differentiaalista

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Eilen ennen nukkumaan menoa sain hassun ajatuksen:

Voisiko integroitaessa olla muuttujana tulo xy erillisten x:n ja y:n sijaan?

d(xy) = (x + dx)(y + dy) - xy = ydx + xdy + dxdy . Funktio olisi F(x,y) tasojoukossa A

Siispä onko integraalia [size=150:2gr5272y]/[/size:2gr5272y]Fd(xy) = [size=150:2gr5272y]/[/size:2gr5272y]Fydx + [size=150:2gr5272y]/[/size:2gr5272y]Fxdy + [size=150:2gr5272y]/[/size:2gr5272y]Fdxdy olemassa, ja jos on niin mitä se kuvaa?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Kommentit (7)

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Voi.
Se, mitä se kuvaa, riippuu sen määrittelystä. Useamman muuttujan integraaleilla voidaan kuvata vaikkapa tilavuutta. z(x,y)=xy -funktiosi määrätty integraali x:n ja y:n suhteen kuvaa tilavuutta, joka jää x-y-tason ja funktion määrittämän pinnan väliin määrätyllä alueella. Jos osaisin tehdä kaavaa tähän, voisin näyttää esimerkin vaikka jostakin määrätystä integraalista x-y-tasossa.

Vierailija

hei,
merkintä

Cargo
d(xy) = (x + dx)(y + dy) - xy = ydx + xdy + dxdy

on matematiikan standardinotaation mukaan virheellinen, jos suureilla dx ja dy tarkoitetaan differentiaaleja. Oikea muoto on

d(xy) = ydx + xdy.

Antamasi kaava on siinä virheellinen että sisällytät mukaan termin dxdy. Vaikka lasket oikein laskusääntöjen mukaan on lopputulos virheellinen - differentiaalit eivät joskus käyttäydy kuten normaalit luvut ja siten voi lasku olla virheellinen.

Karkeana laskusääntönä voisi vaatia että differentiaalien välisessä yhtälössä (differentiaaliyhtälö - nimen alkuperä!) differentiaalit esiintyvät vain sananasteisina termeinä - asteella tarkoitan että esim dxdxdy on kolmatta astetta, koska se on kolmen differentiaalin tulo. Sinun yhtälössäsi esiintyy ensimmäisen asteen termit ydx ja dxy ja toisen asteen termi dxdy.

Joskus tämäkään astesääntö ei riitä, mistä esimerkkinä pintaintegraalin termin dxdy muunnos, josta alla.

Funktio F(x,y) integroidaan tasoalueen A yli ensin integroimalla muutttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen tai ensin y:n ja sitten x:n suhteen. Voidaan myös haluttaessa tehdä koordinaatistonmuunnos uusiin koordinaatteihin, jossa uudet koordinaatit u ja v annetaan implisiittisesti yhtälöillä:

x=f(u,v)
y=g(u,v)

( uusia koordinaatteja täytyy olla aina sama määrä kuin alkuperäisiä koordinaatteja ). Nyt jos halutaan tietää kuinka funktio F(x,y) integroidaan tasoalueen A yli koordinaateissa u ja v täytyy ensin muuntaa lauseke F(x,y)dxdy esitetyksi koordinaattien u ja v avulla. Muunnetaan ensin dxdy laskemalla

dx=Adu+Bdv
dy=Cdu+Ddv,

missä funktio:

A=A(u,v) on funktion f osittaisderivaatta u:suhteen
B=B(u,v) on funktion f osittaisderivaatta v:suhteen
C=C(u,v) on funktion g osittaisderivaatta u:suhteen
D=D(u,v) on funktion g osittaisderivaatta v:suhteen

Nyt suoraviivainen differentiaalien dx ja dy tulo

dxdy=(Adu+Bdv)(Cdu+Ddv)=AC dudu+(AD+BC)dudv+BDdv^2

on virheellinen (vaikka kaikki oikean puolen termit du^2, dudv,dv^s ovat toista astetta) oikean ollessa:

dxdy=(AD-BC)dudv

Lopuksi

F(x,y)dxdy=F(f(u,v),g(u,v))(AD-BC)dudv

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Spanish Inquisitor
hei,
merkintä
Cargo
d(xy) = (x + dx)(y + dy) - xy = ydx + xdy + dxdy

on matematiikan standardinotaation mukaan virheellinen, jos suureilla dx ja dy tarkoitetaan differentiaaleja. Oikea muoto on

d(xy) = ydx + xdy.

Antamasi kaava on siinä virheellinen että sisällytät mukaan termin dxdy. Vaikka lasket oikein laskusääntöjen mukaan on lopputulos virheellinen - differentiaalit eivät joskus käyttäydy kuten normaalit luvut ja siten voi lasku olla virheellinen.


Eiköhän kyse ole siitä, että oikeasti kyllä

d(xy) = dx y + x dy + dx dy,

mutta koska dx dy on yhtä astetta "lähempänä nollaa" rajalla dx -->0 ja dy --> 0, niin joka tapauksessa termi häviää rajanotossa ja on usein tapana jättää se huomiotta heti alkuunsa. Stokastisten prosessien teoriassa prosessit x ja y ovat joskus niin huonosti käyttäytyviä (karkeita), että tuo viimeinen termi ei häviäkään.

Vierailija

Hei,

Stratonovich
Eiköhän kyse ole siitä, että oikeasti kyllä

d(xy) = dx y + x dy + dx dy,

mutta koska dx dy on yhtä astetta "lähempänä nollaa" rajalla dx -->0 ja dy --> 0, niin joka tapauksessa termi häviää rajanotossa ja on usein tapana jättää se huomiotta heti alkuunsa.




Näin on, jos ajatellaan differentiaaleja infinitesimaaleina. Oma lähestymistapani on peräisin näiden differentiaalien matemaattisen tarkasta käsittelystä (differentiaaligeometria), ja siten ehkä oikaisin suoraan lopputulokseen. Oma implisiittinen lähestymistapani oli se, että tämä d differentiaalin dx edessä edustaa derivointioperaatiota d:A(k)-->A(k+1), missä A(k) k-muotojen joukko jossain alueessa Rn:ssä tms. Tässä notaatiossa dx tarkoittaa 1-muotoa, joka on kysyjän tapauksessa saatu operoimalla d-operaattorilla funktioon, jonka arvo pisteessä (x,y)=x.

Tälle d-operaattorille pätee Leibnitzin tulosääntö, joka on funktion f(x,y)=xy tapauksessa kirjoittamani kaava. Koska jokainen taso, avaruus- tai Rn:n integraali ym. voidaan kirjoittaa näiden k-muotojen avulla, pidin tärkeänä sitä, että kysyjä ei yrittäisi käyttää integroinnissa tarkoitukseen sopimattomia kaavoja.

Stratonovich

Stokastisten prosessien teoriassa prosessit x ja y ovat joskus niin huonosti käyttäytyviä (karkeita), että tuo viimeinen termi ei häviäkään.

Differentiaaligeometriassa taasen kyseinen termi häviää .

totinen
Seuraa 
Viestejä4876
Liittynyt16.3.2005
Stratonovich

Eiköhän kyse ole siitä, että oikeasti kyllä

d(xy) = dx y + x dy + dx dy,

mutta koska dx dy on yhtä astetta "lähempänä nollaa" rajalla dx -->0 ja dy --> 0, niin joka tapauksessa termi häviää rajanotossa ja on usein tapana jättää se huomiotta heti alkuunsa. Stokastisten prosessien teoriassa prosessit x ja y ovat joskus niin huonosti käyttäytyviä (karkeita), että tuo viimeinen termi ei häviäkään.


Entä voisiko kyseessä olla osittaisdifferentiaali?

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
totinen
Stratonovich

Eiköhän kyse ole siitä, että oikeasti kyllä

d(xy) = dx y + x dy + dx dy,

mutta koska dx dy on yhtä astetta "lähempänä nollaa" rajalla dx -->0 ja dy --> 0, niin joka tapauksessa termi häviää rajanotossa ja on usein tapana jättää se huomiotta heti alkuunsa. Stokastisten prosessien teoriassa prosessit x ja y ovat joskus niin huonosti käyttäytyviä (karkeita), että tuo viimeinen termi ei häviäkään.


Entä voisiko kyseessä olla osittaisdifferentiaali?

Kyllä tuo d voi olla tuossa mikä tahansa differentiaali. Tuo stokastiikan erikoistapaus tuleekin sellaisessa tilanteessa, että differentiaali on parametrin t suhteen kun funktiot x(t) ja y(t) eivät ole derivoituvia. Silloin differentiaalit dx ja dy ovat olemassa vaikka dx/dt ja dy/dt eivät olekaan. Yhtä hyvin d voisi olla osittaisdifferentiaali t:n suhteen kun x(t,s) ja y(t,s) eivät ole derivoituvia t:n suhteen.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Spanish Inquisitor
Hei,
Stratonovich
Eiköhän kyse ole siitä, että oikeasti kyllä

d(xy) = dx y + x dy + dx dy,

mutta koska dx dy on yhtä astetta "lähempänä nollaa" rajalla dx -->0 ja dy --> 0, niin joka tapauksessa termi häviää rajanotossa ja on usein tapana jättää se huomiotta heti alkuunsa.




Näin on, jos ajatellaan differentiaaleja infinitesimaaleina. Oma lähestymistapani on peräisin näiden differentiaalien matemaattisen tarkasta käsittelystä (differentiaaligeometria), ja siten ehkä oikaisin suoraan lopputulokseen. Oma implisiittinen lähestymistapani oli se, että tämä d differentiaalin dx edessä edustaa derivointioperaatiota d:A(k)-->A(k+1), missä A(k) k-muotojen joukko jossain alueessa Rn:ssä tms. Tässä notaatiossa dx tarkoittaa 1-muotoa, joka on kysyjän tapauksessa saatu operoimalla d-operaattorilla funktioon, jonka arvo pisteessä (x,y)=x.

Kyllä tuo differentiaaleilla laskeminen on ihan yhtä matemaattisen tarkkaa kuin differentiaaligeometriakin ja rajankäynnistä kaikki derivoinnin differentiaalimuototulkinnatkin ovat oikeastaan peräisin. DG:ssä vaan usein lasketaan differentiaaleja jatkuvasti derivoituville funktioille, jolloin tuo termi häviää. Mutta laskepa differentiaali jollekin ei-missään-derivoituvalle martingaalille tuolla oikaisuperiaatteella niin huonosti käy.

Uusimmat

Suosituimmat