/luennot2013/luennot_vko48.pdf

Tuolla esiintyy tuo Biotin luku :

http://en.wikipedia.org/wiki/Biot_number

Tuo oli vain sillon tareellinen jos tuo sinun "ääretön tilavuus" oli nestettä tai kaasua, jolloin tuo tehtävä on paljon vaikeampi ratkaista, koska tuo lämmönsiirtokerroin h vaihtelee joka elementissä/solmussa.

it's the Sun stupid!

sääpeikko
Seuraa 
Viestejä7133
Nature

Kiitos, eiköhän noilla selvitä. Mitä ihmettä nuo mustat kököt ovat noissa luentokalvoissa?

En ole varma mitä noi kököt on, mutta tuossa Fourierin luvussa on nimenomaan tuo alfa eli terminen diffusiviteetti, johon kuuluu ominaislämpökapasiteettikin. Eli voit ratkaista tuon sylinteriongelman käyttämällä erilaisia lukuarvoja ja tarkistaa kuinka ominaislämpökapasiteetti tai lämmönjohtavuus vaikuttaa lopputulokseen. :

http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity

Tuossa fourierin luvussahan on Fo= alfa* deltat / delta x   

ja toi deltat on aika-askeleen koko sekunteina, delta x on elementin sivun pituus, tietysti kannattaa valita neliön muotoiset elementit, jolloin delta x  = delta y. Toinen huomioitava asia on tietysti T:n ala ja yläindeksit, joista yläindeksi kuvaa ajan hetkeä ja alaindeksi paikkaa elementille, missäpäin se on koordinaatistoa, aika selkeät kalvot tehtävän ratkaisuun siis.  Mutta kyllä tuon tehtävän voi toisellakin tapaa ratkaista. Mutta se on sitten vaikeampi.

it's the Sun stupid!

Nature
Seuraa 
Viestejä9087

Voisit valottaa toistakin tapaa, lienee joku konvulootioteoreeman soveltaminen, vai onnistuuko tuo pelkillä lappalaismuunnoksilla?

Todellisuudessa tarvitsen tuota differenssimenetelmää sylinterikoordinaatistossa, joten ilmeisesti delta y:n muutos tulee huomioida kunkin elementin kohdalla 2*pii/n -periaatteella, jossa n edustaa siis sitä kuinka moneen sektoriin sylinterikoordinaatiston elementointi rakennetaan.

Eli kun ympyrän kehä jonkin säteen (keski)etäisyydellä on 2*pii*r, niin kyseisessä kohdassa elementin delta y(m,n) on 2*pii*r jaettuna elementtien kokonaismäärällä kehän suunnassa ja tällöin delta x tarkoittaa samaa kuin delta r.

Haluan vain varmistaa meneekö näin (intuitioni mukaan kyllä)?

Elementtien lukumäärä voitaneen valita erikseen säteen ja kehän suhteen, eli se kuinka moneen sektoriin kokonaisuus jaetaan (-> jatkuvasti muuttuva differenssi) ja erikseen se mikä on säteen suuntainen (vakio) differenssi.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat