Reikä maapallossa ja kaksi putoavaa marmorikuulaa.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eräässä fysiikan -kirjassa on mainittu ajatusleikki, jossa maapalloon porataan reikä läpi ja reikään pudotetaan kaksi marmorikuulaa. Marmorikuulat pudotetaan samasta päästä reikää ja niin, että lähtötilanteessa ne koskevat reiän seinustaa ja ovat mahdollisimman kaukana toisistaan. (Kuva kertoisi taas enemmän, kuin sata jänistä)

Tapahtumien kulkua selitettiin siten, että kuulat putoavat suoraan kohti maapallon gravitaatiokeskusta ja kuulat lähenisivät ja lopulta koskettaisivat toisiaan.

Eikös tässä pitäisi käydä juurikin toisinpäin? Eli kuulat liimautuisivat seinään ja rullaisivat seinän pintaa pitkin. Kuulathan ovat lähempänä oman pallonpuoliskonsa massakeskipistettä, jolloin sen gravitaatiovaikutus on suurempi.

Mikä on totuus.

Sivut

Kommentit (42)

Vierailija

Kyllä ne kuulat putoavat kohti massakeskipistettä gravitaation vaikutuksesta. Onton pallon sisällä pallon oma gravitaatio on nolla. Vastaavasti reiän vaikutus gravitaatoon on nolla paitsi mitä se nyt vaikuttaa kokonaismassaan.

Vierailija

Kaksiulotteisesti asiaa ajatellen ympyrän erillisille puolikkaille voi ajatella omat massakeskipisteet. Reiällisessä pallossa tilanne on toinen; sen massakeskipiste on keskellä palloa ja keskellä keskipisteen kautta kulkevaa reikää myös.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Tässä varmastikkin oletetaan Maapallo täydellisen pyöreäksi ja tasatiheäksi ja tunneli täydellisen sileäksi ja suoraksi. Tunnelin täyttävä ilmakin unohdettava. Marmorikuulatkin ovat täysin pyöreät ja sileät ja niiden törmäys täysin epäelastinen.
Jos ajatellaan Maapallon keskus karteesisen koordinaatiston origoon ja tunneli z-akselille, on Maapallo x,y-tasossa ympyräsymmetrinen, jolloin koko systeemin gravitaatiokeskus sijaitsee origossa. Nopeasti ajateltuna voisi olettaa kuulien tosiaan keskustaan hakeutuvan, mutta jonkun pitäisi tämä integroimalla laskea varmuuden saamiseksi.
Toisaalta muistelisin ohuen pallokuoren sisällä vallitsevan tasapotentiaali, jonka sitten voisi x,y-tasossa yksinkertaistaa ympyräkuoreksi. Tällöin kuulat kai putoaisivat z-akselin suuntaisesti, koska x,y-tason suuntaisia voimia ei ole. Uskon reiän kuitenkin olevan merkittävästi Maan halkaisijaa pienempi ja ympyräkuori-mallin täten olevan epäpätevä.

Vierailija

Aloitusviestissä ei mainittu sitä, mihin tämä reikä tehdään. Jos reikä tehtäisiin päiväntasaajalle(tai melkein minne muualle kuin navoille), niin coriolis-ilmiö, jonka aiheuttaa maan pyöriminen on voimakkaampi kuin gravitaatio ja pakottaa ne kyllä samalle puolelle aika nopeasti. Jos nyt kuitenkin oletetaan, että reikä on esim. pohjoisnavalla käy kyllä niinkuin edelliset ovat todenneet.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
petsku
Nopeasti ajateltuna voisi olettaa kuulien tosiaan keskustaan hakeutuvan, mutta jonkun pitäisi tämä integroimalla laskea varmuuden saamiseksi.
Toisaalta muistelisin ohuen pallokuoren sisällä vallitsevan tasapotentiaali, jonka sitten voisi x,y-tasossa yksinkertaistaa ympyräkuoreksi. Tällöin kuulat kai putoaisivat z-akselin suuntaisesti, koska x,y-tason suuntaisia voimia ei ole. Uskon reiän kuitenkin olevan merkittävästi Maan halkaisijaa pienempi ja ympyräkuori-mallin täten olevan epäpätevä.



On todistettavissa että onton pallon oma gravitaatio on nolla pallon sisällä, jos massajakauma on pallosymmetrinen. (kuten yllä on todettu). Tästä on helppo jatkaa ajatusta "täytetyn pallon" tapauksessa. Jätetään huomiotta pinnasta kuulan olinpaikkaan asti paksuinen pallonkuori ja ajatellaan sisälle jäävän pienemmän pallon aiheuttavan gravitaatiota.

Tuosta on helppo päätellä pallojen todella hakeutuvan keskipistettä kohti, ja nopeuden turvin ohi jos mahdollista.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Aiheeseen liittyen muistan pähkäilleeni joskus erään vanhan kilpailutehtävän parissa:
Sama tilanne, esim. marmorikuula pudotetaan maapallon läpi porattuun reikään ja piti todistaa, että marmorikuula on harmoninen värähtelijä. Koskaan en keksinyt miten tuo pitäisi ratkaista...

Vierailija

Siellä reiässä gravitaatio on suoraan verrannollinen etäisyyteen massakeskipisteestä. On siis täysin analoginen jousen päässä värähtelevälle massalle.

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009
huismjar
Koskaan en keksinyt miten tuo pitäisi ratkaista...

Tunneliin x-akseli, pythagoraan lauseen avulla kappaleen etäisyydelle Maapallon keskustasta funktio x:n suhteen, gravitaatiovoima: G = yMm/r^2, geometrian avulla jako komponentteihin ---> G(x), koettu kiihtyvyys: G(x) = F = ma, ja lopuksi yrite: y = Acos(Bx), josta vakiot ratkaistavissa. ---> MOT, koska ratkaisu samaa muotoa, kuin harmonisen värähtelijän tapauksessa.
Tuon verran annan vinkkiä. Tuossa kai olennaiset vaiheet, tosin hahmottelin ratkaisun vain päässä enkä laskenut, joten voi sieltä jotain puuttuakin.

Vierailija

Coriolis-ilmiö tulee ottaa huomioon, vastakkainen kiertymä eri pallonpuoliskoilla johtaa siihen että ne törmäävät keskipisteessä kulmassa ja jäävät omille puolilleen... tai siis näin olettaisin, jos ne pudotettaisiin vastakkaisilta puolilta mikä ei ollut kysymys...

Vierailija

Jos pallon pyöriminen otetaan huomioon niin kuula ajautuu hyvin pian reiän pyörimissuunnan puoleiseen reunaan. Jos oletetaan kuulan liukuvan kitkatta pitkin reiän seinämää, niin jossain vaiheessa lähellä keskipistettä pallo irtoaa seinämästä ja ohittaa keskipisteen joltain etäisyydeltä. Vastakkaisilta puolin pudotetut kuulat eivät siis törmää keskipisteessä ellei reikä ole riittävän ahdas. Siinä onkin kiinnostava pähkinä selvittää millä kohden kuula irtoaa seinämästä ja missä taas törmää sinne uudelleen.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10611
Liittynyt16.3.2005

Tuosta voisi tehdä ajatuskokeen:
Kun ei reiän kokoa määritelty, niin se voi olla melkein niin suuri kuin pallossa on tilaa. Jos se olisi pallon halkaisijan kokoinen, niin ei olisi enää palloa eikä gravitaatiokenttää. Pallosta on jäljellä rengas, ja aivan ilmeisesti marmorikuula hakeutuu renkaan reunaan, kun painovoimakenttä on kääntäen verrannollinen renkaan massa-alkiosta lasketun etäisyyden neliöön.

Tämän voi ajatella johtuvan painovoiman puutteesta reiässä. Ilmiö on havaittavissa kaivosmittauksissa, joissa kuiluun lasketaan kaksi luotilankaa suunnan siirtämiseksi maan pinnalta kaivokseen.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija
o_turunen
Ilmiö on havaittavissa kaivosmittauksissa, joissa kuiluun lasketaan kaksi luotilankaa suunnan siirtämiseksi maan pinnalta kaivokseen.
Jos luotilangat hakeutuvat kuilun senämää kohti niin ei taatusti gravitaatiosta johtuen vaan todennäköisesti magnetismista. Jos punnus on lyijyä niin vaijeri tuskin on.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10611
Liittynyt16.3.2005

Lainaus:
"Jos luotilangat hakeutuvat kuilun senämää kohti niin ei taatusti gravitaatiosta johtuen vaan todennäköisesti magnetismista."

Niin, varmaankin yleensä käytetään teräslankaa. Olisipa mielenkiintoinen magneettikentän muoto, jos kahteen kilometrin pituiseen muutaman metrin etäisyydellä olevaan teräskappaleeseen vaikuttaisi magneettikenttä eri suuntaan.

No joka tapauksessa reiän keskiakseli on labiili kohta gravitaation kannalta. Tämä johtuu siitä, että gravitaatiovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.

Asian voi perustella esimerkiksi seuraavasti: Ajatellaan maapallon muodostuvan kahdesta puoliskosta, toinen reiän toisella puolella ja toinen toisella. Jos reiässä on marmorikuula, joka on lähempänä toista puoliskoa, niin tämä puolisko vetää kuulaa puoleensa enemmän kuin toinen, ja kuula hakeutuu reiän seinälle.

Maapallon keskipiste on mielenkiintoinen. Siinä gravitaatiovoima on nolla, ja pienikin poikkeama sijainnissa johtaa gravitaatiovoiman nollasta poikkeavaan arvoon, ja kuula töksähtää reiän seinään.

Samantapainen kohta on Maan ja Auringon välissä oleva Lagrangen piste. Tässä pisteessä Maan ja Auringon vetovoimat ovat yhtä suuret. Avaruusaluksen voi periaatteessa siihen pysäköidä. Pienikin muutos paikassa johtaa siihen, että alus tömähtää joko Maahan tai Aurinkoon.

Gravitaatiokenttä on analoginen sähkökentän kanssa, joka taas on helppo demota. Yritä pitää lankaan ripustettu positiivisesti varattu pallo kahden negatiivisesti varatun kappaleen puolivälissä tai negatiivisesti varatun renkaan keskellä. Selitä sitten asia magneettikentillä.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija

Tässähän on kyse reiästä eikä ontosta pallosta. Reiästä otettu massa on merkityksetön maan massaan nähden. Gravitaatio kohdistuu maan massakeskipisteeseen edelleen. Tätä ei voi mitenkään verrata kahden erillisien massakeskittymän gravitaatiokenttään.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10611
Liittynyt16.3.2005

Muodostetaan homogeeninen umpinainen pallo alkioista joita olkoon N kpl. N voi olla vaikkapa ziljoona tai sitten kaksi. Oletetaan, että osia on kaksi, ja ne ovat samanmuotoiset, eli puolipallot. Porataan saumakohtaan reikä läpi pallon.

Kummallakin puolipallolla on painopisteensä, johon sen massan voidaan ajatella keskittyneen aivan niinkuin kokonaisen pallon massan voidaan ajatella keskittyneen sen painopisteeseen.

Lopputuloksena on kaksi massaa ja marmorikuula reiässä. Jos marmorikuula on tasan yhtä kaukana kummankin puolipallon painopisteestä eli se on reiän akselilla, niin siihen vaikuttava voima on sama kuin koko pallon aiheuttama gravitaatio.

Jos kuula ei ole reiän akselilla, niin se on lähempänä jomman kumman puolipallon painopistettä, ja siihen vaikuttaa gravitaatiovoima, joka ei ole sama kuin koko pallon gravitaatio. Oudolta saattaa tuntua, mutta juuri tuo reiän aiheuttama massan puute on syynä ilmiöön.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat