Exponentti ja sisäfunktion integrointi.

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.

Kommentit (7)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Nyt "paapalla" vähän tökkii integrointi, kun yhtälö on muotoa e^f(x), eikä homma selvästikään onnistu siinä muodossa että voitaisiin reaalikerrointa käyttää derivaattafunktiona (tai siis ko. kerrointa käänteisenä). Siis tuo potenssin f(x) on muotoa x^a, jossa a > 1.

Derivointihan voidaan aina tehdä ulko- ja sisäfunktion avulla, mutta tuohon integrointiin en löytänyt esimerkkiä edes pitkän matikan kirjasta siinä muodossa että olisin sen ymmärtänyt.

Yksi esimerkki valaisisi asiaa huomattavasti.


Aika vaikea on kyllä keksiä edes yhtä esimerkkiä muotoa exp(x^a), jossa a>1 ja antiderivaatta olisi esitettävissä alkeisfunktioiden avulla. Mihin tarvitset tuota? Jos haluat laskea integraalin arvon, niin voithan vaikka käyttää exp(x):n Taylorin sarjaa, johon sijoittamalla x^a saat:

exp(x^a) = 1 + x^a + 1/2! (x^a)^2 + ...

Sen sitten voi integroida vaikka 0:sta x:ään, jolloin saadaan

int_0^x exp(x^a) dx
= x + 1/(a+1) x^(a+1) + 1/2! 1/(2a+1) x^(2a+1) + ...

johon voit sijoittaa x:n ja laskea integraalin arvon mielivaltaisella tarkkuudella.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Taisin keksiä, mutta en enää jaksa ruveta laskemaan. Voitaneen käyttää osittaisintegrointia, siten että muokataan tuo kertolaskun muotoon ja ratkaistaan edelleen osittaisintegroinnilla.

Onnistuuko sekään, en tiedä mutta jotain täytyy yrittää.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
David
Yhtälö oli siis muotoa e^x^a, jossa a>1. Tässä ko. tapauksessa a olisi 3. Eli integroitava funktio on muodossa e^x^3. Tuo e on tietysti luonnollinen luku eli e^1 oli jotain 2,71... jne. Eli siis neperin potenssi on muodossa x^3.

Tarve olisi oppia tämä hanskaamaan pikaisella aikataululla.


Jep, tarkoitinkin juuri sitä, että e^x = exp(x) noilla merkinnöilläni. Osittaisintegroinnilla tuo tapaus a=3 voisi ehkä onnistua.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^a%29&random=false

Ja tapauksessa a=3 tulee:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x^3%29&random=false

Eli hankalaksi menee. Numeerisesti integroiden tuo käyttäytyy kyllä siististi.

Linkit ei näytä siltä kuin pitää. Kopioi koko linkki selaimen osoiteriville niin toimii.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Stratonovich
bosoni
No, onhan tuo esitettävissä gammafunktion avulla:

Niin ja jos tuon haluaa johtaa itse, niin sijoituksella y = -x^3 tuon sieltä saanee ulos.



Hmm...

Siis Int(e(x^3))dx ja sij. y=-x^3 siis x=-y^(1/3) ja

dy=-3x^2dx eli dx=-1/3*dy/x^2= 1/3*y^(-2/3)dy

ja saadaan laskettavaksi uusi integraali

Int(1/3*y^(-2/3)e^(-y)dy).

Kiinnostaisi kovasti kuinka tästä jatketaan.

Siis muulla tavoin kuin vertaamalla suoraan Gamma-funktion määritelmään joka on itsessäänkin vain integraali.

Uusimmat

Suosituimmat