Seuraa 
Viestejä1782

Lentotaidoton: Matematiikka on sopimusjärjestelmä. Olemme sopineet määrättyjä asioita. Ei sieltä löydy mitään ikuisia ”totuuksia”. Sama logiikan kanssa. Jos sovimme toisin, niin ne muuttuvat.

Matematiikan perustana olevat luvut kompleksiluvut mukaanluettuna siis voidaan sopimalla muuttaa!

Jotta voisin ymmärtää tätä minulle pitää antaa esimerkki lukujen muuttamisesta sopimalla.

Ja jotta esittämäsi sopimisen voisi uskoa mielekkääksi  tarvitsen pari esimerkkiä, miten "muu" matematiikka, vaikkapa kompleksilukujen avaruudessa operoiva funktioteoria tai vaikkapa fraktaalit silloin muuttuvat.. 

 

Sivut

Kommentit (39)

Anthrax
Seuraa 
Viestejä1

Matematiikka perustuu sopimuksille, joita kutsutaan aksioomiksi. Nama ovat lauseita, joita ei voi todistaa muihin aksioomiin pohjaten. Ks. esim. Hilbertin aksiomaattinen euklidinen geometria tai Peanon aksioomat luonnollisista luvuista.

käyttäjä-3779
Seuraa 
Viestejä1782
Anthrax

Matematiikka perustuu sopimuksille, joita kutsutaan aksioomiksi. Nama ovat lauseita, joita ei voi todistaa muihin aksioomiin pohjaten. Ks. esim. Hilbertin aksiomaattinen euklidinen geometria tai Peanon aksioomat luonnollisista luvuista.

Peanon aksioomat voitaisiin tulkita intuitiivisesti tuttujen luonnollisten lukujen ominaisuuksien kartoittamiseksi, siis maailman perusominaisuuksien kartoittamiseksi. 

http://fi.wikipedia.org/wiki/Peanon_aksioomat

On löytynyt tärkeitä objekteja, jotka eivät noudata esim. symmetrisyysaksioomaa, mutta nämä objektit eivät olekaan luonnollisia lukuja. Myös on ehdotettu, että luonnolliset luvut olisivatkin esim. lukusuoralla esitettäessä "ulottuvaisia" eikä pistemäisiä, ja silti toteuttaisivat Peanon aksioomat.

Mutta tämänkään hypoteesin valossa "muu" matematiikka ei oleellisesti muutu.

Hilbertin aksiomaattinen euklidinen geometria on juuri sitä intuitiivisesti oikeaa geometriaa, jonka mukaisia teoreemoja todisteltiin jo keskikoulun neljännellä. Mutta huippuajattelijoiden kuten Gaussin, Lobatsevskin ja Bolyain syvemmälle ulottuva intuitio sanoi, että maailma saattoikin olla rakenteeltaan epäeuklidinen. Siis ei epäeuklidiseen geometriaan siirtyminen ollut sopimus, vaan syvempi intuitio maailman rakenteesta. Gauss vielä yritti mittauksin osoittaa sitä sytyttämällä nuotiot kolmen etäisen vuoren harjalle.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Euklidinen_geometria

http://fi.wikipedia.org/wiki/Ep%C3%A4euklidinen_geometria

Matematiikka, niin lukuihin kuin logiikan lauseisiin perustuen, on siis pohjimmiltaan intuitiivinen yritys kuvata maailman ominaisuuksia.

Moninaiset logiikat puolestaan eivät nekään ole sopimuksia, vaan aivojen muodostamassa "ajatteluavaruudessa" sijaitsevien mahdollisten "ajattelujuonteiden" ilmentymiä.

Niin että vieläkään en usko, että matematiikka tai logiikka olisi sopimuksin muutettavissa. Tietysti mielekkäistä vaihtoehdoista pitää sopia, mikä niistä otetaan tarkasteltavaksi..

.....

Itselläni lienee kuitenkin vakava vajaus ymmärryksessä, koska esim. luennoilla aina kun aksioomista tuli puhe ajattelin, että itsestään selvän puiminen on vain ajanhukkaa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
jesper
Seuraa 
Viestejä691

Matematiikka voi vain laajentua, ei muuttua. Epäeuklidisen geometrian keksiminen ei tehnyt euklidista geometriaa pätemättömäksi, siitä tuli vain geometrian erikoistapaus. Luonnollisilla luvuilla lasketaan myös varmasti aina, vaikka kaikki luonnolliset luvut voidaankin esittää kompleksilukuina. Tietenkin jotkin matematiikan osa-alueet voivat aikojen kuluessä jäädä käytöstä ja korvautua käyttökelpoisemmilla lähestymistavoilla. Ei se käytöstä jäänyt matematiikka kuitenkaan mihinkään katoa, vaan on aina löydettävissä uudelleen.

Heed not my earthly lot, for it hath little of earth in it.
- Edgar Allan Poe

wisti
Seuraa 
Viestejä13763

Näitä ongelmia käsittelee hauskasti ja valaisevasti Lukujen taivas (John D. Barrow kustantaja art house) . Suosittelen lämpimästi.

 Kirjassa otetaan kantaa mm. siihen onko "marsilaisten" matematiikka samanlaista kuin meidän. Ts. olisivatko he sopineet samat asiat! Vastaus oli kyllä. Ainoastaan asioiden todistamiseen kirjoittajan lainaamat "asiantuntijat" (sitaatit, koska nämä professorit olivat vain kuunalisen matematiikan asiantuntijoita ) arvelivat ufolaisten kenties suhtautuvan hyvin eri lailla.

 Kirjan sanoma oli siis se, että matematiikka ei olisi niin mielivaltaisesti sopimuksiin sidottua, kuin me matematiikkaan hyvin perehtyneetkin annamme helposti ymmärtää ("2*2 on yhtä hyvin 5 riippuu siitä, miten sovitaan").  Vaan matematiikka on ikäänkuin olemassa. Se pitää vain löytää.  

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
aggris aggris

Matematiikka, niin lukuihin kuin logiikan lauseisiin perustuen, on siis pohjimmiltaan intuitiivinen yritys kuvata maailman ominaisuuksia.

Pohjimmiltaan intuitiivinen? Tuo väite kaipaisi aika paljon selitystä.

 

We're all mad here.

käyttäjä-3779
Seuraa 
Viestejä1782
abskissa
aggris aggris

Matematiikka, niin lukuihin kuin logiikan lauseisiin perustuen, on siis pohjimmiltaan intuitiivinen yritys kuvata maailman ominaisuuksia.

Pohjimmiltaan intuitiivinen? Tuo väite kaipaisi aika paljon selitystä.

Niinpä varmaan. Kun tarkemmin ajattelen, koko intuitiivinen-sanan voisi jättää poiskin, mutta tällöin voisi jäädä tunnelma, että matematiikka olisi suoraviivainen yritys kuvata maailman ominaisuuksia.

Että parasta lienee jättää koko lause pois, ja ajatella matematiikkaa ja logiikoita jonkinlaisina aivojen ajatteluavaruudessa ilmenevinä mahdollisten "ajattelujuonteiden" ilmentyminä.

Hyvin alkeellisissa matematiikan muodoissa on ehkä nähtävissä joitakin yhtymäkohtia aivan konkreettisiin maailman ilmiöihin ja joskus pitemmällekin menevät matematiikan sisällöt löytävät merkillisiä yhteyksiä esim. mitattaviin fysiikan asioihin.

Ehkä näitä  - satunnaisia tai ei - yhyteyksiä ajatellen voi "intuitiivinen" lipsahtaa. Ehkä näin on käynyt seuraavalle blogistillekin. Tai sitten intuitiivinen tarkoittaa hänellä jotain, jota en vielä ymmärrä..

http://www.eluova.fi/index.php?id=315

faq1
Seuraa 
Viestejä415
Anthrax

Matematiikka perustuu sopimuksille, joita kutsutaan aksioomiksi. Nama ovat lauseita, joita ei voi todistaa muihin aksioomiin pohjaten. Ks. esim. Hilbertin aksiomaattinen euklidinen geometria tai Peanon aksioomat luonnollisista luvuista.

Hyvin näyttää toimivan, mutta miten kuitenkaan voidaan täydellisesti luottaa järjestelmään, mitä ei ole voitu loppuun saakka todistaa?

Fizikisto
Seuraa 
Viestejä594
aggris aggris

Lentotaidoton: Matematiikka on sopimusjärjestelmä. Olemme sopineet määrättyjä asioita. Ei sieltä löydy mitään ikuisia ”totuuksia”. Sama logiikan kanssa. Jos sovimme toisin, niin ne muuttuvat.

Olen kyllä eri mieltä matematiikan luonteesta. Toki määritelmät ja se, mitkä asiat valitaan aksioomiksi, ovat sopimusasioita. Mutta matematiikka on paljon muuta. Se on kokoelma loogista päättelyä ja erilaisten väittämien yhdistämistä päättelyn avulla. Ei esimerkiksi Pythagoraan lause muutu epätodeksi sopimuksia muuttamalla.

Jos jostain pitäisi löytää "ikuisia totuuksia", niin matematiikka on ainut "tiede", joka sellaisia tarjoaa.

NytRiitti
Seuraa 
Viestejä3194

Onhan esitetty näkemyksiä, että matematiikka on jo olemassa "tuolla jossain", kunhan sitä vaan vähä vähältä keksitään. Max Tegmarkkohan oli joka esittää jotenkin että koko maailmankaikkeus on pelkkää matematiikkaa. Matematiikan "ihmeellisestä" selitysvoimasta fysiikassa on kirjojakin. Monta hyvinkin abstraktia matematiikan haaraa on kehitetty paljon ennen kunnes on havaittu sopivuus fysiikan välineisiin.

Tulkuri.
Seuraa 
Viestejä478

:)

 

Kyllä on ärsyttävää,,kommentoin todella hyvän tekstin tähän matematiikka osioon mutta kun kesti kirjotus kun tuli välillä työeste,,niin koko teksti katosi,,oli heittänyt ulos,,typerää,,nyt en enää muista sitä tekstiä kunnolla,,harmi,,kerrankin oli ajatus vireä,,:)

Niin se vaan on, jos ei ole toisin. :)

jussipussi
Seuraa 
Viestejä44718
filosofi

:)

 

Kyllä on ärsyttävää,,kommentoin todella hyvän tekstin tähän matematiikka osioon mutta kun kesti kirjotus kun tuli välillä työeste,,niin koko teksti katosi,,oli heittänyt ulos,,typerää,,nyt en enää muista sitä tekstiä kunnolla,,harmi,,kerrankin oli ajatus vireä,,:)

Virheistä oppii.

planetisti
Seuraa 
Viestejä463

Vastaus aiheeseen on sekä kyllä että ei.

Kyllä, koska matematiikka on subjektiivista ymmärtämistä. Huippumatemaatikon uusinta artikkelia ei välttämättä ymmärrä suuren yleisön lisäksi muutkaan tutkijat, ennen kuin he ovat kukin itsenäisesti selvittäneet asian omassa päässään. Kaikilla on tähän samaan mahdollisuus, mutta ennen sisäistämisprosessia matemaattinen tietous on ennemminkin sosiaalinen konstruktio. Täten siis matematiikka on ymmärtämisprosessi ja hyvinkin subjektiivinen kokemus.

Ei, koska luontoa voi ennustaa matematiikan avulla. Matematiikka selvästi toimii ja on totta meistä riippumatta. Esim. musta-aukko on yhtälön ratkaisu ja sen voi havaita matemaatikon tutkijankammiosta, oli kammio sitten ihmisen tai marsilaisen.

Jälkimmäinen näkökanta on linkki johonkin hengelliseen. Matematiikka on universaalin totuuden paljastamista ja selvästi aidosti olemassa.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
planetisti

Matematiikka selvästi toimii ja on totta meistä riippumatta.

Jaa.

Asiaa voi tarkastella myös siltä kantilta, että katsoo mitä sanakirja sanoo matematiikasta. Yleensä matematiikka määritellään tieteeksi. Tätä määritelmää vasten on helppo sanoa, että matematiikkaa ei ole ollut olemassakaan ennen nykyihmistä(*). Taustaksi voi lisätä faktaa: lukumääriä on laskeskeltu symbolisesti vasta viimeisen 100 000 vuoden aikana.

Näin se homma menee aivan sanakirjamääritelmien ja tosiasioiden mukaan, ilman mitään tarvetta vedota henkimaailman olioihin. Matematiikka ei ole mitään "meistä riippumatta", eikä se "toimi" ellei sitä käytetä. Maailmankaikkeus on tullut aivan hyvin toimeen myös ilman matematiikkaa ja tulisi edelleenkin, jos meistä ja meidän matematiikastamme aika jättäisi.

Matemaattiset väittämät eivät koske todellisuutta, joten niiden totuudenmukaisuus on aina tulkinnanvaraista. Kun tämä tulkinta kuitenkin luetaan myös osaksi matematiikan harjoittamista, niin voidaan hiukan provosoivasti sanoa, että matematiikka on sekä sopimuksenvaraista että tulkinnanvaraista.

--

(*) Ellei huomioida mahdollista Maan ulkopuolista älyä.

We're all mad here.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat