Heilahteleva jousi

PPo

15.07.2015 klo 08:56

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Vetävä voima on F=mgtan(30) = mg/√3 => viruma on = L = F/k = mg/√3k = .557 m.

Käytössä oleva energia on nyt siis ½kL², merk E=½kL². Käytetään x-y koordinaatistoa, missä x alaspäin tukipisteestä.

Jousen heilahdellessa pätee siis E=½k(x²+y²)-mgy+½m(x'²+y'²), mikä on siis vakio.

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0 ja y''+ω²y-2g=0

Ratkaistaan, välivaiheita en jaksa kirjoitella, tarvittaessa kyllä

x(t) = ½Lcos(ωt), y(t)=2g/ω²+(√3L/2-2g/ω²)cos(ωt)

Jatkuu!

Tosin luulenpa, että jousen pituusvaihtelu saadaan selville ilman yhtälöiden ratkaisuakin.

Edit: Kursivoin alussa muutaman rivien, sillä ne eivät noihin x(t) ja y(t) ratkaisuihin suoraan liity, meinasin ensin toista lähestymistapaa. Muuten: sijoita yhtälöihin, toteutuvat (ellen mokannut)

PPo

15.07.2015 klo 17:27

JPI

15.07.2015 klo 16:44

PPo

15.07.2015 klo 08:56

Yön yli nukuttuani päätin hieman muokata tehtävääni ja muutin myös sen paikkaa.

On massaton jousi (k=10 N/m), jonka lepopituus on 0. Riiputetaan sen päässä punnusta, jonka massa m=1kg, jolloin se venyy  ro=1m (g=10m/s²).

Alkajaiseksi työnnetään punnusta vaakasuoralla voimalla niin kauan, että jousi muodostaa kulman φo=60° pystysuunnan kanssa. Sitten päästetää jousi heilahtelemaan.

Tehtävänä on selvittää, millä välillä jousen pituus vaihtelee.

Vetävä voima on F=mgtan(30) = mg/√3 => viruma on = L = F/k = mg/√3k = .557 m.

Käytössä oleva energia on nyt siis ½kL², merk E=½kL². Käytetään x-y koordinaatistoa, missä x alaspäin tukipisteestä.

Jousen heilahdellessa pätee siis E=½k(x²+y²)-mgy+½m(x'²+y'²), mikä on siis vakio.

Lagrangen yhtälöt: 2L/m = x'²+y'² - ω²x²- ω²y²+2gy

d/dt(∂L/∂x')-∂L/∂x = 0 ja sama y:lle. Saadaan yhtälöt

x''+ω²x=0 ja y''+ω²y-2g=0

Ratkaistaan, välivaiheita en jaksa kirjoitella, tarvittaessa kyllä

x(t) = ½Lcos(ωt), y(t)=2g/ω²+(√3L/2-2g/ω²)cos(ωt)

Jatkuu!

Tosin luulenpa, että jousen pituusvaihtelu saadaan selville ilman yhtälöiden ratkaisuakin.

Edit: Kursivoin alussa muutaman rivien, sillä ne eivät noihin x(t) ja y(t) ratkaisuihin suoraan liity, meinasin ensin toista lähestymistapaa. Muuten: sijoita yhtälöihin, toteutuvat (ellen mokannut)

Muutin tehtävää hieman yleisempään muotoon. Se on viestissä 2 ja viestissä 3 on jatkotehtävä.

 

Joo, ja tuossa yllä on mulla taas jotakin sontaa, pitää nyt kahtoo!!

JPI

15.07.2015 klo 18:23

Mutta ei pelaa silti. 

 

Väittäisin, että koordinaattien välillä pitäisi olla kytkentä. Tämä ainakin sen perusteella, millainen oli vastaavanlaisen pyörivän jousisysteemin ratkaisu. 

Valitettavasti minulla ei juuri nyt ole sopivia matematiikkatyökaluja käytössäni, että en voi ryhtyä ongelmaa ratkomaan. Käsin en viitsi edes yrittää. 

korant

15.07.2015 klo 21:30

Tuli tällainen tyynyhässäkkä liikeradaksi:

Rmax = 6,6288, Rmin = 0,249479

Hienon näkönen. Mutta jos ajatellaan niitä sinun kokeitasi oikealla jousella joista mainitsit, niin sen oikean jousen voima on muotoa k(r-r0) mutta Ppo:n "jousen" muotoa kr. Siis oikea jousi ei käyttäydy ollenkaan samoin kuin kr-jousi. Onko tuo käppyrä simuloitu siis kr-jousella vai k(r-ro)-jousella? Siis vastaako se todellista jousta, jonka lepopituus >0 vai leikkijousta, jonka lepopituus = 0.

P.S. riippuen jäykkyydestä oikea jousi voi sekä vetää että työntää, kr-jousi vain vetää. Jos simulidaan lauseketta k(r-r0) käyttämällä, niin silloin jousi oletetaan automaattisesti nurjahtamattomaksi ja se saa aikaan sekä vetoa että työntöä.

Veli H.

15.07.2015 klo 22:11

http://www.wolframalpha.com/input/?i=spring+pendulum

Jep. Tuossa ei ole käytetty kuviteltua -k*r-jousta vaan -k*(r-r0)-jousta, siis enemmän todellista.

Jousivakiolla 10N/m:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=spring+pendulum&a=*C.spring+pendulu...\u005f1+m&f4=55+%C2%B0&f=SpringPendulum.thetai\u005f55+%C2%B0&f5=1+m&f=SpringPendulum.li\u005f1+m&f6=1+kg&f=SpringPendulum.m\u005f1+kg&f7=6.1+s&f=SpringPendulum.t\u005f6.1+s&a=*FVarOpt.1-_**-.***SpringPendulum.g---.*--

JPI

15.07.2015 klo 21:52

Hienon näkönen. Mutta jos ajatellaan niitä sinun kokeitasi oikealla jousella joista mainitsit, niin sen oikean jousen voima on muotoa k(r-r0) mutta Ppo:n "jousen" muotoa kr. Siis oikea jousi ei käyttäydy ollenkaan samoin kuin kr-jousi. Onko tuo käppyrä simuloitu siis kr-jousella vai k(r-ro)-jousella? Siis vastaako se todellista jousta, jonka lepopituus >0 vai leikkijousta, jonka lepopituus = 0.

P.S. riippuen jäykkyydestä oikea jousi voi sekä vetää että työntää, kr-jousi vain vetää. Jos simulidaan lauseketta k(r-r0) käyttämällä, niin silloin jousi oletetaan automaattisesti nurjahtamattomaksi ja se saa aikaan sekä vetoa että työntöä.

Tais kuvio mennä jotenkin väärinpäin koska aiemmin y-akseli oli alaspäin ja tähän käänsin sen ylöspäin mutta en muistanut muuttaa koodia vastaavasti. Täytyypi vielä tarkistaa ja laittaa ainakin nuo koordinaattiakselit mukaan.

Siinä oli erinäisiä suuntia nurinnarin. Tämä on selvästi totuudenmukaisempi.

Nyt Rmax = 5 ja Rmin = 0,064