Seuraa 
Viestejä13924

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

 

Sivut

Kommentit (28)

wisti
Seuraa 
Viestejä13783
PPo

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

 

Yks kaks ajatellen sain:
6!•(8 C 2)/6^6

wisti
Seuraa 
Viestejä13783
wisti
PPo

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

 

Yks kaks ajatellen sain:
6!•(8 C 2)/6^6

Ei ole noin. Tuo tulokseni antaisi isoilla heittomäärillä äärettömän 1:n sijasta.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
korant
Seuraa 
Viestejä8326

Kuudella heitolla sain arvauksella tn = 5!/6^5 = 0,0154321. Numeerisella ratkaisulla sain suunnilleen saman joten tuo lienee oikein. 8 heitolla en yritäkään arvata mutta numeerisesti tulee 0,8161.

20 heitolla tulee 1. 10 heitolla 0,9853. 15 heitolla 0,99999

Edit: Korjailin tuota 8 heiton tulosta muutaman kerran!

pöhl
Seuraa 
Viestejä934

Tuo kahdeksan  heiton tapaus ratkeaa inkluusio-ekskluusioperiaatteella. Siitä on keskusteltu sivulla math.stackexchange.com, mutta en osaa kännykälläni poimia kyseisen keskustelun WWW-osoitetta. Koeta Googlata. Toinen vaihtoehto on käyttää Markovin ketjua.

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
korant

Kuudella heitolla sain arvauksella tn = 5!/6^5 = 0,0154321. Numeerisella ratkaisulla sain suunnilleen saman joten tuo lienee oikein. 8 heitolla en yritäkään arvata mutta numeerisesti tulee 0,8161.

20 heitolla tulee 1. 10 heitolla 0,9853. 15 heitolla 0,99999

Edit: Korjailin tuota 8 heiton tulosta muutaman kerran!

tokkopa tuo boldattu pelkkä arvaus oli

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
jjw

Eka 6!/(6^6) 

Toka onkin hankalampi. Simuloinnilla ~ 0.114

Simulointi vastaa hyvin laskemaani, joka on 665/5832

Laskin ensin komplementin " ainakin yksi silmäluku puuttuu" todennäköisyyden soveltamalla yhteenlaskusääntöä tapauksiin, jotka eivät ole erillisiä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
PPo
korant

Kuudella heitolla sain arvauksella tn = 5!/6^5 = 0,0154321. Numeerisella ratkaisulla sain suunnilleen saman joten tuo lienee oikein. 8 heitolla en yritäkään arvata mutta numeerisesti tulee 0,8161.

20 heitolla tulee 1. 10 heitolla 0,9853. 15 heitolla 0,99999

Edit: Korjailin tuota 8 heiton tulosta muutaman kerran!

tokkopa tuo boldattu pelkkä arvaus oli

Arvasin laskentakaavan koska en hallitse todennäköisyyslaskentaa kovinkaan luotettavasti. Korjasin numeerista ratkaisuani ja nyt saan seuraavia tuloksia:

8   0,115

10  0,272

15  0,644

20  0,848

50  0,999

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
korant
PPo
korant

Kuudella heitolla sain arvauksella tn = 5!/6^5 = 0,0154321. Numeerisella ratkaisulla sain suunnilleen saman joten tuo lienee oikein. 8 heitolla en yritäkään arvata mutta numeerisesti tulee 0,8161.

20 heitolla tulee 1. 10 heitolla 0,9853. 15 heitolla 0,99999

Edit: Korjailin tuota 8 heiton tulosta muutaman kerran!

tokkopa tuo boldattu pelkkä arvaus oli

Arvasin laskentakaavan koska en hallitse todennäköisyyslaskentaa kovinkaan luotettavasti. Korjasin numeerista ratkaisuani ja nyt saan seuraavia tuloksia:

8   0,115

10  0,272

15  0,644

20  0,848

50  0,999

Lasketutin todennäköisyyksiä excelillä eri heittojen määrillä

10  38045/139968

15  233718485/362797056

20  2691299309615/3173748645888

50  0,99934071...

Tulokset vastaavat hyvin toisiaan.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

VB:n satunnaisluku on huono tällaisiin simulaatioihin. Sen jakso on vain noin 10 000 000 ja tulokset menevät hieman yläkanttiin. Esim. heittojen määrällä 8 tulee todennäköisyydeksi 0,1146 kun sen pitäisi olla 0,1140.

Yritin hakea tarkkaa lauseketta mutta ei minun taidoilla löydy.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2395
PPo

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Alla olevasta kaavasta saa tn:n n heiton tapaukselle, summausindeksi k käy nollasta arvoon 6, C(6,k) on binomikerroin:

P(n,6) = ∑(-1)^k C(6,k)((6-k)/6)^n

Tätä voi perustella inkluusio-ekskluusioperiaatteen avulla, kuten jo Puuhikki totesi.

Perusteluonnos:

Noppaa heitetään n kertaa.

Tapahtuma A1="ei yhtään ykköstä heittosarjassa"
Tapahtuma A2="ei yhtään kakkosta heittosarjassa"
jne.

Yhteensä C(6,1) erilaista tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1) = P(A2) =...= P(A6) = ((6-1)/6)^n

A1∩A2 = "ei yhtään ykköstä eikä kakkosta"
A1∩A3 = "ei yhtään ykköstä eikä kolmosta"
jne.

Yhteensä C(6,2) kpl tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1∩A2) = P(A1∩A3) =...= P(A5∩A6) =((6-2)/6)^n

Vastaavalla tavalla tapahtumat A1∩A2∩A3, A1∩A2∩A3∩A4 jne

Tapahtuma B="kaikki numerot esiintyvät", jolloin kysytty tn on:

P(B) = 1 - P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6)

Lausekkeeseen P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6) sovelletaan
IE-periaatetta, jolloin saadaan viestin alun kaava.

EDIT: muokattu allaolevaa.

Kun n<6, kaava näkyy antavan edelleen oikean todennäköisyyden, joka on tässä tapauksessa nolla.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
Spanish Inquisitor Jr
PPo

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Alla olevasta kaavasta saa tn:n n heiton tapaukselle, summausindeksi k käy nollasta arvoon 6, C(6,k) on binomikerroin:

P(n,6) = ∑(-1)^k C(6,k)((6-k)/6)^n

Tätä voi perustella inkluusio-ekskluusioperiaatteen avulla, kuten jo Puuhikki totesi.

Perusteluonnos:

Noppaa heitetään n kertaa.

Tapahtuma A1="ei yhtään ykköstä heittosarjassa"
Tapahtuma A2="ei yhtään kakkosta heittosarjassa"
jne.

Yhteensä C(6,1) erilaista tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1) = P(A2) =...= P(A6) = ((6-1)/6)^n

A1∩A2 = "ei yhtään ykköstä eikä kakkosta"
A1∩A3 = "ei yhtään ykköstä eikä kolmosta"
jne.

Yhteensä C(6,2) kpl tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1∩A2) = P(A1∩A3) =...= P(A5∩A6) =((6-2)/6)^n

Vastaavalla tavalla tapahtumat A1∩A2∩A3, A1∩A2∩A3∩A4 jne

Tapahtuma B="kaikki numerot esiintyvät", jolloin kysytty tn on:

P(B) = 1 - P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6)

Lausekkeeseen P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6) sovelletaan
IE-periaatetta, jolloin saadaan viestin alun kaava.

EDIT: muokattu allaolevaa.

Kun n<6, kaava näkyy antavan edelleen oikean todennäköisyyden, joka on tässä tapauksessa nolla.

Jos kaava antaa boldatun tuloksen, se ei ole oikein, koska

 tn=5!/6^5, kun n=6, jonka korant ensimmäisenä esitti.

Pitääpä tutustua kaavaaasi tarkemmin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2395
PPo
Spanish Inquisitor Jr

...

EDIT: muokattu allaolevaa.

Kun n<6, kaava näkyy antavan edelleen oikean todennäköisyyden, joka on tässä tapauksessa nolla.

Jos kaava antaa boldatun tuloksen, se ei ole oikein, koska

 tn=5!/6^5, kun n=6, jonka korant ensimmäisenä esitti.

Pitääpä tutustua kaavaaasi tarkemmin.

Öö, tuota tuo mun kaava antaa saman tuloksen kuin korantin kaava, kun n= 6. Kun n = 1,2,3,4,5 se antaa arvoksi nollan (kuten pitääkin).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
PPo
Spanish Inquisitor Jr
PPo

Ensin verryttelyä.

Heitetään noppaa kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Tilanne vaikeutuu oleellisesti kun heittojen määrä kasvaa.

Heitetään noppaa esim kahdeksan kertaa. Mikä on nyt todennäköisyys sille, että jokainen silmäluku esiintyy?

Alla olevasta kaavasta saa tn:n n heiton tapaukselle, summausindeksi k käy nollasta arvoon 6, C(6,k) on binomikerroin:

P(n,6) = ∑(-1)^k C(6,k)((6-k)/6)^n

Tätä voi perustella inkluusio-ekskluusioperiaatteen avulla, kuten jo Puuhikki totesi.

Perusteluonnos:

Noppaa heitetään n kertaa.

Tapahtuma A1="ei yhtään ykköstä heittosarjassa"
Tapahtuma A2="ei yhtään kakkosta heittosarjassa"
jne.

Yhteensä C(6,1) erilaista tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1) = P(A2) =...= P(A6) = ((6-1)/6)^n

A1∩A2 = "ei yhtään ykköstä eikä kakkosta"
A1∩A3 = "ei yhtään ykköstä eikä kolmosta"
jne.

Yhteensä C(6,2) kpl tapahtumaa.

Todennäköisyydet:

P(A1∩A2) = P(A1∩A3) =...= P(A5∩A6) =((6-2)/6)^n

Vastaavalla tavalla tapahtumat A1∩A2∩A3, A1∩A2∩A3∩A4 jne

Tapahtuma B="kaikki numerot esiintyvät", jolloin kysytty tn on:

P(B) = 1 - P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6)

Lausekkeeseen P(A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6) sovelletaan
IE-periaatetta, jolloin saadaan viestin alun kaava.

EDIT: muokattu allaolevaa.

Kun n<6, kaava näkyy antavan edelleen oikean todennäköisyyden, joka on tässä tapauksessa nolla.

Jos kaava antaa boldatun tuloksen, se ei ole oikein, koska

 tn=5!/6^5, kun n=6, jonka korant ensimmäisenä esitti.

Pitääpä tutustua kaavaaasi tarkemmin.

Kaavasi on oikein ja se antaa todennäköisyydeksi 5/324, kun n=6

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat