Kompleksiluvuista ja lukujoukoista yleensä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Sen mitä itse olen asiaan perehtynyt niin kompleksilukujoukko on käsittääkseni ns. suurin lukujoukko mitä on koska se sisältää kaikkien polynomiyhtälöiden ratkaisut. Kysyn siis nyt onko kompleksilukujoukko se kaikista suurin lukujoukko mitä on vai tarvitaanko joidenkin matematiikan tulosten selittämiseen vielä isompaa joukkoa?

Kysymys toisin asetettuna: Jos reaalilukujoukkoa kuvaa x-akseli, niin kompleksilukujoukko on xy-taso. Mikä on z-akseli vai onko sellaiselle ylipäätään tarvetta?

Sivut

Kommentit (21)

Vierailija

Ei ole kompleksilukujoukkoa laajempaa lukujoukkoa. Kaikessa tähänastisessa matematiikassa ja fysiikassa kompleksitaso riittää laskuihin ja tuloksiin. (Fysiikassa harvemmin kompleksisia tuloksia tosin.)

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005
Zeick
Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus, mutta ne ovat nykyisin käytännössä tarpeettomia vektoreiden syrjäytettyä ne.



Käsittääkseni kvaterniot ovat erittäinkin käytännöllisiä ja käytettyjä vempaimia eritoten 3d-grafiikassa, peliteollisuudessa yms. En ole koskaan kokeillut, mutta käsittääkseni kvaternioiden avulla voidaan sangen kompaktilla tavalla ilmaista sama informaatio kuin 4x4 homogeenisella matriisilla, ts. kvaternionin avulla voidaan ilmaista esm. kappaleen paikka ja orientaatio 3d-avaruudessa. Lisäksi - edelleen olettaen että olen ymmärtänyt asian oikein - kvaternioiden interpolaatiolla voidaan kätevästi animoida kappaleiden liikettä ja orientaatiota 3d-avaruudessa (mikä ei onnistu järkevästi matriisien avulla).

Vierailija
Zeick
Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus, mutta ne ovat nykyisin käytännössä tarpeettomia vektoreiden syrjäytettyä ne.

Ja oktoniot ovat kvaternioiden laajennus ja sedeniot oktonioiden laajennus.

Capax
Kysyn siis nyt onko kompleksilukujoukko se kaikista suurin lukujoukko mitä on vai tarvitaanko joidenkin matematiikan tulosten selittämiseen vielä isompaa joukkoa?

Välttämättömyydestä en tiedä, mutta näppärää on välillä käyttää jollain tavalla laajennettua reaalilukujoukkoa. Yksinkertaisin tapa laajentaa reaalilukujoukkoa on lisätä siihen alkioksi ääretön tai vaihtoehtoisesti plus ja miinus ääretön. Jos taas yhdenkokoinen äärettömyys ei riitä, voidaan luonnolliset luvut laajentaa ordinaali- tai kardinaaliluvuiksi. Ja on noita erilaisia laajennuksia varmaan vaikka ja mitä, mutta tuommoisia nyt äkkiseltään tuli mieleen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Capax
Sen mitä itse olen asiaan perehtynyt niin kompleksilukujoukko on käsittääkseni ns. suurin lukujoukko mitä on koska se sisältää kaikkien polynomiyhtälöiden ratkaisut.

Tarkennus, kompleksikertoimisten polynomiyhtälöiden ratkaisut.

Itse kysymykseen voisi vastata, että mikä on luvun määritelmä? Kompleksilukuja voidaan ajatella tason vektoreina, ja lineaarialgebrassa voidaan tutkia useampiulotteisia avaruuksia, joille R^2 on tämän avaruuden aito osajoukko. Kyllähän R^3:n vektoreitakin voidaan pitää lukuina, mutta vektori on tavallisempi käsite. Minä en tiedä luvun täsmällistä määritelmää.

Lisäksi esimerkiksi äärettömälle voidaan sopia laskusääntöjä, vaikka ääretön ei olekaan kompleksiluku. Mutta kompleksiluvut muodostavat pienimmän reaaliluvut sisältävän algebrallisesti suljetun kunnan.

Vierailija

Kun googlasin noita kardinaalilukuja sain tietää että on olemassa vaikka mitä muita esim. transfiniittiset ordinaalit ja kardinaalit, surreaaliset ja hyperreaaliset luvut, saavuttamattomat, hypersaavuttamattomat ja superhypersaavuttamattomat kardinaaliluvut eli Mahlo-kardinaaliluvut, kuvailemattomat kardinaaliluvut, jakokardinaaliluvut, Ramsey-kardinaaliluvut, mitalliset kardinaaliluvut, vahvasti kompaktit ja superkompaktit kardinaaliluvut sekä laajennettavat kardinaaliluvut.

Menee pää sekaisin näiden kanssa. Onko näillä jotain käyttöä vai onko joku vain keksinyt että "hei, tässä voisi olla taas jotain uusia lukuja ja ne määritellään näin...".

Vierailija
Capax
Menee pää sekaisin näiden kanssa. Onko näillä jotain käyttöä vai onko joku vain keksinyt että "hei, tässä voisi olla taas jotain uusia lukuja ja ne määritellään näin...".

Puoliakaan noista listasi luvuista en ole joutunut käsittelemään, niin menee ehkä vähän mutuilun puolelle. Käsittääkseni hyperreaalilukuja voidaan käyttää, kun kehitellään differentiaalilaskentaa. Tämä ei tosin ole se yleisin lähestymistapa ja teoria saadaan kasaan ilman näitäkin.

Kardinaalilukuja taas käytetään, kun vertaillaan joukkojen keskinäistä mahtavuutta (eli sitä, miten paljon alkioita joukossa on). Jos joukko on äärellinen, olkoon siinä vaikka n alkiota, niin sitä vastaa kardinaaliluku n. Jos joukko ei ole äärellinen, niin tilanne on hieman monimutkaisempi. Pienimmäksi äärettömyydeksi otetaan kardinaaliluku aalef-nolla, joka vastaa luonnollisten lukujen N kardinaliteettia. Jos myös joukko X on ääretön ja voidaan määritellä bijektiivinen kuvaus (siis 1-1-vastaavuus) X -> N, niin myös joukon X kardinaliteetti on aalef-nolla. Esimerkiksi kokonaislukujen ja rationaalilukujen kardinaliteetti on aalef-nolla, vaikka äkkiseltään tuntuisi, että rationaalilukuja on hurjan paljon enemmän kuin luonnollisia lukuja. Jos tuota bijektiivistä kuvausta ei voida määritellä, on äärettömän joukon kardinaliteetti suurempi kuin aalef-nolla.

Vierailija

Kompleksiluvut muodostavat lukukunnan, joka on algebrallinen rakenne jossa on määritelty kahden luvun summa (plus-lasku) ja tulo (kertolasku). Näille laskutoimituksilla voidaan myös taata, että "normaalit" lukiosta tutut laskulait pätevät. Siis esimerkiksi

a+b = b+a (summan kommutatiivisuus)
a*(b+c) = a*b + a*c (osittelulaki)
a*b = b*a (tulon kommutatiivisuus)

ja niin edelleen.

Vektoriavaruuteen R^2 tai R^3 (tai R^n) ei yleensä liitetä kertolaskua. Kvaterniot ovat vektorirakenteeltaan samanlainen kuin R^4, eli neliulotteinen vektoriavaruus. Kvaternioille voidaan myös määritellä kertolasku, mutta tälle kertolaskulle ei saadakaan normaaleja laskulakeja pätemään. Kvaternioille ei voida määritellä esimerkiksi kommutatiivista kertolaskua rikkomatta taas jotain muuta tuttua sääntöä. Siis a*b != b*a joillekin kvaternioille a ja b. Tästä seuraa hassulta tuntuvia tuloksia (*).

Mikäli luvun käsite määritellään siten, että normaalit tutut laskulait pätevät, ei kvaternioita tällöin voida ajatella "luvuiksi".

(*) (Wikipediasta): "The non-commutativity of multiplication has some unexpected consequences, among them that polynomial equations over the quaternions can have more distinct solutions than the degree of the polynomial. The equation z^2 + 1 = 0, for instance, has infinitely many quaternion solution [...]."

Vierailija
sampsa
Mikäli luvun käsite määritellään siten, että normaalit tutut laskulait pätevät, ei kvaternioita tällöin voida ajatella "luvuiksi".

Niin, mutta missä se raja sitten menee? Kunta ainakin on liian kova vaatimus, kun kokonaisluvutkaan eivät sitä muodosta. Toisaalta luonnollisilla luvuilla ei tavanomaisilla operaatioilla varustettuna saada aikaiseksi edes ryhmää että sepä siitä. Ja entäs sitten muut algebralliset rakenteet, jotka täyttävät "luvun" ominaisuudet? Lasketaanko mielivaltaiseisessa vektoriavaruudessa V määritellyn operaattorin A: V -> V määrämä kommutatiivinen operaattorialgebra lukujoukoksi? Sillä ainakin olisi jo kovasti "luvun" ominaisuuksia.

Onko luvulle olemassa jokin täsmällinen määritelmä?

Vierailija
kurnimaha
Onko luvulle olemassa jokin täsmällinen määritelmä?

En ole lukuteoreetikko, mutta en ole koskaan nähnyt mitään yritystä antaa luvuilla mitään täsmällistä määritelmää. Ja aika turhaa se on. Itse pidän hyvänä nyrkkisääntönä, että jos joukon saa jonkinlaisilla luontaisilla algebrallisilla tai topologisella laajennuksilla luonnollisista luvuista, niin se on lukujoukko. Mutta sitten jätän hiusten pilkkomisen ja en rupea sen enempää arvailemaan minkälainen on tuo "jonkinlainen luontainen algebrallinen tai topologinen laajennus".

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
sampsa
Kompleksiluvut muodostavat lukukunnan

Ei taatusti muodosta! Lukukunnat ovat numeroituvia, mutta kompleksilukujen kunta on ylinumeroituva.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Mutta kyse olikin lukukunnista. Lukukunnat ovat numeroituvia. Kompleksiluvut ovat esimerkki kunnasta, joka on ylinumeroituva, joten kompleksilukujen kunta ei ole lukukunta.

Vierailija

Hei,
lukukunta ja kunta ovat kaksi eri asiaa. Lukukunta on rationaalilukujen kunnan Q äärellinen laajennus.

Esimerkki:

Tunnetusti sqrt(2) ei ole murtoluku, joten se ei kuulu rationaalilukujen kuntaan Q. Luvut, jotka ovat muotoa:

r=a+b*sqrt(2) (a ja b rationaalilukuja)

muodostavat myös kunnan. Tämän voi todeta käymällä läpi kunta-aksioomat. Saatu uusi kunta on pienin mahdollinen kunta joka sisältää sekä rationaaliluvut Q ja luvun sqrt(2). Kunnalle käytetään merkintää Q(sqrt(2)).

Jargon:

-Uusi kunta Q(sqrt(2)) on kunnan Q laajennus, koska se on laajempi kuin alkuperäinen kunta Q.
-Laajennus on äärellinen, koska vaadittiin kuntalaajennuksen sisältävän luvun sqrt(2), yksi ehto - äärellinen määrä ehtoja siis.

Voi myös halutessaan ajatella analogisesti kompleksilukujen z=a+bi geometrisen tulkinnan mukaisesti että luvut a+b*sqrt(2), muodostavat vektorin tai lukuparin (a,b) jonka komponentit ovat rationaalilukuja a ja b ja kantana luvut 1 ja sqrt(2). Tässä esityksessä rationaaliluvut Q ovat muotoa (a,0). Siis alkuperäinen kunta on tulkittavissa yksiulotteisena ja laajennettu kunta kaksiulotteisena. Jos yleisessä kuntalaajennuksessa laajennetun kunnan dimensio on äärellinen on kuntalaajennus äärellinen tai finiittinen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat