Muutosnopeuden muutosnopeuden muutosnopeus
Muutosnopeuden muutosnopeuden muutosnopeus
Hei miten saisin laskettua kuljetun matkan lineaarisesti kasvavasta kiihtyvyydestä käyttämättä valmiita integroimissääntöjä apuna. Haluaisin siis löytää matkalle yhtälön
s(t)= s0 + v(0)*t + (1/2)a*t^2 + (1/6)*J*t^3, missä J=vakio
Ongelma etten saa mitenkään viimeisen termin 6:sta jakajaksi, vaan päädyn aina 4:ään jakoviivan alle. 4 johtuu siitä että lasken kiihtyvyydelle keskiarvon ((alku+loppu) /2) ja myöhemmin muuttuvalle nopeudelle sama juttu.
Tämä on kuitenkin väärin ja normaalisti integroimalla käyttäen potenssin integroimissääntöjä saankin oikean vastauksen.
Esimerkiksi
Kiihtyvyys kasvaa lineaarisesti kulmakertoimella 1, a(0)=0
a(t) = t
Keskimääräinen kiihtyvyys välillä 0...t on
ak=(a(0)+a(t))/2 = t/2
Nopeus hetkellä t, kun v(0)=0
v(t)=ak*t= (t/2)*t=(t^2)/2
Keskiarvo nopeudelle välillä 0...t
vk=(0+v(t)) / 2 = (t^2)/4
ja lopulta matka s(t)=vk*t = (t^3)/4 joka on väärin.
Kokeilin ratkaisua pienissä palasissa mutten saanut ratkaistua
s(t) = s(0)+v(0)*dt + v(1dt)*dt
tämä vastaakin integrointia mutta ideana olisi löytää ratkaisu käyttämättä valmista potenssin integroimissääntöä(korota potenssi yhdellä ja jaa termi potenssin asteella)
Kiitos avusta
Tuo (alku+loppu)/2 olettaa, että muutos on lineaarinen. Mutta jos kiihtyvyys muuttuu, nopeus muuttuu epälineaarisesti.
Nyt keskinopeus pitää laskea kaavalla vk =∫vdt/∫dt
Tähän kaavaan päädyt, kun muodostat keskinopeuden lausekkeen, kun jaat ajan osiin (Δt) ja tutkit mitä tapahtuu lausekkeelle, kun Δt→0
Kiitos Jaska, oikeinhan se meni!
Maclaurinin sarjassa f(x) = f(0) + f´(0)x + (1/2)f´´(0)x^2 + (1/6)f´´´(0)´x^3 +...
esiintyvät luvut jakoviivan alapuolella 1,2,3*2,...n!
Löytyyköhän näiden ajattelemiseksi muuta, ehkä enemmän intuitiivista tapaa, kuin perinteinen selitys integroinnin ja derivoinnin potenssisäännöistä? Esimerkiksi tuo x^3 kun derivoidaan kahdesti niin saadaan 6x jolloin tuo 1/6 on tavallaan kumoamassa 6:n. Tämä ei kuitenkaan ole samalla tapaan tyydyttävä selitys kuin esim. tuon toisen derivaatan kanssa missä 1/2 kertoo aiemmin mainitsemastani keskiarvon ottamisesta.
Korjaus edelliseen, kiitos PPo :) Ajatusvirhe
Kyllä tässä taitaa derivointia tarvita.
Ajattele, että olet voinut kehittää funktin f(x) potenssisarjaksi
f(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 +...
joka suppenee kun l x l < R.
Voit derivoida tätä sarjaa termeittäin ja näin saat
f(0) = a0
f'(0) = a1 f''(0) = 2 a2 f'''(0) = 3 · 2 a3 f''''(0) = 4 · 3 · 2 a4 .... f:n n:s derivaatta pisteessä x = 0 on siis n! · an
Joten siis f(x) = f(0) + f'(0) x + 1/2! f''(0) x^2 + 1/3! x^3 + . .
Perinpohjainen esitys, mistä Taylorin kehitelmä ja sitten Taylorin sarja saadaan lähtisi Lagrangen interpolaatiokaavasta, mutta en nyt rupea koko juttua esittämään.
Maclaurinin kehitelmä on erikoistapaus Taylorista.
Ohman