Seuraa 
Viestejä10

Hei, kaikki!

Opiskelen omaksi ilokseni fysiikan perusopintojen juttuja Chabayn ja Sherwoodin kirjasta Matter & Interactions. Vastaan tuli (oleellisesti) seuraava tehtävä:

Pystysuora jousi (jousivakio k) on kiinnitetty pohjastaan alustaan. Jousen päälle asetetaan massa m, jota lasketaan hyvin hitaasti, koko ajan massaa käsin tukien alaspäin, kunnes massa lepää liikkumatta kokoon puristuneen jousen päällä (ja tällöin päästetään irti). Kuinka paljon jousi on puristunut kasaan?

Suoraviivainen ratkaisu on, että lopputilanteessa jousivoima -ks ja gravitaatiovoima mg täsmälleen kumoavat toisensa, joten -ks = mg ja puristuma on s = -mg/k. Aloin kuitenkin alunperin ratkaista tehtävää energiaperiaatteella. Sain aikaan seuraavaa, enkä ymmärrä, miten saan massaa laskettaessa tehtävälle työlle oikean etumerkin.

Energiaperiaatteen mukaan jousi-massa-Maa-systeemin energianmuutos on systeemin ulkopuolelta systeemiin tehdyn työn W suuruinen. Siispä

ΔK(massa) + ΔU(jousi) + ΔU(massa) = W.

Massan kineettinen energia ei juuri muutu, sillä sitä laskettiin alaspäin hyvin hitaasti. Siispä ΔK(massa) = 0. Valitaan koordinaatiston origoksi jousen yläpää alkutilanteessa. Jos jousen puristuma on s (ja siis nyt s < 0), saadaan

½ ks² + mgs = W.

Systeemin ulkopuolisen työn W tekee massaa alaspäin laskeva fyysikko. Hänen tulee joka hetkellä kumota jousen alkuperäistä pituutta palauttamaan pyrkivä jousivoima -kx. Siispä fyysikko siirtää massa alaspäin voimalla kx, jossa x on jousen puristuma ko. hetkellä. Näin saadaan tehdyksi työksi W = ∫(0:sta s:ään) kx dx = ½ ks², eli

½ ks² + mgs = ½ ks².

Tässä vaiheessa huomataan, että jokin mennyt pieleen, sillä yhtälö surkastuu muotoon mgs = 0. Jos työllä olisi etumerkkinä miinus, kaikki menisi oikein, eli virhe on W:n integroinnissa. Mutta en millään keksi, mihin väliin sen miinuksen lykkäisin. Osaisiko joku selittää, millä logiikalla W onkin -½ ks²? Kiitos avusta!

 

t. Samuli

 

Kommentit (7)

Eusa
Seuraa 
Viestejä16180
Samuli

Hei, kaikki!

Opiskelen omaksi ilokseni fysiikan perusopintojen juttuja Chabayn ja Sherwoodin kirjasta Matter & Interactions. Vastaan tuli (oleellisesti) seuraava tehtävä:

Pystysuora jousi (jousivakio k) on kiinnitetty pohjastaan alustaan. Jousen päälle asetetaan massa m, jota lasketaan hyvin hitaasti, koko ajan massaa käsin tukien alaspäin, kunnes massa lepää liikkumatta kokoon puristuneen jousen päällä (ja tällöin päästetään irti). Kuinka paljon jousi on puristunut kasaan?

Suoraviivainen ratkaisu on, että lopputilanteessa jousivoima -ks ja gravitaatiovoima mg täsmälleen kumoavat toisensa, joten -ks = mg ja puristuma on s = -mg/k. Aloin kuitenkin alunperin ratkaista tehtävää energiaperiaatteella. Sain aikaan seuraavaa, enkä ymmärrä, miten saan massaa laskettaessa tehtävälle työlle oikean etumerkin.

Energiaperiaatteen mukaan jousi-massa-Maa-systeemin energianmuutos on systeemin ulkopuolelta systeemiin tehdyn työn W suuruinen. Siispä

ΔK(massa) + ΔU(jousi) + ΔU(massa) = W.

Massan kineettinen energia ei juuri muutu, sillä sitä laskettiin alaspäin hyvin hitaasti. Siispä ΔK(massa) = 0. Valitaan koordinaatiston origoksi jousen yläpää alkutilanteessa. Jos jousen puristuma on s (ja siis nyt s < 0), saadaan

½ ks² + mgs = W.

Systeemin ulkopuolisen työn W tekee massaa alaspäin laskeva fyysikko. Hänen tulee joka hetkellä kumota jousen alkuperäistä pituutta palauttamaan pyrkivä jousivoima -kx. Siispä fyysikko siirtää massa alaspäin voimalla kx, jossa x on jousen puristuma ko. hetkellä. Näin saadaan tehdyksi työksi W = ∫(0:sta s:ään) kx dx = ½ ks², eli

½ ks² + mgs = ½ ks².

Tässä vaiheessa huomataan, että jokin mennyt pieleen, sillä yhtälö surkastuu muotoon mgs = 0. Jos työllä olisi etumerkkinä miinus, kaikki menisi oikein, eli virhe on W:n integroinnissa. Mutta en millään keksi, mihin väliin sen miinuksen lykkäisin. Osaisiko joku selittää, millä logiikalla W onkin -½ ks²? Kiitos avusta!

t. Samuli

Käsien antama tukivoima kiihdyttää kappaletta tukemisen ajan ylöspäin ja tekee työtä, jota et huomioinut . 

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Samuli
Seuraa 
Viestejä10
Eusa

Käsien antama tukivoima kiihdyttää kappaletta tukemisen ajan ylöspäin ja tekee työtä, jota et huomioinut . 

 

Kiitos vastauksesta. En vain ymmärrä. Luulin huomioineeni käsien käsien kappaleeseen kohdistaman voiman. Miten ihmeessä käsien välittämä voima (jota, Eusa, kutsut tukivoimaksi) voisi suuntautua ylöspäin? Jousihan se kappaletta ylöspäin kiihdyttää, ja jousen vaikutus asiaan on jo potentiaalienergiassa huomioitu. Kappale sitten tukee kyllä käsiä ylöspäin, mutta ei kai sen pitäisi vaikuttaa asiaan.

Jos jaksatte vääntää rautalangasta, niin olisin kiitollinen. Vastauksissa saa vapaasti olettaa, että minä en tiedä yhtään mistään yhtään mitään.

 

t. Samuli

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2386
Samuli

Hei, kaikki!

Opiskelen omaksi ilokseni fysiikan perusopintojen juttuja Chabayn ja Sherwoodin kirjasta Matter & Interactions. Vastaan tuli (oleellisesti) seuraava tehtävä:

Pystysuora jousi (jousivakio k) on kiinnitetty pohjastaan alustaan. Jousen päälle asetetaan massa m, jota lasketaan hyvin hitaasti, koko ajan massaa käsin tukien alaspäin, kunnes massa lepää liikkumatta kokoon puristuneen jousen päällä (ja tällöin päästetään irti). Kuinka paljon jousi on puristunut kasaan?

Suoraviivainen ratkaisu on, että lopputilanteessa jousivoima -ks ja gravitaatiovoima mg täsmälleen kumoavat toisensa, joten -ks = mg ja puristuma on s = -mg/k. Aloin kuitenkin alunperin ratkaista tehtävää energiaperiaatteella. Sain aikaan seuraavaa, enkä ymmärrä, miten saan massaa laskettaessa tehtävälle työlle oikean etumerkin.

Energiaperiaatteen mukaan jousi-massa-Maa-systeemin energianmuutos on systeemin ulkopuolelta systeemiin tehdyn työn W suuruinen. Siispä

ΔK(massa) + ΔU(jousi) + ΔU(massa) = W.

Massan kineettinen energia ei juuri muutu, sillä sitä laskettiin alaspäin hyvin hitaasti. Siispä ΔK(massa) = 0. Valitaan koordinaatiston origoksi jousen yläpää alkutilanteessa. Jos jousen puristuma on s (ja siis nyt s < 0), saadaan

½ ks² + mgs = W.

Systeemin ulkopuolisen työn W tekee massaa alaspäin laskeva fyysikko. Hänen tulee joka hetkellä kumota jousen alkuperäistä pituutta palauttamaan pyrkivä jousivoima -kx. Siispä fyysikko siirtää massa alaspäin voimalla kx, jossa x on jousen puristuma ko. hetkellä. Näin saadaan tehdyksi työksi W = ∫(0:sta s:ään) kx dx = ½ ks², eli

½ ks² + mgs = ½ ks².

Tässä vaiheessa huomataan, että jokin mennyt pieleen, sillä yhtälö surkastuu muotoon mgs = 0. Jos työllä olisi etumerkkinä miinus, kaikki menisi oikein, eli virhe on W:n integroinnissa. Mutta en millään keksi, mihin väliin sen miinuksen lykkäisin. Osaisiko joku selittää, millä logiikalla W onkin -½ ks²? Kiitos avusta!

t. Samuli

Terve, tuo tehtävässä annettu ehto (boldattuna) merkitsee sitä, että massan m kiihtyvyys s'' = 0 ja siten massaan m vaikuttavien voimien summa F on = 0, eli:

F = ms'' = -ks-mg + H = 0,

missä H on fyysikon aiheuttama voima. Siis voiman H tulee kumota sekä painovoima -mg ja jousivoima -ks. Jos fyysikko kumoaisi pelkästään jousivoiman kuten teet laskussasi asettamalla H = ks , jäisi jäljelle painovoima -mg ja kappale kiihtyisi, sillä:

ms'' = -ks - mg + H = -ks - mg + ks = -mg.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Samuli
Seuraa 
Viestejä10
Spanish Inquisitor Jr

Terve, tuo tehtävässä annettu ehto (boldattuna) merkitsee sitä, että massan m kiihtyvyys s'' = 0 ja siten massaan m vaikuttavien voimien summa F on = 0, eli:

F = ms'' = -ks-mg + H = 0,

Kiitos. Siis unohdin painovoiman. Järkeenkäyvää. Mutta nyt, jos jatkan tällä idealla, että kohdassa x pätee H = kx + mg, niin saan fyysikon tekemäksi työksi

W = ∫(0:sta s:ään) (kx + mg) dx = ½ ks² + mgs.

Tämän, kun sijoitan yhtälöön ½ ks² + mgs = W, saan vain epäinformatiivisesti 0 = 0. Öh. Vieläkö jollakin on ideoita?

 

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2386
Samuli
Spanish Inquisitor Jr

Terve, tuo tehtävässä annettu ehto (boldattuna) merkitsee sitä, että massan m kiihtyvyys s'' = 0 ja siten massaan m vaikuttavien voimien summa F on = 0, eli:

F = ms'' = -ks-mg + H = 0,

Kiitos. Siis unohdin painovoiman. Järkeenkäyvää. Mutta nyt, jos jatkan tällä idealla, että kohdassa x pätee H = kx + mg, niin saan fyysikon tekemäksi työksi

W = ∫(0:sta s:ään) (kx + mg) dx = ½ ks² + mgs.

Tämän, kun sijoitan yhtälöön ½ ks² + mgs = W, saan vain epäinformatiivisesti 0 = 0. Öh. Vieläkö jollakin on ideoita?

Tuota, niin sun pitääkin saada. Kappaleen liike-energian muutos ΔK on aina kappaleeseen vaikuttavien voimien summan F tekemä työ W_kok, siis, W_kok=ΔK. Koska F=0, on myös W_kok = 0 ja ΔK=0.

Voiman H tekemä työ =W

Voimien -kx ja -mg tekemä työ yhteensä = -W

Kokonaistyö:

W_tot = W + (-W) = 0, kuten pitääkin. Siirtämällä termejä tässä, saat tämän epäinformatiivisen tuloksen W= W tai 0=0.

Yrität mielestäni perustella energiaperiaatteella jotain, jota et voi perustella energiaperiaatteella.

Ongelma syntyy siitä, että haluat pitää tämän "hitaan siirtymisen" voimassa, se vaatimus synnyttää tämän voiman H. Laske mitä tapahtuu, kun annat jousen puristua kokoon vapaasti, silloin energiaperiaate toimii haluamallasi tavalla. EDIT: tämä metodi johtaa siihen että m liikkuu ääriasentojen x=0 ja x = -2gm/k harmonisesti, eli piste x= -gm/k ei siis ole tsapainopiste.

LISÄYS:

Tuo "hidas siirtyminen" on ongelmallinen koska silloin ΔK= K(lopussa)-K(alussa) = 0.

-K(alussa) = K(lopussa), jos K ei ole nolla, siis kpl:n nopeus vakio, eli se ei pysähdy lopussa, vaan jatkaa eteenpäin ja jos K=0, kappaleen nopeus on = 0, joten se ei voi siirtyä alkuasemasta loppuasemaan.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

JPI
Seuraa 
Viestejä26804
Spanish Inquisitor Jr

LISÄYS:

Tuo "hidas siirtyminen" on ongelmallinen koska silloin ΔK= K(lopussa)-K(alussa) = 0.

-K(alussa) = K(lopussa), jos K ei ole nolla, siis kpl:n nopeus vakio, eli se ei pysähdy lopussa, vaan jatkaa eteenpäin ja jos K=0, kappaleen nopeus on = 0, joten se ei voi siirtyä alkuasemasta loppuasemaan.

Siis tehtävässä lauseen osa "Jousen päälle asetetaan massa m, jota lasketaan hyvin hitaasti, koko ajan massaa käsin tukien alaspäin...."  on täysin terpeeton kysymyksen kannalta, sillä tehtävän olisi voinut muotoilla: Puristuneen jousen jousivakio on k ja sen  päällä lepää liikkumaton  (vakiokorkeudella) massa  m, kuinka paljon jousi on puristunut kasaan?

Kysyjä ilmeisesti yritti tuolla em. lisäyksellä tähdentää sitä, että tehtävä lasketaan juuri tuossa tasapainotilanteessa. missä juosen pituus on vakio

3³+4³+5³=6³

Samuli
Seuraa 
Viestejä10

No niin, pakko minun on ilmeisesti uskoa, ettei energiaperiaate auta tuon tehtävän ratkaisussa. Tuo Chabayn & Sherwoodin kirja on houkutellut ajattelemaan, että impulssi- ja energiaperiaatteilla voi ratkaista melkein minkä tahansa probleeman. Hyvä, että tässä nyt tuli vastaesimerkki.

Kiitos avusta kaikille!

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat