Joukko-opin ongelmia

Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Monia opiskelijoita askarruttava periaate kuuluu näin:

" valitaan vain annettua lukua pienempi luku "

Mutta analyysissä tuntuu usein, että kun verrataan kahden luvun suhteita tyyliin ∞/∞ tai ∞ - ∞, niin jotenkin vain päädytään tulokseen.

Juuri silmiini osui toteamus avoimien joukkojen leikkausten avoimuudesta:
" Voi olla ettei avointen joukkojen leikkaus olekaan avoin. Esimerkiksi k on luonnollinen luku ja väli ] -1/k , 1/k [ on selvästi avoin reaalilukujen joukossa, mutta kaikkien näiden joukkojen kokoelman leikkaus on piste 0 joka ei ole avoin. "

Mutta miksei helvetissä voida valita lukua r siten että origokeskeinen avoin palloympäristö kuuluu jokaiseen leikkaukseen: r < 1/k kaikille luonnollisille luvuille k? Sitä paitsi reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin luonnolliset luvut, jolloin tuon säteen r löytäminen pitäisi olla helppoa.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Kommentit (11)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
Cargo
Juuri silmiini osui toteamus avoimien joukkojen leikkausten avoimuudesta:
" Voi olla ettei avointen joukkojen leikkaus olekaan avoin. Esimerkiksi k on luonnollinen luku ja väli ] -1/k , 1/k [ on selvästi avoin reaalilukujen joukossa, mutta kaikkien näiden joukkojen kokoelman leikkaus on piste 0 joka ei ole avoin. "

Mutta miksei helvetissä voida valita lukua r siten että origokeskeinen avoin palloympäristö kuuluu jokaiseen leikkaukseen: r < 1/k kaikille luonnollisille luvuille k? Sitä paitsi reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin luonnolliset luvut, jolloin tuon säteen r löytäminen pitäisi olla helppoa.


Se reaalilukujen joukon mahtavuus liittyy siihen, että siellä "välissä" on enemmän lukuja kun taas kyllä ne lukujoukkojen supremumien raja-arvot ovat siellä samassa paikassa. Tästä syystä ainoa r jolle pätee r < 1/k kaikille luonnollisille luvuille k on r = 0.

Väite: on olemassa reaaliluku r > 0, jolle r < 1/k kaikilla luonnollisilla luvuilla k. Tällöin pätee myös k < 1/r eli kaikki luonnolliset luvut on pienempiä kuin 1/r. Ei ole totta.

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Liittynyt1.10.2006
Cargo

Juuri silmiini osui toteamus avoimien joukkojen leikkausten avoimuudesta:
" Voi olla ettei avointen joukkojen leikkaus olekaan avoin. Esimerkiksi k on luonnollinen luku ja väli ] -1/k , 1/k [ on selvästi avoin reaalilukujen joukossa, mutta kaikkien näiden joukkojen kokoelman leikkaus on piste 0 joka ei ole avoin. "

Mutta miksei helvetissä voida valita lukua r siten että origokeskeinen avoin palloympäristö kuuluu jokaiseen leikkaukseen: r < 1/k kaikille luonnollisille luvuille k? Sitä paitsi reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin luonnolliset luvut, jolloin tuon säteen r löytäminen pitäisi olla helppoa.




Yritän parhaani mukaan selittää mistä on kysymys. Avoimien välien ]-1,1[, ]-1/2,1/2[, ]-1/3,1/3[,... leikkaus pitäisi osoittaa ei-avoimeksi joukoksi. Ensimmäinen havainto on se, että nolla sisältyy jokaiseen tarkasteltavaan avoimeen väliin. Joten se kuuluu myös leikkaukseen. Jos se olisi avoin joukko, niin nollalla pitää olla avoin ympäristö, joka kuuluu leikkaukseen. Eli pitäisi löytää sellainen positiivinen reaaliluku t, että avoin väli ]-t,t[ kuuluisi myös kaikkiin väleihin ]-1,1[, ]-1/2,1/2[, ]-1/3,1/3[,... Yllä kysyt, että miksei valita sellainen t, että se on pienempi kuin 1, pienempi kuin 1/2, pienempi kuin 1/3,... Vastaus on, että ei sellaista positiivista reaalilukua ole olemassa. Haluaisit valita t:n seuraavalla tavalla. 1 riittää ensimmäisen välin tarpeisiin. Toiseen väliin se ei kelpaa. Pienennetään t:tä 1/2. Kolmas väli vaatii taas pienemmän; otetaan 1/3. Neljäs taas pienemmän; otetaan 1/4.... Haluat, että valintaprosessi päätyy toimivaan t:hen. Haluamasi t = lim 1/n, kun n kasvaa rajatta. Raja-arvoa ei kuitenkaan ole olemassa positiivisten reaalilukujen joukossa.

vorrester
Seuraa 
Viestejä615
Liittynyt22.7.2005

Ihan nyt sivuten aloittajaa. Itse jouduin 70-luvulla tähän muutaman vuoden kokeiluun. Jossa opetettiin joukko oppia nykyisen 5-luokan tasolla. Se meni sillä hetkellä totaalisesti yli ymmärryksen. Ja jälkeenpäin oli todettu että ihan hyvä opetus, mutta liian nuori opiskelija ryhmä ja liian tavoitteellinen opetus.

Eli kysymys? millä tasolla joukko-oppi on tällä hetkellä. Ketkä / mikä koulutus käyttää nykypäivänä joukko-oppia?

Aivopierun tunnistaa rivin alun merkistä *

Vierailija
vorrester
Eli kysymys? millä tasolla joukko-oppi on tällä hetkellä. Ketkä / mikä koulutus käyttää nykypäivänä joukko-oppia?



Kaikki (?) nykymatematiikka on rakennettu joukko-opin pohjalle. Siis tarvittaessa matemaattiset väittämät voitaisiin palauttaa joukko-opillisiksi kysymyksiksi.

Joukko-oppia (edes naiivia joukko-oppia) ei käsittääkseni opeteta peruskoulussa nykyään. Jotain luokittelukykyä harjoittavia tehtäviä alakoulun ensimmäisillä luokilla varmaankin tehdään ("ympyröi kuvasta porkkanoiden joukko", "montako nallea kuuluu joukkoon?"), mutta ei tätä ehkä kannata mieltää joukko-opin opettamiseksi.

Lukiossa joukko-oppiin voi opettajan ja oppikirjan tekijöiden mieltymyksien mukaan törmätä todennäköisyyslaskennan yhteydessä kurssilla MAA6 tai lukuteorian ja logiikan kurssilla MAA11. Joukko-opillisia merkintöjä kuten joukkoon kuulumisen merkki, tyhjä joukko, leikkaus ja yhdiste käytetään ehkä useamminkin. Opetussuunnitelman perusteissa ei kuitenkaan mainita joukko-oppia tai joukko-opillisia käsitteitä yhdenkään pitkän matematiikan kurssin keskeisenä sisältönä.

Matematiikan yliopisto-opinnoissa joukko-oppia tietenkin tarvitaan.

totinen
Seuraa 
Viestejä4876
Liittynyt16.3.2005
vorrester
Ihan nyt sivuten aloittajaa. Itse jouduin 70-luvulla tähän muutaman vuoden kokeiluun. Jossa opetettiin joukko oppia nykyisen 5-luokan tasolla. Se meni sillä hetkellä totaalisesti yli ymmärryksen. Ja jälkeenpäin oli todettu että ihan hyvä opetus, mutta liian nuori opiskelija ryhmä ja liian tavoitteellinen opetus.

Eli kysymys? millä tasolla joukko-oppi on tällä hetkellä. Ketkä / mikä koulutus käyttää nykypäivänä joukko-oppia?


Myös minulle opetettiin nuorena joukko-oppia. Se auttoi myöhemmin suuresti todennäköisyysmatematiikan ja logiikan hahmottamisessa.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Luulisin, että kaikissa teknisissä korkeakouluopinnoissa joukko-oppi tulee vastaan jollain tavalla.

Minusta lukion matematiikkaan (pitkään ja lyhyeen) pitäisi ehdottomasti kuulua tutustuminen naiiviin joukko-oppiin, joka voitaisiin päättää tyylikkäästi Russellin paradoksiin ja kehotukseen perehtyä asiaan syvemmin, jos mielii päästä suosta kuiville.

We're all mad here.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Stratonovich

Väite: on olemassa reaaliluku r > 0, jolle r < 1/k kaikilla luonnollisilla luvuilla k. Tällöin pätee myös k < 1/r eli kaikki luonnolliset luvut on pienempiä kuin 1/r. Ei ole totta.



Joo, joo. Itseäni vain ihmetyttää että kun välillä todistus aloitetaan lauseella "olkoon luku positiivinen reaaliluku x annettu..." niin mikä estää nyt kirjoittamasta ja viittaamasta äskeiseen lauseeseen että: "olkoot luonnollinen luku k annettu, niin valitaan reaaliluku r siten että 0 < r < 1/k" ja todistetaan jotain muuta .

Siis kumpi luvuista r: 0 < r ja 1/k: 0 < 1/k on pienempi?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Liittynyt1.10.2006

Jokaista luonnollista lukua k kohti on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku x, että 0
(1, 0.1), (2, 0.01), (3, 0.001),... toteuttavat yo lauseen.
Esimerkissäsi halutaan nimen omaan löytää yksi ja ainut x jokaiselle k:lle!

Vierailija
Cargo

Siis kumpi luvuista r: 0 < r ja 1/k: 0 < 1/k on pienempi?



Jos k on anettu ( jokaiselle k), niin löytyy luku r

TAI

Jos luku r on anettu, niin löytyy luku k

Paradoksihan tuo

Russelin paradoksi sai kilpailijan! No joo, jos totta puhutaan, niin useimmat opiskelijat hyväksyy ton joukko-hömpän totuutena eivätkä ala miettiä että kumpi tuli ennen, muna vaiko kana; anna mikä tahansa luonnollinen luku, niin lupaan antaa reaaliluvun r: r < 1/k .

EDIT: Määritelläänpä reaaliluku x siten että luonnolliselle luvulle k: lim 1/k --> 0 , k--> ∞ ja 0 < x < 1/k !!!!!!!

Muna vaiko kana ???

Vierailija
Cargo
Joo, joo. Itseäni vain ihmetyttää että kun välillä todistus aloitetaan lauseella "olkoon luku positiivinen reaaliluku x annettu..." niin mikä estää nyt kirjoittamasta ja viittaamasta äskeiseen lauseeseen että: "olkoot luonnollinen luku k annettu, niin valitaan reaaliluku r siten että 0 < r < 1/k" ja todistetaan jotain muuta .



Voit sinä näin tehdä, mutta silloin, kuten itsekin sanot, todistetaan jotain muuta.

Sinulla tuntuu menevän sekaisin kiinnitetty ja kiinnittämätön luku. Jos valitaan jokin luonnollinen luku k, niin 1/k > 0. Eikö? Tämä pätee oli k mikä tahansa kiinnitetty luonnollinen luku. Kun k kiinnitettään miksi tahansa luonnolliseksi luvuksi, niin on olemassa reaaliluku r jolle pätee 0 < r < 1/k. Eikö tämäkin ole aika selvää? Tässä annetaan "vastustajan valita mikä tahansa k" ja tämän valinnan jälkeen me voimme valita r:n jolle 0 < r < 1/k.

Tai jos kiinnitetään reaaliluku r väliltä 0 < r < 1, niin on olemassa sellainen luonnollinen luku k että 1/k < r. Kyse on siitä kumpi valitaan ensin ja tämä valinta asettaa ehtoja sille miten toinen voidaan valita.

Aivan vastaavasti voin antaa sinun valita minkä tahansa kokonaisluvun a ja tämän valinnan jälkeen voin valita sitä isomman kokonaisluvun b. Sama onnistuu toisinkin päin. Valitsen minkä tahansa kokonaisluvun b, niin sinä voit valita minkä tahansa kokonaisluvun a jolle a > b. Ei kai tuossa mitään paradoksaalista ole?

Siis kumpi luvuista r: 0 < r ja 1/k: 0 < 1/k on pienempi?



Kumpi luvuista a vai b on pienempi jos molemmat ovat positiivisia?

Uusimmat

Suosituimmat