Seuraa 
Viestejä13922

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Sivut

Kommentit (58)

PPo
Seuraa 
Viestejä13922
PPo

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Tein laskelmia ja sen vuoksi muutan tehtävää hieman. Asetetaan jousen toinen pää origoon ja vedetään punnusta siten, että se sijaitsee pisteessä (-4,-3) joten jousen pituus on 5 m. Lasketaan punnus heilahtelemaan. Miten jousen pituus vaihtelee?

PPo
Seuraa 
Viestejä13922
PPo
PPo

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Tein laskelmia ja sen vuoksi muutan tehtävää hieman. Asetetaan jousen toinen pää origoon ja vedetään punnusta siten, että se sijaitsee pisteessä (-4,-3) joten jousen pituus on 5 m. Lasketaan punnus heilahtelemaan. Miten jousen pituus vaihtelee?

Korant esitti tekemänsä kokeen havaintoja, jotka olivat ennakko-odotusteni vastaisia. Lisälaskelmani antavat havaintojen suuntaisia tuloksia joten uskallan tehdä lisäkysymyksen.

Mikä on punnuksen rata?

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
JPI
Seuraa 
Viestejä26805
PPo

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Vetävä voima on F=mgtan(30) = mg/√3 => viruma on = L = F/k = mg/√3k = .557 m.

Käytössä oleva energia on nyt siis ½kL², merk E=½kL². Käytetään x-y koordinaatistoa, missä x alaspäin tukipisteestä.

Jousen heilahdellessa pätee siis E=½k(x²+y²)-mgy+½m(x'²+y'²), mikä on siis vakio.

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0 ja y''+ω²y-2g=0

Ratkaistaan, välivaiheita en jaksa kirjoitella, tarvittaessa kyllä

x(t) = ½Lcos(ωt), y(t)=2g/ω²+(√3L/2-2g/ω²)cos(ωt)

Jatkuu!

Tosin luulenpa, että jousen pituusvaihtelu saadaan selville ilman yhtälöiden ratkaisuakin.

Edit: Kursivoin alussa muutaman rivien, sillä ne eivät noihin x(t) ja y(t) ratkaisuihin suoraan liity, meinasin ensin toista lähestymistapaa. Muuten: sijoita yhtälöihin, toteutuvat (ellen mokannut)

3³+4³+5³=6³

PPo
Seuraa 
Viestejä13922
JPI
PPo

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Vetävä voima on F=mgtan(30) = mg/√3 => viruma on = L = F/k = mg/√3k = .557 m.

Käytössä oleva energia on nyt siis ½kL², merk E=½kL². Käytetään x-y koordinaatistoa, missä x alaspäin tukipisteestä.

Jousen heilahdellessa pätee siis E=½k(x²+y²)-mgy+½m(x'²+y'²), mikä on siis vakio.

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0 ja y''+ω²y-2g=0

Ratkaistaan, välivaiheita en jaksa kirjoitella, tarvittaessa kyllä

x(t) = ½Lcos(ωt), y(t)=2g/ω²+(√3L/2-2g/ω²)cos(ωt)

Jatkuu!

Tosin luulenpa, että jousen pituusvaihtelu saadaan selville ilman yhtälöiden ratkaisuakin.

Edit: Kursivoin alussa muutaman rivien, sillä ne eivät noihin x(t) ja y(t) ratkaisuihin suoraan liity, meinasin ensin toista lähestymistapaa. Muuten: sijoita yhtälöihin, toteutuvat (ellen mokannut)

Muutin tehtävää hieman yleisempään muotoon. Se on viestissä 2 ja viestissä 3 on jatkotehtävä.

 

JPI
Seuraa 
Viestejä26805
PPo
JPI
PPo

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Vetävä voima on F=mgtan(30) = mg/√3 => viruma on = L = F/k = mg/√3k = .557 m.

Käytössä oleva energia on nyt siis ½kL², merk E=½kL². Käytetään x-y koordinaatistoa, missä x alaspäin tukipisteestä.

Jousen heilahdellessa pätee siis E=½k(x²+y²)-mgy+½m(x'²+y'²), mikä on siis vakio.

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0 ja y''+ω²y-2g=0

Ratkaistaan, välivaiheita en jaksa kirjoitella, tarvittaessa kyllä

x(t) = ½Lcos(ωt), y(t)=2g/ω²+(√3L/2-2g/ω²)cos(ωt)

Jatkuu!

Tosin luulenpa, että jousen pituusvaihtelu saadaan selville ilman yhtälöiden ratkaisuakin.

Edit: Kursivoin alussa muutaman rivien, sillä ne eivät noihin x(t) ja y(t) ratkaisuihin suoraan liity, meinasin ensin toista lähestymistapaa. Muuten: sijoita yhtälöihin, toteutuvat (ellen mokannut)

Muutin tehtävää hieman yleisempään muotoon. Se on viestissä 2 ja viestissä 3 on jatkotehtävä.

 

Joo, ja tuossa yllä on mulla taas jotakin sontaa, pitää nyt kahtoo!!

3³+4³+5³=6³

JPI
Seuraa 
Viestejä26805

Shit virhe yhtälöissä, oikeat ovat

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0

ja

y''+ω²y-g=0,  eikä y''+ω²y-2g=0

ratkaisut siis

x(t) = ½Lcos(ωt)

y(t)=g/ω²-(√3L/2+g/ω²)cos(ωt)

Mutta ei pelaa silti

3³+4³+5³=6³

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1572
JPI

Mutta ei pelaa silti. 

 

Väittäisin, että koordinaattien välillä pitäisi olla kytkentä. Tämä ainakin sen perusteella, millainen oli vastaavanlaisen pyörivän jousisysteemin ratkaisu. 

Valitettavasti minulla ei juuri nyt ole sopivia matematiikkatyökaluja käytössäni, että en voi ryhtyä ongelmaa ratkomaan. Käsin en viitsi edes yrittää. 

Vanha jäärä

JPI
Seuraa 
Viestejä26805
korant

Tuli tällainen tyynyhässäkkä liikeradaksi:

Rmax = 6,6288, Rmin = 0,249479

Hienon näkönen. Mutta jos ajatellaan niitä sinun kokeitasi oikealla jousella joista mainitsit, niin sen oikean jousen voima on muotoa k(r-r0) mutta Ppo:n "jousen" muotoa kr. Siis oikea jousi ei käyttäydy ollenkaan samoin kuin kr-jousi. Onko tuo käppyrä simuloitu siis kr-jousella vai k(r-ro)-jousella? Siis vastaako se todellista jousta, jonka lepopituus >0 vai leikkijousta, jonka lepopituus = 0.

P.S. riippuen jäykkyydestä oikea jousi voi sekä vetää että työntää, kr-jousi vain vetää. Jos simulidaan lauseketta k(r-r0) käyttämällä, niin silloin jousi oletetaan automaattisesti nurjahtamattomaksi ja se saa aikaan sekä vetoa että työntöä.

3³+4³+5³=6³

JPI
Seuraa 
Viestejä26805
Veli H.

Jep. Tuossa ei ole käytetty kuviteltua -k*r-jousta vaan -k*(r-r0)-jousta, siis enemmän todellista.

Jousivakiolla 10N/m:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=spring+pendulum&a=*C.spring+pendulu...\u005f1+m&f4=55+%C2%B0&f=SpringPendulum.thetai\u005f55+%C2%B0&f5=1+m&f=SpringPendulum.li\u005f1+m&f6=1+kg&f=SpringPendulum.m\u005f1+kg&f7=6.1+s&f=SpringPendulum.t\u005f6.1+s&a=*FVarOpt.1-_**-.***SpringPendulum.g---.*--

3³+4³+5³=6³

PPo
Seuraa 
Viestejä13922
JPI
korant

Tuli tällainen tyynyhässäkkä liikeradaksi:

Rmax = 6,6288, Rmin = 0,249479

Hienon näkönen. Mutta jos ajatellaan niitä sinun kokeitasi oikealla jousella joista mainitsit, niin sen oikean jousen voima on muotoa k(r-r0) mutta Ppo:n "jousen" muotoa kr. Siis oikea jousi ei käyttäydy ollenkaan samoin kuin kr-jousi. Onko tuo käppyrä simuloitu siis kr-jousella vai k(r-ro)-jousella? Siis vastaako se todellista jousta, jonka lepopituus >0 vai leikkijousta, jonka lepopituus = 0.

P.S. riippuen jäykkyydestä oikea jousi voi sekä vetää että työntää, kr-jousi vain vetää. Jos simulidaan lauseketta k(r-r0) käyttämällä, niin silloin jousi oletetaan automaattisesti nurjahtamattomaksi ja se saa aikaan sekä vetoa että työntöä.

Laskelmani perustuvat tietenkin "jouseen". Sain pituudelle vaihteluvälin

1/√5≤r≤5.

Lisäksi laskuni antoivat "jouselle" stabiilin   radan, joka korantin kuviota katsoessa tuntuu ihan uskottavalta.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
JPI

Hienon näkönen. Mutta jos ajatellaan niitä sinun kokeitasi oikealla jousella joista mainitsit, niin sen oikean jousen voima on muotoa k(r-r0) mutta Ppo:n "jousen" muotoa kr. Siis oikea jousi ei käyttäydy ollenkaan samoin kuin kr-jousi. Onko tuo käppyrä simuloitu siis kr-jousella vai k(r-ro)-jousella? Siis vastaako se todellista jousta, jonka lepopituus >0 vai leikkijousta, jonka lepopituus = 0.

P.S. riippuen jäykkyydestä oikea jousi voi sekä vetää että työntää, kr-jousi vain vetää. Jos simulidaan lauseketta k(r-r0) käyttämällä, niin silloin jousi oletetaan automaattisesti nurjahtamattomaksi ja se saa aikaan sekä vetoa että työntöä.

Kyllä tässä on kr-jousi eli jousivoima F = kr. Painovoiman merkityshän jää tässä aika vähäiseksi koska jousivoima heti alkuarvoissa on jo 50 N ja painovoima 10 N.

Tais kuvio mennä jotenkin väärinpäin koska aiemmin y-akseli oli alaspäin ja tähän käänsin sen ylöspäin mutta en muistanut muuttaa koodia vastaavasti. Täytyypi vielä tarkistaa ja laittaa ainakin nuo koordinaattiakselit mukaan.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat