Pieni matemaattinen ongelma olisi...

Seuraa 
Viestejä13
Liittynyt6.11.2009

Moi!

Kirjoitan nyt ensimmäistä kertaa tälle foorumille. Yksi tuttavani kysyi minulta seuraavanlaisen kysymyksen, enkä heti osannut vastata.

Kysymys on seuraava:

Mikä on lieriön(suoran ympyrälieriön) korkeuden ja leveyden suhde silloin, kun tilavuus on mahdollisimman suuri? Ts. mikä on korkeuden ja leveyden optimaalinen suhde?

Olisin kiitollinen, mikäli saisin tähän omaan ketjuuni vastauksen laskutoimituksineen...

Sivut

Kommentit (24)

Vierailija

Tärkein kysymys on tämä :

mikä on korkeuden ja leveyden optimaalinen suhde?

Mutta kysymyksestä puuttuu selitys. Optimaalinen mihin nähden? Paineeseen tms. vai mihin?

Kaikki korkeuden ja leveyden suhteet ovat optimaalisia jos ei määritellä mitään muuta kuin "tilavuuden suhteen".

Jos on kyse esim. nestesäiliöstä niin silloin asia selkeytyy huomattavasti koska optimointi tehdään esim. suhteessa nestepaineeseen.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
KBolt

Mutta kysymyksestä puuttuu selitys. Optimaalinen mihin nähden? Paineeseen tms. vai mihin?



Tilavuuteen!

No joo, mitä luultavammin lieriön kokonaispinta-alaan. Eli kyseessä on lukion 2. vuoden perus derivoimisongelma.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija

Ei tarvitse välttämättä edes derivoida kun tiedetään, että tilavuus on verrannollinen tuloon r²h ja jos ala on vakio, h pienenee kääntäen verrannolisena säteeseen. Tästä seuraa että h=2*r eli siis kysytty suhde on 1.

Insinööriipiskelija
Seuraa 
Viestejä13
Liittynyt6.11.2009

Lisäyksenä ylimpään... Siis mikä on siis leveyden ja korkeuden suhde toisiinsa nähden, kun tilavuus on mahdollisimman suuri?

Eli mikä on säteen (r) ja korkeuden (h) suhde siinä tapauksessa?

Vierailija

Ei noilla ehdoilla suhdetta voi määritellä, molemmat ovat mahdollisimman suuret. Tilavuus kasvaa aina, kumpaa hyvänsä suurennat.

Insinööriipiskelija
Seuraa 
Viestejä13
Liittynyt6.11.2009

Jep. Itsekin ihmettelin kysymystä, ettei tuohon voi vastata.

Ilmeisesti kansakoulupohjalta yrittäjä toimiva ystäväni tarkoitti juuri sitä, että mikä on leveyden ja korkeuden suhde silloin, kun kokonaispinta-ala pysyy vakiona. Tilavuus siis mahdollisimman suuri. Tuntuisi loogiselta, että suhde olisi 1:1.

Ottaisin tähän kuitenkin vielä jonkinlaisen perustellun vastauksen...

Vierailija

Kirjoita pinta-alan kaava ja ratkaise h r:n suhteen. Kirjoita sitten tilavuuden kaava ja derivoi r:n suhteen. Siitä r ratkeaa. Tuo esittämäni yksinkertainen päättely vastaa derivoinnilla ratkaisua.

Vierailija
Cargo
KBolt

Mutta kysymyksestä puuttuu selitys. Optimaalinen mihin nähden? Paineeseen tms. vai mihin?



Tilavuuteen!

No joo, mitä luultavammin lieriön kokonaispinta-alaan. Eli kyseessä on lukion 2. vuoden perus derivoimisongelma.


Niin...tilavuus mahd. suuri ja ratkaistaan suhteet...
täysin päätön ja mahdoton optimointi kuten jo sanoin.
Kaikki suhteet ovat optimaalisia tilavuuteen nähden jos määritellään tilavuudeksi "mahdollisimman suuri" (kuten kysymys kuului...).

Jos tilavuus on vakio niin säiliön kokonaispinta-ala pysyy myös vakiona joten tilavuuteen nähden suhteita ei VARMASTI optimoida.

Vierailija
KBolt
Jos tilavuus on vakio niin säiliön kokonaispinta-ala pysyy myös vakiona joten tilavuuteen nähden suhteita ei VARMASTI optimoida.
Tuossa erehdyit. Jos tilavuus pidetään vakiona ja korkaus lähestyy nollaa, silloin pohjan ala ja samalla kokonaisala lähestyy ääretöntä.

Vierailija

No ei varmasti pysy vakiona. Miten ajattelit että pinta-ala lähestyisi ääretöntä jos se samalla pysyisi vakiona?

Lieriön pinta-alahan on A=2*Pi*r^2+2*Pi*r*x ja tilavuus Pi*r^2*x.

Jos valitaan tilavuudeksi vaikkapa Pi*1000, voi olla mm. r=10, x=10 tai vaihtoehtoisesti r=5, x=40.

Nyt kun lasketaan pinta-alat, noilla arvoilla:
1. A_1=2*Pi*10^2+2*Pi*10*10=Pi*400.
2. A_2=2*Pi*5^2+2*Pi*5*40=Pi*450.

Kuten nähdään, pinta-ala ei pysynyt vakiona.

Oikea vastaus tosiaan tulikin jo, eli h=2r.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat