Alkuluvun log on irrationaalinen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tehtävä: Olkoon p alkuluku. Osoita, että log[size=50:2u34h07p]10[/size:2u34h07p] p on irrationaalinen.

Tehdään vastaoletus. On olemassa rationaaliluku m/n, joka toteuttaa edellämainitun.

Koska p on tekijänä p^n:ssä, on se myös tekijänä 2^m:ssä tai 5^m:ssä. Mutta koska p on alkuluku, on sen oltava 2 tai 5. Toisaalta mikään 2:n kokonaislukupotenssi ei voi olla jaollinen kymmenellä (eikä myöskään mikään 5:n kokonaislukupotenssi), sillä kokonaisluvun alkulukuhajotelma on yksikäsitteinen. Tällöin on jouduttu ristiriitaan. Siispä log[size=50:2u34h07p]10[/size:2u34h07p] p on irrationaalinen.

***
Tehtävä näyttäisi siis olevan ratkaistu. Minua kiinnostaisi kuitenkin tietää, onko päättelyni täysin vedenpitävä vai olenko muodostanut sen väärin.

Kommentit (4)

Vierailija

Eikös numero 1 ole alkuluku?
m=0 , n=1->
Log(1) = m/n = 0

Eli tällöin 0 on irrationaalinen , hmm

Edit: Korjaus 1 ei ole alkuluku

Vierailija
sakvaka
Koska p on tekijänä p^n:ssä, on se myös tekijänä 2^m:ssä tai 5^m:ssä.



Miksi? Esim. 2*5 = 10 mutta ei se tarkoita, että 10 jakaa kakkosen tai vitosen, kuten annat ymmärtää (10 ei ole alkuluku, mutta ei ole väitteessäsikään).

Käytä hyväksesi ennen sitä että p on alkuluku. Tällöin p^n:n alkulukuhajotelma on suoraan ... ja ..., niin...?

Vierailija
jji
sakvaka
Koska p on tekijänä p^n:ssä, on se myös tekijänä 2^m:ssä tai 5^m:ssä.



Miksi? Esim. 2*5 = 10 mutta ei se tarkoita, että 10 jakaa kakkosen tai vitosen, kuten annat ymmärtää (10 ei ole alkuluku, mutta ei ole väitteessäsikään).

Käytä hyväksesi ennen sitä että p on alkuluku. Tällöin p^n:n alkulukuhajotelma on suoraan ... ja ..., niin...?




Toden totta, minkähän ajatusvirheen seurauksena alkuperäinen a|b → a|bc muuntui tuollaiseen muotoon

No, nyt vain miettimään uudelleen. Kiitos paljon.

EDIT: Eihän tässä pitäisi ollakaan miettimistä. Jos 10^m = p^n, on 10 tekijänä vasemmalla, mutta se ei voi olla tekijänä oikealla, koska luvun alkulukuesitys on yksikäsitteinen. Menikö nyt oikein?

EDIT2: Ei mennyt - tuo perustelu ei riitä todistamaan, että alkuluvun neliö ei voisi olla kymmenellä jaollinen. Tarkkaan ottaen kymmenen alkulukuesitys tarvitsee kaksi eri numeroa ja oikealla puolella niitä on vain yksi.

Vierailija

Jos p > 2 ja p on alkuluku: p^n on pariton luku.
10^m on parillinen luku.

Jäljelle jää yhtälö 10^m = 2^n. 10^m päättyy aina nollaan, 2^n ei pääty koskaan nollaan. Yhtälö on siis epätosi.

Uusimmat

Suosituimmat