Vektorien käsittely matematiikassa kontra mekaniikassa

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

"Määritelmä 1. Vektori on keskenään yhtäsuurien suuntajanojen joukko. Myös suuntajanoja, jotka tarkkaan ottaen ovat vektorin edustajia, nimitetään usein lyhyesti vektoreiksi.

Vektorilla on suunta ja pituus ja se on vapaasti sijoitettavissa, kunhan pituus ja suunta säilyvät."

Askarruttaa tuossa se, ettei mekaniikassa ainakaan voimavektoria voida täysin vapaasti siirtää minne tahansa. Sen siirto yleensä vaatii momenttivektorin lisäämistä toisaalle.

Tässä ehkä toki on kyse siitä, miten vektori periaatteessa määritellään ja toisaalta siitä miten niitä tulee tilanteenmukaisesti käyttää.

Tässä kun pitäisi perehtyä n-ulotteiseen vektoriavaruuteen, niin näin insinöörillä vähän tökkii, kun heti tulee noita rajoitteita mieleen.

Kommentit (9)

Heksu
Seuraa 
Viestejä5463
Liittynyt16.3.2005

Kyseessähän on kaksi tyystin eri asiaa. Vektorihan on puhtaan matemaattinen käsite. Voimavektori taas fysikaalinen käsite jonka soveltaminen käytäntöön edellyttää fysikaalisen maailman perusolettamusten huomioon ottamista. Näistä tulee luonnollisesti heti mieleen se, että vapaassa avaruudessa olevaan kappaleeseen kohdistuva mielivaltainen voima aiheuttaa aina myös momentin, joka riippuu siitä miten voima kohdistetaan suhteessa kappaleen painopisteeseen. Jos voima kohdistuu suoraan kohti kappaleen painopistettä, kappaleeseen ei luonnollisestikaan kohdistu pyörittävää momenttia. Jos ko. voimaa siirretään toisaalle, kappale alkaa pyörimään, ellei sitä kumota vastamomentilla. Tällä tosiseikalla taas ei ole mitään tekemistä varsinaisen vektorin käsitteen kanssa, vaan kyseessä on fysikaalis-geometrinen tosiseikka.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Heksu
Kyseessähän on kaksi tyystin eri asiaa. Vektorihan on puhtaan matemaattinen käsite.

Näin arvelinkin, halusin vain varmistusta sille että voin tosiaan lähteä tuosta olettamuksesta. Tosin eihän se nyt kuitenkaan tyystin eri asia ole, koska vektori molemmissa tapauksissa omaa esim. pituuden ja suunnan.

Heksu

Voimavektori taas fysikaalinen käsite jonka soveltaminen käytäntöön edellyttää fysikaalisen maailman perusolettamusten huomioon ottamista.

Niin, tämä onkin sitä insinöörimatematiikkaa joka on jo paljon paremmin hallinnassa.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10607
Liittynyt16.3.2005

Vektori alkaa tasan tarkkaan määrätystä pisteestä ja sillä on tasan tarkkaan suunta ja tasan tarkkaan pituus. Ei tuossa ole mitään epäselvää.

Amiksen oppikirjoja kirjoittavat pellet toisinaan sekoilevat, kun eivät ymmärrä mitään asiasta.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
o_turunen
Vektori alkaa tasan tarkkaan määrätystä pisteestä ja sillä on tasan tarkkaan suunta ja tasan tarkkaan pituus. Ei tuossa ole mitään epäselvää.

Amiksen oppikirjoja kirjoittavat pellet toisinaan sekoilevat, kun eivät ymmärrä mitään asiasta.




Lähde: http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto02.htm

No eipä ihme, jos sitten tökkii, kun peruslähtökohdat ovat hakusessa näköjään laajemminkin. Eipä sillä, kyllä kait se vektoriavaruuksien hallinta siitä avautuu kun vauhtiin pääsee.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
No niin, pientä lisävalaistusta asiaan.

http://users.jyu.fi/~akruuska/FYSP100_k ... /Luku4.pdf

"Vapaa vektori on sellainen vektori, jota voidaan rajoituksetta samansuuntaissiirtää avaruudessa.

Sidottu eli lokalisoitu vektori puolestaan on vektori, jonka samansuuntaissiirto on joko kokonaan
kielletty (esimerkkinä paikkavektori) tai rajoitettu (esimerkkinä liukuvektori)."


Vektorilla sinänsä voidaan vaikkapa ilmaista paikkaa suhteessa origoon (tai muuhun pisteeseen), mutta kyllä kai on parempi määritellä, että geometrinen objekti nimeltä vektori ei ole sidottu mihinkään paikkaan.

Tämä sopii myös siihen määritelmään, että vektori on oikeastaan tensori, jonka kertaluku on 1:

http://fi.wikipedia.org/wiki/Tensori

Vierailija
Stratonovich
Vektorilla sinänsä voidaan vaikkapa ilmaista paikkaa suhteessa origoon (tai muuhun pisteeseen), mutta kyllä kai on parempi määritellä, että geometrinen objekti nimeltä vektori ei ole sidottu mihinkään paikkaan.

Paremmuudesta en sitten tiedä, mutta mieltäisin vektorin kyllä pisteeksi (tai alkioksi) vektoriavaruudessa. Geometriset ominaisuudet ovat mielestäni seurausta tarkasteltavan vektoriavaruuden muista ominaisuuksista: esimerkiksi "pituus" vaatisi pelkän vektoriavaruuden sijasta normiavaruuden ja geometrisessa mielessä "suunta" edellyttää jo sisätuloavaruutta. Sen takia en menisi näitä vektorin määritelmään sisällyttämään.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
kurnimaha
Paremmuudesta en sitten tiedä, mutta mieltäisin vektorin kyllä pisteeksi (tai alkioksi) vektoriavaruudessa. Geometriset ominaisuudet ovat mielestäni seurausta tarkasteltavan vektoriavaruuden muista ominaisuuksista: esimerkiksi "pituus" vaatisi pelkän vektoriavaruuden sijasta normiavaruuden ja geometrisessa mielessä "suunta" edellyttää jo sisätuloavaruutta. Sen takia en menisi näitä vektorin määritelmään sisällyttämään.

Totta, että minimimääritelmä vektorille on, että se on vektoriavaruuden alkio. Mutta jotta vektorilla voi tehdä jotain hyödyllistä pitää kuitenkin avaruuteen vielä määritellä joku metriikka sekä topologia. Sen jälkeen tuo tensorin erikoistapaus-määrittely on jo ihan kätevä.

Vierailija

Hei,

taas huomasin kuinka palstan keskustelut saavat ajattelemaan ja kysymään asioita, joita ei itse välttämättä tulisi ajatelleeksi.

Spanish Inquisitor luonnoksessaan väärin

tämä nyt on tälläistä pilkunviilausta mutta voidaanhan tensorit määritellä myös aivan perusvektoriavaruudessa V, jossa ei ole mitään lisästruktuuria kuten sisätulo yms. Jos V on äärellinen dimensioltaan voidaan sille valita kanta. Tämä indusoi kannan V:n duaaliin V* ja sitten vaan muodostetaan ulkoisia tuloja V:n ja V*:n kantavektoreista. Esimerkiksi kantavektorien tulot, joisa kussakin on i kpl V:n kantavektoreita ja j kpl V*:n kantavektoreita, muodostavat tensoriavaruuden T(j,i) kannan. Näille tensoreille on voimassa V:n koordinaatiston muunnoksista indusoituvat tensorin komponenttien muunnoskaavat.



Ylläoleva on kuitenkin väärin. Päättely on pääpiirteissään ihan ok, mutta sudenkuoppa, jota en aluksi huomannut, on V:n ja V*:n välinen yhteys.

Jos on annettu V:n kanta voidaan kyllä muodostaa V*:lle kanta, esimerkiksi laskemalla duaalikanta.
Tämä antaa isomorfisen vastaavuuden V:n ja V*:n välille. Kuitenkin kuvaus, joka liittää annettuun kantaan duaalikannan ei ole yksikäsitteinen, vaan riippuu annetusta V:n kannasta. Eli eri V:n kannoissa on eri V:n ja V*:n väliset vastaavuudet, eikä vain yhtä.

Seurauksena ylläoleva luonnokseni tensoreista yleisessä vektoriavaruudessa ei ole koordinaatti-invariantti, kuten kunnon tensoreiden tulisi olla.

Vektoriavaruuden sisätulon avulla määritelty isomorfinen vastaavuus V<->V* on taasen yksikäsitteinen.

Virheistä oppii..

Uusimmat

Suosituimmat