Seuraa 
Viestejä4

Hei miten saisin laskettua kuljetun matkan lineaarisesti kasvavasta kiihtyvyydestä käyttämättä valmiita integroimissääntöjä apuna. Haluaisin siis löytää matkalle yhtälön

s(t)= s0 + v(0)*t + (1/2)a*t^2 + (1/6)*J*t^3, missä J=vakio

Ongelma etten saa mitenkään viimeisen termin 6:sta jakajaksi, vaan päädyn aina 4:ään jakoviivan alle. 4 johtuu siitä että lasken kiihtyvyydelle keskiarvon ((alku+loppu) /2) ja myöhemmin muuttuvalle nopeudelle sama juttu.

Tämä on kuitenkin väärin ja normaalisti integroimalla käyttäen potenssin integroimissääntöjä saankin oikean vastauksen.

 

Esimerkiksi

Kiihtyvyys kasvaa lineaarisesti kulmakertoimella 1, a(0)=0

a(t) = t

Keskimääräinen kiihtyvyys välillä 0...t on

ak=(a(0)+a(t))/2 = t/2

 

Nopeus hetkellä t, kun v(0)=0

v(t)=ak*t= (t/2)*t=(t^2)/2

Keskiarvo nopeudelle välillä 0...t

vk=(0+v(t)) / 2 = (t^2)/4

 

ja lopulta matka s(t)=vk*t = (t^3)/4 joka on väärin.

 

Kokeilin ratkaisua pienissä palasissa mutten saanut ratkaistua

s(t) = s(0)+v(0)*dt + v(1dt)*dt

tämä vastaakin integrointia mutta ideana olisi löytää ratkaisu käyttämättä valmista potenssin integroimissääntöä(korota potenssi yhdellä ja jaa termi potenssin asteella)

 

Kiitos avusta

Kommentit (5)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31264
jaska jokunen
Ongelma etten saa mitenkään viimeisen termin 6:sta jakajaksi, vaan päädyn aina 4:ään jakoviivan alle. 4 johtuu siitä että lasken kiihtyvyydelle keskiarvon ((alku+loppu) /2) ja myöhemmin muuttuvalle nopeudelle sama juttu.

 

Tuo (alku+loppu)/2  olettaa, että muutos on lineaarinen. Mutta jos kiihtyvyys muuttuu, nopeus muuttuu epälineaarisesti.

PPo
Seuraa 
Viestejä13924
jaska jokunen

Hei miten saisin laskettua kuljetun matkan lineaarisesti kasvavasta kiihtyvyydestä käyttämättä valmiita integroimissääntöjä apuna. Haluaisin siis löytää matkalle yhtälön

s(t)= s0 + v(0)*t + (1/2)a*t^2 + (1/6)*J*t^3, missä J=vakio

Ongelma etten saa mitenkään viimeisen termin 6:sta jakajaksi, vaan päädyn aina 4:ään jakoviivan alle. 4 johtuu siitä että lasken kiihtyvyydelle keskiarvon ((alku+loppu) /2) ja myöhemmin muuttuvalle nopeudelle sama juttu.

Tämä on kuitenkin väärin ja normaalisti integroimalla käyttäen potenssin integroimissääntöjä saankin oikean vastauksen.

 

Esimerkiksi

Kiihtyvyys kasvaa lineaarisesti kulmakertoimella 1, a(0)=0

a(t) = t

Keskimääräinen kiihtyvyys välillä 0...t on

ak=(a(0)+a(t))/2 = t/2

 

Nopeus hetkellä t, kun v(0)=0

v(t)=ak*t= (t/2)*t=(t^2)/2

Keskiarvo nopeudelle välillä 0...t

vk=(0+v(t)) / 2 = (t^2)/4

 

ja lopulta matka s(t)=vk*t = (t^3)/4 joka on väärin.

 

Kokeilin ratkaisua pienissä palasissa mutten saanut ratkaistua

s(t) = s(0)+v(0)*dt + v(1dt)*dt

tämä vastaakin integrointia mutta ideana olisi löytää ratkaisu käyttämättä valmista potenssin integroimissääntöä(korota potenssi yhdellä ja jaa termi potenssin asteella)

 

Kiitos avusta

Boldattu ei ole oikein koska v ei kasva linearisesti.

Nyt keskinopeus pitää laskea kaavalla vk =∫vdt/∫dt

Tähän kaavaan päädyt, kun muodostat keskinopeuden lausekkeen, kun jaat ajan osiin (Δt) ja tutkit mitä tapahtuu lausekkeelle, kun Δt→0

 

 

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
käyttäjä-7500
Seuraa 
Viestejä4

Kiitos Jaska, oikeinhan se meni!

Maclaurinin sarjassa f(x) = f(0) + f´(0)x + (1/2)f´´(0)x^2 + (1/6)f´´´(0)´x^3 +...

esiintyvät luvut jakoviivan alapuolella 1,2,3*2,...n!

Löytyyköhän näiden ajattelemiseksi muuta, ehkä enemmän intuitiivista tapaa, kuin perinteinen selitys integroinnin ja derivoinnin potenssisäännöistä? Esimerkiksi tuo x^3 kun derivoidaan kahdesti niin saadaan 6x jolloin tuo 1/6 on tavallaan kumoamassa 6:n. Tämä ei kuitenkaan ole samalla tapaan tyydyttävä selitys kuin esim. tuon toisen derivaatan kanssa missä 1/2 kertoo aiemmin mainitsemastani keskiarvon ottamisesta.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
jaska jokunen

Kiitos Jaska, oikeinhan se meni!

Maclaurinin sarjassa f(x) = f(0) + f´(0)x + (1/2)f´´(0)x^2 + (1/6)f´´´(0)´x^3 +...

esiintyvät luvut jakoviivan alapuolella 1,2,3*2,...n!

Löytyyköhän näiden ajattelemiseksi muuta, ehkä enemmän intuitiivista tapaa, kuin perinteinen selitys integroinnin ja derivoinnin potenssisäännöistä? Esimerkiksi tuo x^3 kun derivoidaan kahdesti niin saadaan 6x jolloin tuo 1/6 on tavallaan kumoamassa 6:n. Tämä ei kuitenkaan ole samalla tapaan tyydyttävä selitys kuin esim. tuon toisen derivaatan kanssa missä 1/2 kertoo aiemmin mainitsemastani keskiarvon ottamisesta.

Kyllä tässä taitaa derivointia tarvita.

Ajattele, että olet voinut kehittää funktin f(x) potenssisarjaksi

f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 +...

joka suppenee kun l x l < R.

Voit derivoida tätä sarjaa termeittäin ja näin saat

f(0) = a0

f'(0) = a1   f''(0) = 2 a2    f'''(0) = 3 · 2 a3   f''''(0) = 4 · 3 · 2 a4 .... f:n n:s derivaatta pisteessä x = 0  on siis  n! · an

Joten siis f(x) = f(0) + f'(0) x + 1/2! f''(0) x^2 + 1/3! x^3 + . . 

Perinpohjainen esitys, mistä Taylorin kehitelmä ja sitten Taylorin sarja saadaan lähtisi Lagrangen interpolaatiokaavasta, mutta en nyt rupea koko juttua esittämään.

Maclaurinin kehitelmä on erikoistapaus Taylorista.

Ohman 

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat