Visuaalisesti matematiikkaa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kertokaapa mitä ja mistä löytyy matematiikan visualisoituja opetus- ja harjoitusjuttuja, joista lapsi voisi päästä paremmin jyvälle matematiikan systeemeistä ja oppia ne helpommin.
Kertotauluhan löytyy ruudukkona ja kolmioilla saa esitettyä visuaalisesti neliöiden idean. Mitä muuta löytyy?

Kommentit (9)

Vierailija

En tiedä mistä löytyy mutta olen itse joskus käyttänyt paljonkin yksinkertaisia geometrisia kuvioita visualisoimaan matemaattisia riippuvuuksia, esim. vastusten rinnankytkentä:

Suorakulmaisilla kolmioilla voi visualisoida monia matemaattisesta aika hankalia lausekkeita. Kuvioista on sitten helppo palauttaa mieleen matemaattisest kaavat.

Vierailija
korant

Suorakulmaisilla kolmioilla voi visualisoida monia matemaattisesta aika hankalia lausekkeita. Kuvioista on sitten helppo palauttaa mieleen matemaattisest kaavat.




Tuohan on kätevä esitys. Johdetaanko laskukaava jotenkin tuosta kuvasta?

Vierailija
Lyde
Tuohan on kätevä esitys. Johdetaanko laskukaava jotenkin tuosta kuvasta?



Luultavasti ei.. Tuon kaavan päättelisin ainakin itse niin, että rinnan kytkettyjen vastusten R_1 , ... , R_n yli on sama jännite eli Ohmin lain mukaan U = R_1 * I_1 = ... = R_n * I_n. Systeemin läpi kulkevaksi virraksi saadaan siten

I = I_1 + ... + I_n = U * [(R_1)^-1 + ... + (R_n)^-1]

Tuosta voidaan sitten päätellä, että kokonaisresistanssin R täytyy olla muotoa

R^-1 = (R_1)^-1 + ... + (R_n)^-1

Kun n=2 ja otetaan käänteisluku, niin saadaan tuo korantin viestissä oleva esitys.

Vierailija
Lyde
Tuohan on kätevä esitys. Johdetaanko laskukaava jotenkin tuosta kuvasta?

Ei kaavaa siitä kuviosta yleensä johdeta mutta voi sen johtaa yhdenmuotoisten kolmioiden avulla. Käänteisarvojen käyttö on kätevämpi laskutapa varsinkin jos vastuksia on useampia kuin kaksi.

Tässä vielä esimerkki impedanssin sarja- ja rinnakkaiskomponenttien visualisoinnista suorakulmaisen kolmion avulla.

Vierailija

Kun olin kerran opetusharjoittelussa, niin ohjaavaopettaja sekä toinen opetusharjoittelija "havainnollistivat" murtolukujen summa-, kerto- ja jakolaskua joidenkin ihmeellisten sektoreiksi jaettujen ympyröiden avulla. En tiedä ymmärsivätkö henkiöt itsekään mitä olivat tekemässä, mutta tulos oli täydellinen pedagokinen katastrofi!

Perus aritmetiikan ja algebran oppii vain katsomalla mallia ja laskemalla tehtäviä!

Esim. laskusäännöt:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ja a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Kannattaa suosiolla opetella ensin ulkoa ja vasta sitten lähteä pohtimaan visuaalisempi merkityksiä.

Monen ala- ja yläasteelaisen päätä sekoitetaan ihmeellisillä havainnollistuksilla, vaikka laskento opittaisiinkin helposti mallista ja teoriasta.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
half-life
Perus aritmetiikan ja algebran oppii vain katsomalla mallia ja laskemalla tehtäviä!

Esim. laskusäännöt:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ja a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Kannattaa suosiolla opetella ensin ulkoa ja vasta sitten lähteä pohtimaan visuaalisempi merkityksiä.

Monen ala- ja yläasteelaisen päätä sekoitetaan ihmeellisillä havainnollistuksilla, vaikka laskento opittaisiinkin helposti mallista ja teoriasta.




Olen samaa mieltä että perusaritmetiikka tulee tutuksi esimerkein ja harjoituksin. Mutta oppimistyylejä on monia. Ulkoa opettelu voi olla joillekin se hankalampi tie, ja ne käsittämättömät havainnollistukset pysyvän muistin tuki.

Itse vierastin matematiikan suhteen kaikkea ulkoa opettelua peruskoulussa. (ja köh, siksi en vieläkään muista kertotaulua ulkoa) Asian ymmärtämisen jälkeen asiat sujui ja jäi sen tien pysyvään muistiin, mutta mystiset laskureseptit vain aiheuttivan "mitä hittoa, miten niin, miksi?"-tunteen. Siksi toisinaan tunsin matematiikan tunneilla turhaan aivan pihalla yrittäessäni ymmärtää asian jota ei varsinaisesti yritettykään selittää. En tässä tarkoita varsinaisesti visuaalista havainnollistusta, vaan jonkin keinon ymmärtää mistä on kysymys. Verrantojen ristiinkerronta, yhtälön termien "siirtely" toiselle puolelle jne. kuuluvat niihin asioihin, jotka on minusta oikeasti helpompi oppia ymmärtämällä mitä niissä tehdään, eikä ihmettelemällä ja opettelemalla mystiikkaa ulkoa. Opeteltavaa ei ole ehkä näissä paljoa, mutta jos se on vaan ulkoa opettelun varassa, niin sen käyttäminen myöhemmin ilman lunttausta voi olla hankalaa, toisin kuin jos sen voi aina ymmärryksen kautta ottaa käyttöön. Itse tuskailin aikani näiden esimerkkien kanssa, ja kun sain sitten selityksen, niin ihmettelin vain että miksi opettaja ei voinut sitten sanoa sitä miten asia on.

Nuokin antamasi laskusäännöt ovat oikeastaan turhia opetella ulkoa, kun riittäisi opetella yleisesti laskemaan sulkeet auki, jolloin nuo säännöt tulevat sitten automaattisesti muistin pettäessä.

En kiellä etteikö vaikkapa lukion kursseja ajatellen nuokin säännöt olisi tietysti hyvä opetella tunnistamaan, jotta voi jippoilla lausekkeita sopivampiin muotoihin helpommin. Laskurutiini on osittain aiemmin nähtyjen tilanteiden ja lausekkeiden tunnistamista, mutta hieman epävarman muistikuvan tarkistamisen itse johtamalla varmasti auttaa muistamaan paremmin kuin joka kerta erikseen jostain kirjasta tarkistamalla. (tai siis ainakin minulla on näin)

Ja aiheeseen palatakseni moni asia voi olla ymmärrettävämpi visuaalisena kuvana, mutta ylipäätään jonkin tason ymmärtäminen, muukin kuin visuaalinen, auttaa soveltamisessa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
korant

Tässä vielä esimerkki impedanssin sarja- ja rinnakkaiskomponenttien visualisoinnista suorakulmaisen kolmion avulla.



No mitäs tuo oikein kuvaa? Rs, Xs ja Z nyt on selviä mutta mitäs nuo muut?

Vierailija
Lyde
No mitäs tuo oikein kuvaa? Rs, Xs ja Z nyt on selviä mutta mitäs nuo muut?
Kieltämättä kuvan viereen olisi kaivattu pientä selvitystä mutta laiskuus taas pääsi voitolle.

Impedanssi Z voidaan siis jakaa sarjakomponentteihin Rs ja Xs tai rinnakkaiskomponentteihin Rp ja Xp

Ne voidaan esittää kyseisen kuvion avulla ja siitä on johdettavissa muunnoskaavat:

Rs = Z·cosj Rp = Z/cosj Xs = Z·sinj Xp = Z/sinj

Rs·Rp = Xs·Xp = Z² = Rs² + Xs² = 1/(1/Rp² + 1/Xp²)

j tarkoittaa vaihekulmaa fii (kuinkahan sen fiin tänne lätkäisee?)

Vastaavasti jos suorakulmaisen kolmion kateetit edustavat resistanssia ja reaktanssia, hypotenuusa on niiden sarjakytkentää vastaava impedanssi ja korkeusjana taas rinnankytkentää vastaava impedanssi.

Saw
Seuraa 
Viestejä6251
Liittynyt20.6.2009

Yksi avittava tekijä matematiikan aloittelussa on opetella kreikan aakkosto. Ei tule epäselvyyksiä mikä onkaan se koukero.

Young man, there's a place you can go.
I said, young man, when you're short on your dough.
You can stay there, and I'm sure you will find
Many ways to have a good time.

It's fun to stay at the Y.M.C.A.
It's fun to stay at the Y.M.C.A.

Uusimmat

Suosituimmat