Seuraa 
Viestejä45973

Sen mitä itse olen asiaan perehtynyt niin kompleksilukujoukko on käsittääkseni ns. suurin lukujoukko mitä on koska se sisältää kaikkien polynomiyhtälöiden ratkaisut. Kysyn siis nyt onko kompleksilukujoukko se kaikista suurin lukujoukko mitä on vai tarvitaanko joidenkin matematiikan tulosten selittämiseen vielä isompaa joukkoa?

Kysymys toisin asetettuna: Jos reaalilukujoukkoa kuvaa x-akseli, niin kompleksilukujoukko on xy-taso. Mikä on z-akseli vai onko sellaiselle ylipäätään tarvetta?

  • ylös 0
  • alas 0

Sivut

Kommentit (21)

Ei ole kompleksilukujoukkoa laajempaa lukujoukkoa. Kaikessa tähänastisessa matematiikassa ja fysiikassa kompleksitaso riittää laskuihin ja tuloksiin. (Fysiikassa harvemmin kompleksisia tuloksia tosin.)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Zeick
Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus, mutta ne ovat nykyisin käytännössä tarpeettomia vektoreiden syrjäytettyä ne.



Käsittääkseni kvaterniot ovat erittäinkin käytännöllisiä ja käytettyjä vempaimia eritoten 3d-grafiikassa, peliteollisuudessa yms. En ole koskaan kokeillut, mutta käsittääkseni kvaternioiden avulla voidaan sangen kompaktilla tavalla ilmaista sama informaatio kuin 4x4 homogeenisella matriisilla, ts. kvaternionin avulla voidaan ilmaista esm. kappaleen paikka ja orientaatio 3d-avaruudessa. Lisäksi - edelleen olettaen että olen ymmärtänyt asian oikein - kvaternioiden interpolaatiolla voidaan kätevästi animoida kappaleiden liikettä ja orientaatiota 3d-avaruudessa (mikä ei onnistu järkevästi matriisien avulla).

Zeick
Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus, mutta ne ovat nykyisin käytännössä tarpeettomia vektoreiden syrjäytettyä ne.

Ja oktoniot ovat kvaternioiden laajennus ja sedeniot oktonioiden laajennus.

Capax
Kysyn siis nyt onko kompleksilukujoukko se kaikista suurin lukujoukko mitä on vai tarvitaanko joidenkin matematiikan tulosten selittämiseen vielä isompaa joukkoa?

Välttämättömyydestä en tiedä, mutta näppärää on välillä käyttää jollain tavalla laajennettua reaalilukujoukkoa. Yksinkertaisin tapa laajentaa reaalilukujoukkoa on lisätä siihen alkioksi ääretön tai vaihtoehtoisesti plus ja miinus ääretön. Jos taas yhdenkokoinen äärettömyys ei riitä, voidaan luonnolliset luvut laajentaa ordinaali- tai kardinaaliluvuiksi. Ja on noita erilaisia laajennuksia varmaan vaikka ja mitä, mutta tuommoisia nyt äkkiseltään tuli mieleen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä986
Capax
Sen mitä itse olen asiaan perehtynyt niin kompleksilukujoukko on käsittääkseni ns. suurin lukujoukko mitä on koska se sisältää kaikkien polynomiyhtälöiden ratkaisut.

Tarkennus, kompleksikertoimisten polynomiyhtälöiden ratkaisut.

Itse kysymykseen voisi vastata, että mikä on luvun määritelmä? Kompleksilukuja voidaan ajatella tason vektoreina, ja lineaarialgebrassa voidaan tutkia useampiulotteisia avaruuksia, joille R^2 on tämän avaruuden aito osajoukko. Kyllähän R^3:n vektoreitakin voidaan pitää lukuina, mutta vektori on tavallisempi käsite. Minä en tiedä luvun täsmällistä määritelmää.

Lisäksi esimerkiksi äärettömälle voidaan sopia laskusääntöjä, vaikka ääretön ei olekaan kompleksiluku. Mutta kompleksiluvut muodostavat pienimmän reaaliluvut sisältävän algebrallisesti suljetun kunnan.

Kun googlasin noita kardinaalilukuja sain tietää että on olemassa vaikka mitä muita esim. transfiniittiset ordinaalit ja kardinaalit, surreaaliset ja hyperreaaliset luvut, saavuttamattomat, hypersaavuttamattomat ja superhypersaavuttamattomat kardinaaliluvut eli Mahlo-kardinaaliluvut, kuvailemattomat kardinaaliluvut, jakokardinaaliluvut, Ramsey-kardinaaliluvut, mitalliset kardinaaliluvut, vahvasti kompaktit ja superkompaktit kardinaaliluvut sekä laajennettavat kardinaaliluvut.

Menee pää sekaisin näiden kanssa. Onko näillä jotain käyttöä vai onko joku vain keksinyt että "hei, tässä voisi olla taas jotain uusia lukuja ja ne määritellään näin...".

Capax
Menee pää sekaisin näiden kanssa. Onko näillä jotain käyttöä vai onko joku vain keksinyt että "hei, tässä voisi olla taas jotain uusia lukuja ja ne määritellään näin...".

Puoliakaan noista listasi luvuista en ole joutunut käsittelemään, niin menee ehkä vähän mutuilun puolelle. Käsittääkseni hyperreaalilukuja voidaan käyttää, kun kehitellään differentiaalilaskentaa. Tämä ei tosin ole se yleisin lähestymistapa ja teoria saadaan kasaan ilman näitäkin.

Kardinaalilukuja taas käytetään, kun vertaillaan joukkojen keskinäistä mahtavuutta (eli sitä, miten paljon alkioita joukossa on). Jos joukko on äärellinen, olkoon siinä vaikka n alkiota, niin sitä vastaa kardinaaliluku n. Jos joukko ei ole äärellinen, niin tilanne on hieman monimutkaisempi. Pienimmäksi äärettömyydeksi otetaan kardinaaliluku aalef-nolla, joka vastaa luonnollisten lukujen N kardinaliteettia. Jos myös joukko X on ääretön ja voidaan määritellä bijektiivinen kuvaus (siis 1-1-vastaavuus) X -> N, niin myös joukon X kardinaliteetti on aalef-nolla. Esimerkiksi kokonaislukujen ja rationaalilukujen kardinaliteetti on aalef-nolla, vaikka äkkiseltään tuntuisi, että rationaalilukuja on hurjan paljon enemmän kuin luonnollisia lukuja. Jos tuota bijektiivistä kuvausta ei voida määritellä, on äärettömän joukon kardinaliteetti suurempi kuin aalef-nolla.

Kompleksiluvut muodostavat lukukunnan, joka on algebrallinen rakenne jossa on määritelty kahden luvun summa (plus-lasku) ja tulo (kertolasku). Näille laskutoimituksilla voidaan myös taata, että "normaalit" lukiosta tutut laskulait pätevät. Siis esimerkiksi

a+b = b+a (summan kommutatiivisuus)
a*(b+c) = a*b + a*c (osittelulaki)
a*b = b*a (tulon kommutatiivisuus)

ja niin edelleen.

Vektoriavaruuteen R^2 tai R^3 (tai R^n) ei yleensä liitetä kertolaskua. Kvaterniot ovat vektorirakenteeltaan samanlainen kuin R^4, eli neliulotteinen vektoriavaruus. Kvaternioille voidaan myös määritellä kertolasku, mutta tälle kertolaskulle ei saadakaan normaaleja laskulakeja pätemään. Kvaternioille ei voida määritellä esimerkiksi kommutatiivista kertolaskua rikkomatta taas jotain muuta tuttua sääntöä. Siis a*b != b*a joillekin kvaternioille a ja b. Tästä seuraa hassulta tuntuvia tuloksia (*).

Mikäli luvun käsite määritellään siten, että normaalit tutut laskulait pätevät, ei kvaternioita tällöin voida ajatella "luvuiksi".

(*) (Wikipediasta): "The non-commutativity of multiplication has some unexpected consequences, among them that polynomial equations over the quaternions can have more distinct solutions than the degree of the polynomial. The equation z^2 + 1 = 0, for instance, has infinitely many quaternion solution [...]."

sampsa
Mikäli luvun käsite määritellään siten, että normaalit tutut laskulait pätevät, ei kvaternioita tällöin voida ajatella "luvuiksi".

Niin, mutta missä se raja sitten menee? Kunta ainakin on liian kova vaatimus, kun kokonaisluvutkaan eivät sitä muodosta. Toisaalta luonnollisilla luvuilla ei tavanomaisilla operaatioilla varustettuna saada aikaiseksi edes ryhmää että sepä siitä. Ja entäs sitten muut algebralliset rakenteet, jotka täyttävät "luvun" ominaisuudet? Lasketaanko mielivaltaiseisessa vektoriavaruudessa V määritellyn operaattorin A: V -> V määrämä kommutatiivinen operaattorialgebra lukujoukoksi? Sillä ainakin olisi jo kovasti "luvun" ominaisuuksia.

Onko luvulle olemassa jokin täsmällinen määritelmä?

kurnimaha
Onko luvulle olemassa jokin täsmällinen määritelmä?

En ole lukuteoreetikko, mutta en ole koskaan nähnyt mitään yritystä antaa luvuilla mitään täsmällistä määritelmää. Ja aika turhaa se on. Itse pidän hyvänä nyrkkisääntönä, että jos joukon saa jonkinlaisilla luontaisilla algebrallisilla tai topologisella laajennuksilla luonnollisista luvuista, niin se on lukujoukko. Mutta sitten jätän hiusten pilkkomisen ja en rupea sen enempää arvailemaan minkälainen on tuo "jonkinlainen luontainen algebrallinen tai topologinen laajennus".

pöhl
Seuraa 
Viestejä986
sampsa
Kompleksiluvut muodostavat lukukunnan

Ei taatusti muodosta! Lukukunnat ovat numeroituvia, mutta kompleksilukujen kunta on ylinumeroituva.

pöhl
Seuraa 
Viestejä986

Mutta kyse olikin lukukunnista. Lukukunnat ovat numeroituvia. Kompleksiluvut ovat esimerkki kunnasta, joka on ylinumeroituva, joten kompleksilukujen kunta ei ole lukukunta.

Hei,
lukukunta ja kunta ovat kaksi eri asiaa. Lukukunta on rationaalilukujen kunnan Q äärellinen laajennus.

Esimerkki:

Tunnetusti sqrt(2) ei ole murtoluku, joten se ei kuulu rationaalilukujen kuntaan Q. Luvut, jotka ovat muotoa:

r=a+b*sqrt(2) (a ja b rationaalilukuja)

muodostavat myös kunnan. Tämän voi todeta käymällä läpi kunta-aksioomat. Saatu uusi kunta on pienin mahdollinen kunta joka sisältää sekä rationaaliluvut Q ja luvun sqrt(2). Kunnalle käytetään merkintää Q(sqrt(2)).

Jargon:

-Uusi kunta Q(sqrt(2)) on kunnan Q laajennus, koska se on laajempi kuin alkuperäinen kunta Q.
-Laajennus on äärellinen, koska vaadittiin kuntalaajennuksen sisältävän luvun sqrt(2), yksi ehto - äärellinen määrä ehtoja siis.

Voi myös halutessaan ajatella analogisesti kompleksilukujen z=a+bi geometrisen tulkinnan mukaisesti että luvut a+b*sqrt(2), muodostavat vektorin tai lukuparin (a,b) jonka komponentit ovat rationaalilukuja a ja b ja kantana luvut 1 ja sqrt(2). Tässä esityksessä rationaaliluvut Q ovat muotoa (a,0). Siis alkuperäinen kunta on tulkittavissa yksiulotteisena ja laajennettu kunta kaksiulotteisena. Jos yleisessä kuntalaajennuksessa laajennetun kunnan dimensio on äärellinen on kuntalaajennus äärellinen tai finiittinen.

Pahoitteluni aiheen sekoittamisesta. En tiennyt käsitteestä nimeltä lukukunta. En vain halunnut käyttää pelkkää sanaa "kunta", kun se ei tarkoita asiasta tietämättömän korvaan mitään.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473

Mitenkäs kompleksiavaruudet? Onko laajemmin kehitetty tai hyödynnetty käytännössä tai matematiikan tutkimuksessa eksoottisempia kompleksisia lukuavaruuksia, kuin tämä perus-kaksdee reaali- ja imaginääriakseleineen? Että esimerkiksi olisi useampia kompleksiakseleita tai olisi kyseessä epäeuklidinen kompleksiavaruus.
Onko muita laajennuksia, joissa reaaliluvuilla määrittelemättömät toimenpiteet ovat arkipäivää? Huonona esimerkkinä jonkinlainen nollalla-saa-jakaa-akseli eksoottiseen kompleksiavaruuteen. Näissä tosin varmaan olisivat eri akselien aksioomat sen verran ristiriidassa, että lukuavaruudessa ei olisi mitään järkeä.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
petsku
Mitenkäs kompleksiavaruudet? Onko laajemmin kehitetty tai hyödynnetty käytännössä tai matematiikan tutkimuksessa eksoottisempia kompleksisia lukuavaruuksia, kuin tämä perus-kaksdee reaali- ja imaginääriakseleineen?

Kompleksisia avaruuksia käytetään mm. Fourier-analyysissä ja kvanttiteoriassa.

Hei,

petsku
Mitenkäs kompleksiavaruudet? Onko laajemmin kehitetty tai hyödynnetty käytännössä tai matematiikan tutkimuksessa eksoottisempia kompleksisia lukuavaruuksia, kuin tämä perus-kaksdee reaali- ja imaginääriakseleineen? Että esimerkiksi olisi useampia kompleksiakseleita tai olisi kyseessä epäeuklidinen kompleksiavaruus.

kyllä näitä löytyy yllin kyllin, jos vain vaadittavista ominaisuuksista tingitään. Tinkiminen on tässä tapauksessa välttämätöntä, sillä voidaan todistaa että joukolle K, jossa on voimassa kaikki reaali-tai kompleksilukujen algebralliset laskusäännöt, pätee seuraava:
K on kompleksilukujen alikunta tai maksimissaan itse kompleksilukujen kunta. Hieman tarkemmin ilmaistuna tämä joukko K on isomorfinen tämän kompleksilukujen alikunnan kanssa. Täm pitää sisällään että K on korkeintaan kaksiulotteinen (tällä tarkoitan, kaksi reaalista dimensiota)

Jos joistain näistä reaalilukujen algebrallisista ominaisuuksista luovutaan, saadaan lukujärjestelmiä, joiden dimensio on suurempi kuin 2, esimerkkinä ketjussa aikaisemmin mainitut kvaterniot, jotka saadaan luopumalla vaatimuksesta ab=ba.

Yleisemminkin matematiikassa voidaan kompleksiluvuilla tehdä lähes samoja asioita kuin reaaliluvuilla esimerkiksi määritellä kompleksisia vektoriavaruuksia, esimerkiksi kolmiulotteisen vektoriavaruuden sijasta, jonka alkioina ovat reaalilukukolmikot (a,b,c), voidaan määritellä kompleksilukukolmikoiden (z1,z2,z3) muodostama vektoriavaruus. Näitä kompleksivektoreita lasketaan yhteen komponenteittain, joten vektorien yhteenlasku on helppo määritellä.

Ongelmalliseksi muodostuu kuitenkin sopivan kertolaskun määritteleminen, joka olisi sopusoinnussa vaadittavien reaalilukujen kaltaisten laskusääntöjen kanssa. Tämä koskee sekä reaaliluvuista muodostettuja vektoreita sekä kompleksiluvuista muodostettuja vektoreita. Tätä ongelmaa ei voi poistaa, sillä yllämainittu tulos sanoo että tälläistä kertolaskua ei ole olemassa.

Epäeuklidinen geometria kompleksiluvuilla onnistuu myös, tällöin matemaatikot tutkivat kompleksimonistoja. (complex manifold in English). Idea on lyhykäisyydessään se että, jos esimerkiksi pallolle käytetään kahta reaalikoordinaattia ilmaisemaan pallon pisteitä (koordinaatteina esim. pituus-ja leveypiirit), voidaan käyttää samaan tarkoitukseen vain yhtä kompleksilukua koordinaattina.

Tästä perusideasta voidaan kehittää laaja teoria, jossa tutkitaan moniulotteisten kompleksimonistojen geometriaa käsittein, joilla on esikuvansa tai vastineensa tavallisessa reaalilukuihin perustuvassa geometriassa. Kompleksimonistojen teoriassa on myös piirteitä, joilla ei ole reaalilukuihin perustuvassa teoriassa.

Yleisen suhteellisuusteorian tarvitsema matematiikka, jossa käytetään reaalilukuja, voidaan yleistää myös kompleksimonistoille.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473

Nyt kun on illan tapellut kompleksisarjojen kanssa, tuntuu ihan hyvältä, ettei useampaa imaginääriulottuvuutta ole vielä tullut vastaan.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat