Kompleksiluvut

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Valaiskaapa vähän näistä. Miten kompleksiluvuissa tämä "imaginääriluku" voi olla negatiivinen neliöjuuri??

Ei tule lukiossa vielä vuoteen, mutta edellä on hyvä olla.

Ei äkkiseltään oppikirjaa lukemalla avautunut niin voisiko joku selittää ystävällisesti mahd. ymmärrettävästi.

Sivut

Kommentit (63)

Vierailija

Kompleksiluku voidaan ajatella kaksiulotteisena lukuna, jossa pystyakselina on imaginaariakseli ja vaaka-akselina reaaliakseli. Imaginaariluvun yksikkö i = sqrt(-1). Se ei siis ole negatiivinen neliöjuuri vaan neliöjuuri negatiivisesta luvusta. -1 voidaan ajatella napakoordinaatistosssa luvuksi, jonka itseisarvo on 1 ja kulma 180°. Kun siitä otetaan neliöjuuri, otetaan itseisarvosta normaalisti neliöjuuri ja kulma jaetaan kahdella. Näin saadaan luku, jonka itseisarvo on 1 ja kulma 90°. Se osoittaa siis suoraan pystyakselin eli imaginaariakselin suuntaan. Toisin sanoen, imaginaariyksikkö i = 1/90°. (/ ei tarkoita jakoa vaan että luvun itseisarvo on 1 ja kulma 90°)

Vierailija
peippo
Kiitos, auttoi vähäsen.

voisiko saada soveltavia laskuja?


Tjaa, sanoisin että noilla lähtötiedoilla ei kompleksilukuja paljon sovelleta. Käytännössä sovellukset tulevat esiin mm. signaalinkäsittelyssä, systeemi- ja säätöteoriassa ja edistyneemmässä fysiikassa. Siksi sinun pitäisi ymmärtää mm. Fourier-sarjoja ja -muunnoksia tai edes Eulerin lause, ennen kuin kompleksilukuja voit mihinkään "soveltaa".

Vierailija

Pikku esimerkki: olkoon A = 2 + 3i ja B = 3 - i
A + B = 2 + 3 + 3i - i = 5 + 2i
Siis reaaliosat ja imaginaariosat lasketaan erikseen yhteen.

A·B = (2 + 3i)·(3 - i) = 6 - 2i + 9i + 3 (huom. i·i = -1)
= 9 + 7i
Siis aritmeettisissa laskuissa pidetään realiosat ja imaginaariosat erillään ja muistetaan, että i·i = -1

Lisää tietoa saat haulla kompleksiluvut.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Kuuba-Pete
Siksi, koska imaginääriyksikkö on määritelmänsä mukaan neliöjuuri -1.



Eikä ole!

Vaan: √-1 = ±i

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Vaan: √-1 = ±i

Totta. Eiköhän se todellinen määritelmä mahda olla i*i=-1, vaikka usein tehdään (virheellisesti) samaistus i=sqrt(-1). Ja jos tekee tuon jälkimmäisen samaistuksen, niin voi mennä tekemään virheellisiä johtopäätöksiä kuten, että -1=1.

Vierailija
peippo
Valaiskaapa vähän näistä. Miten kompleksiluvuissa tämä "imaginääriluku" voi olla negatiivinen neliöjuuri??



Miten reaaliluvun neliö voi olla aina ei-negatiivinen? Tai onko lukua sqrt(2) olemassa? Matemaattisten olioiden olemassaolo ja niiden ominaisuudet ovat filosofisesti aika jänniä. Helpoimmalla varmaan pääsee, jos hyväksyy sen, että matemaattinen olio on olemassa jossain matemaattisessa rakenteessa, jos rakennelman määrittelevät aksioomat ovat sisäisesti ristiriidattomat ja näistä perusolettamuksista (eli aksioomeista) seuraa kyseisen olion olemassaolo.

Reaalilukujen tapauksessa neliön ei-negatiivisuus seuraa suoraan yleisistä kunta-aksioomeista, luvun sqrt(2) olemassaolo on taas seurausta täydellisyysaksioomasta. Lukuun i päädytään, kun huomataan, että kaikki reaalikertoimiset polynomit eivät jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin - toisin sanoen siis kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla ei ole reaalisia nollakohtia (esimerkiksi x^2 +1). Matemaattisesti tilanne voidaan korjata määrittelemällä sellainen reaalilukujen kunnan laajennus, jossa tämäkin polynomi on jaollinen. Yllättäen käykin niin, että kaikki reaalilukujen kunnan laajennukset johtavat samaan lopputulokseen, nimittäin kompleksilukujen kuntaan (tai oikeastaan nämä laajennukset ovat vain keskenään rakenneyhtäläisiä: siis ne toimivat kaikinpuolin samalla tavalla, vaikka merkinnällisesti näyttävätkin erilaisilta.)

EDIT: Pitäisi ehkä täsmentää, että kaikki reaalilukujen kuntalaajennukset johtavat kompleksilukujen kuntaan. Näissä laajennuksissa säilyy tulon kommutatiivisuus eli ab = ba, mutta samalla menetetään reaalilukujen järjestysominaisuus. Kompleksilukujen tapauksessa ei ole mielekästä tehdä vertailua z > w, mutta reaalilukujen tapauksessa on. Reaalilukujoukkoa voidaan laajentaa kyllä muillakin tavoilla kuin kuntalaajennuksen kautta: usein on näppärää käyttää reaalilukujoukon sijasta jonkinlaista topologista laajennusta, esimerkiksi sellaista, johon on lisätty yksi ylimääräinen alkio "ääretön" tai kaksi alkiota, nimittäin "+ääretön" ja "-ääretön". Nämä laajennukset eivät muodosta kuntaa, mutta analyysissä joukon kompaktisuus saattaa olla hyödyllisempi ominaisuus kuin algebralliset kuntaominaisuudet.

Vierailija
korant
√-1 = ±i on aivan oikein



Ei ole, jos halutaan neliöjuuresta funktio. Jos erikseen ei mainita, niin neliöjuurella tarkoitetaan funktion päähaaraa, jolloin √-1 = i. Neliöjuuren toisella haaralla olisi toki voimassa √-1 = -i, mutta sillon pitäisi kyllä jo mainita, että nyt ei olla päähaaralla. Jos funktion yksiarvoisuudesta aletaan tinkiä, niin aika turhasta härpäkkeestä on silloin kyse: eihän sellaiselle ole edes mielekestä pohtia jatkuvuutta, derivoituvuutta saati jotain polkuintegraalia.

Kyse on ihan samasta asiasta kuin reaalisessa tapauksessa se, että neliöjuuri on ei-negativiinen. Ihan yhtä hyvin voitaisiin valita se negatiivinen neliöjuurikin, mutta juuri noista yllämainituista syistä ei moniarvoisuuteen kannata sortua. Reaalisessa tapauksessa on vielä yksi lisämenetys: moniarvoisuudella menetetään vertailukelpoisuus. Siis jos määrittelisimme √1 = ±1 ja √4 = ±2, niin ei enää olisi mielekästä sanoa √1 < √4.

Vierailija
kurnimaha
ei enää olisi mielekästä sanoa √1 < √4.
Paitsi ettei se ole mielekästä niin se on väärin. Molemmissa on tietenkin olemassa + ja - vaihtoehto elle erikseen mainita. Tuo on kirjoitettava muodossa |√1| < |√4|. Mutta alkaa mennä vähän pilkun nussimisen puolelle.

Vierailija
korant
kurnimaha
ei enää olisi mielekästä sanoa √1 < √4.

Paitsi ettei se ole mielekästä niin se on väärin. Molemmissa on tietenkin olemassa + ja - vaihtoehto elle erikseen mainita.

Määritelmästähän voidaan vääntää kättä loputtomiin, mutta ei tuohon minusta mitään plusmiinus-hässäkkää tule. Jos erikseen ei mitään mainita, niin neliöjuuri tarkoittaa positiivista haaraa, erillisellä maininnalla se voi tarkoittaa negatiivista haaraa, mutta ei sitä plusmiinus-kummajaiseksi kannata määritellä. Tykkään ainakin itse neliöjuuresta tasaisesti jatkuvana, derivoituvana ja aidosti kasvavana funktiona enkä sen takia halua ajatella sitä merkintänä toisen asteen yhtälön erimerkkisille juurille.

Mutta alkaa mennä vähän pilkun nussimisen puolelle.

No jaa, kun jotain määrittelee, niin kannattaa kyllä pilkkua nussia. Ainakin jos nyt jossain myöhemmin meinaa määritelmäänsä käyttää.

EDIT:

korant
√-1 = ±i on aivan oikein, mutta imanääriyksikkö i määritellään siten että i*i = -1 tai i = √-1.

Etkö tässä siis määrittele i = √-1 = ±i ?

Vierailija

"Italialainen Rafael Bombelli määritteli imaginaariluvut vuonna 1572. Käsite imaginaarinen tulee ranskalaiselta Descartesilta, joka piti kompleksilukuja mielikuvituksen tuotteina."

Vielläkö tuollaista 1500-luvun juttuja opetetaan vaikka ne on ajat sitten todettu mielikuvituksen tuotteiksi?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat