Itselle paha todennäköisyystehtävä...

Seuraa 
Viestejä13
Liittynyt6.11.2009

Lukiossa aikoinani, vuonna -92 väitin, että opettaja ei keksi semmoista todennäköisyystehtävää, että en osaisi vastata, kuitenkin keksi semmoisen...

Tehtävä oli seuraava:

Noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että täsmälleen n:nnellä kerralla tulee viimeinen silmäluku nopasta. Toisin sanoen, kaikki numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 esiintyvät ainakin kerran.

Löytyisikö tuohon mitään kaavaa? Itse en keksinyt silloin, enkä ole tätä suuremmin sen jälkeenkääön tuumannut....

Sivut

Kommentit (24)

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005
Leone
Puhdas arvaus voisi olla:

(n-1)
(n-6) * 6exp(n-6)
--------------------- , kun n > 6
6exp(n)




Tarkemman miettimisen jälkeen oikea vastaus lienee ehkä:

(n-1)
( 5 ) * 5!*5exp(n-6)*6
------------------------ , kun n >= 6
6exp(n)

- lukujonoja voi syntyä 6 potenssiin n tavalla
- 5 eri lukua ennen viimeistä voi sijaita n-1 yli 5 tavalla
- luvut voivat olla ym. paikoissa 5! tavalla
- jäljelle jää n-6 paikkaa joissa voi olla muita lukuja muttei viimeistä
- nämä luvut voivat olla 5 potenssiin n-6 tavalla
- viimeinen luku voi olla jokin kuudesta

Vierailija
Utelias-75
Lukiossa aikoinani, vuonna -92 väitin, että opettaja ei keksi semmoista todennäköisyystehtävää, että en osaisi vastata, kuitenkin keksi semmoisen...

Tehtävä oli seuraava:

Noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että täsmälleen n:nnellä kerralla tulee viimeinen silmäluku nopasta. Toisin sanoen, kaikki numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 esiintyvät ainakin kerran.

Löytyisikö tuohon mitään kaavaa? Itse en keksinyt silloin, enkä ole tätä suuremmin sen jälkeenkääön tuumannut....




Jos noppaa kerran heitetään niin kauan, että jokainen silmäluku on esiintynyt ainakin kerran, niin heitolla, jonka järjestysluku on n, tulee aina nopan viimeinen silmäluku. Tällöinhän todennäköisyys on 1.

Vierailija

Ilmeisesti siis täsmälleen n:nnellä kerralla tulee kuudes eri nopan numero, eli se ainoa jota ei ole vielä tullut kertaakaan?

Ei mikään ihan triviaali tehtävä, itse ratkaisisin Markovin ketjun avulla.

Markovin ketju tilajoukkona {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, missä tilan mukainen määrä silmälukuja on saatu. Siirtymätodennäköisyydet seuraavaan tilaan (1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6, 0), muulloin tila ei vaihdu. Tilansiirtotodennäköisyysmatriisi p on siis muotoa:
0 . 1 . .0 . 0 . 0 . 0 . 0
0 1/6 5/6 . 0 . 0 . 0 . 0
0 . 0 . 2/6 4/6 0 . 0 . 0
...

Tästä täytyy ensin ottaa (n-1):s potenssi, jolloin matriisin ensimmäisen rivin kuudes (toiseksi viimeinen) alkio kertoo millä todennäköisyydellä ollaan tilassa 5 hetkellä n-1. Tällöin vastaus on kyseinen todennäköisyys kerrottuna kuudesosalla.

Näin siis numeerisesti, mutta oikea vastaus tuolla tulee, ehkä sen joku ohjelma symbolisestikin pyörittäisi, itse en ainakaan jaksa.

Vierailija
Tagnentti
Utelias-75
Lukiossa aikoinani, vuonna -92 väitin, että opettaja ei keksi semmoista todennäköisyystehtävää, että en osaisi vastata, kuitenkin keksi semmoisen...

Tehtävä oli seuraava:

Noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että täsmälleen n:nnellä kerralla tulee viimeinen silmäluku nopasta. Toisin sanoen, kaikki numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 esiintyvät ainakin kerran.

Löytyisikö tuohon mitään kaavaa? Itse en keksinyt silloin, enkä ole tätä suuremmin sen jälkeenkääön tuumannut....




Jos noppaa kerran heitetään niin kauan että jokainen silmäluku on esiintynyt ainakin kerran, niin heitolla, jonka järjestysluku on n, tulee aina nopan viimeinen silmäluku. Tällöinhän todennäköisyys on 1.



Jep, asia ei voisi tapahtua millään muulla tavalla.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Utelias-75
Noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että täsmälleen n:nnellä kerralla tulee viimeinen silmäluku nopasta. Toisin sanoen, kaikki numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 esiintyvät ainakin kerran.

Aloitetaan lopusta. Tarkastellaan tapausta, jossa 6 on puuttuva luku. Tn sille, että 6 ei ole tullut (n-1):llä heitolla on P=(5/6)**(n-1). Tn saada 6 n:nellä heitolla on P=1/6.

Nyt siis tiedetään, että ensimmäisen n-1 heiton joukossa ei ole 6:sta. Tn sille, että myöskään 1 ei ole tullut (n-1):llä heitolla on P=(4/5)**(n-1), eli ainakin yksi 1 on joukossa tn:llä P=1-(4/5)**(n-1). Sama pätee myös muille luvuille. Tn, että joukossa on ainakin yksi 1, 2, 3, 4 ja 5 on P=(1-(4/5)**(n-1))**5.

Siten tn, että viimeisenä saadaan puuttuva 6 on P=(1-(4/5)**(n-1))**5*(5/6)**(n-1)*(1/6). Koska viimeiseksi silmäluvuksi kelpaa mikä vain kuudesta numerosta, niin kysytty tn on

P=(1-(4/5)**(n-1))**5*(5/6)**(n-1) n>=6

Vierailija
H
Utelias-75
Noppaa heitetään n kertaa, mikä on todennäköisyys, että täsmälleen n:nnellä kerralla tulee viimeinen silmäluku nopasta. Toisin sanoen, kaikki numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 esiintyvät ainakin kerran.

Aloitetaan lopusta. Tarkastellaan tapausta, jossa 6 on puuttuva luku. Tn sille, että 6 ei ole tullut (n-1):llä heitolla on P=(5/6)**(n-1). Tn saada 6 n:nellä heitolla on P=1/6.

Nyt siis tiedetään, että ensimmäisen n-1 heiton joukossa ei ole 6:sta. Tn sille, että myöskään 1 ei ole tullut (n-1):llä heitolla on P=(4/5)**(n-1), eli ainakin yksi 1 on joukossa tn:llä P=1-(4/5)**(n-1). Sama pätee myös muille luvuille. Tn, että joukossa on ainakin yksi 1, 2, 3, 4 ja 5 on P=(1-(4/5)**(n-1))**5.

Siten tn, että viimeisenä saadaan puuttuva 6 on P=(1-(4/5)**(n-1))**5*(5/6)**(n-1)*(1/6). Koska viimeiseksi silmäluvuksi kelpaa mikä vain kuudesta numerosta, niin kysytty tn on

P=(1-(4/5)**(n-1))**5*(5/6)**(n-1) n>=6




Mielestäni mikään P<1 ei kelpaa, koska silloinhan olisi olemassa mahdollisuus, että heitetään n heittoa, mutta ei saada kaikkia silmälukuja. Tämä on ristiriidassa tehtävänannon kanssa.

Vierailija

Tagnentti. Asetetaan n=2. Arvaapa mikä on todennäköisyys sille että 2 heitolla saadaan kaikki nopan silmäluvut. Jep, 0 < 1.

Vierailija
Edup
Tagnentti. Asetetaan n=2. Arvaapa mikä on todennäköisyys sille että 2 heitolla saadaan kaikki nopan silmäluvut. Jep, 0 < 1.



Tehtävänannossa sanotaan että kaikki luvut esiintyvät ainakin kerran, niin miten sä ne kahella heitolla saat? Ehkä olis pitäny mainita että n ei voi olla alle 6, mutta pidin itsestäänselvyytenä.

Vierailija

No asetetaan n=7. Ekoilla 3 heitolla saadaan kaikilla 6. Eipä saada n. heitolla silloin sitä viimeistä lukua mitenkään. Sitä paitsi tehtävänannossa ei sanota että kaikki esiintyisivät kerran tuossa n heiton sarjassa, vaan pelkästään selitetään mitä tarkoittaa tuo "viimeinen luku".

Vierailija
Edup
No asetetaan n=7. Ekoilla 3 heitolla saadaan kaikilla 6. Eipä saada n. heitolla silloin sitä viimeistä lukua mitenkään. Sitä paitsi tehtävänannossa ei sanota että kaikki esiintyisivät kerran tuossa n heiton sarjassa, vaan pelkästään selitetään mitä tarkoittaa tuo "viimeinen luku".



Näin on. Itse ymmärsin tehtävänannon perusteella että ennen heittoa nro. n kaikki muut 5 silmälukua ovat esiintyneet ainakin kerran.

Vierailija
EemeIi
Ilmeisesti siis täsmälleen n:nnellä kerralla tulee kuudes eri nopan numero, eli se ainoa jota ei ole vielä tullut kertaakaan?

Ei mikään ihan triviaali tehtävä, itse ratkaisisin Markovin ketjun avulla.

Markovin ketju tilajoukkona {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, missä tilan mukainen määrä silmälukuja on saatu. Siirtymätodennäköisyydet seuraavaan tilaan (1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6, 0), muulloin tila ei vaihdu. Tilansiirtotodennäköisyysmatriisi p on siis muotoa:
0 . 1 . .0 . 0 . 0 . 0 . 0
0 1/6 5/6 . 0 . 0 . 0 . 0
0 . 0 . 2/6 4/6 0 . 0 . 0
...

Tästä täytyy ensin ottaa (n-1):s potenssi, jolloin matriisin ensimmäisen rivin kuudes (toiseksi viimeinen) alkio kertoo millä todennäköisyydellä ollaan tilassa 5 hetkellä n-1. Tällöin vastaus on kyseinen todennäköisyys kerrottuna kuudesosalla.

Näin siis numeerisesti, mutta oikea vastaus tuolla tulee, ehkä sen joku ohjelma symbolisestikin pyörittäisi, itse en ainakaan jaksa.




Jatketaas vielä. Tilansiirtotodennäköisyysmatriisi on siis http://www.wolframalpha.com/input/?i={{0%2C+1%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+1%2F6%2C+5%2F6%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+2%2F6%2C+4%2F6%2C+0%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+3%2F6%2C+3%2F6%2C+0%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+4%2F6%2C+2%2F6%2C+0}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+5%2F6%2C+1%2F6}%2C+{0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+0%2C+1}}

[url] ei toiminut tolle linkille, sori sotkusta.
Tuosta täytyisi saadaa vain n:s potenssi ja lukea ensimmäisen rivin toiseksi viimeinen alkio. Mikä mahtaa olla kyseinen Mathematican notaatio? ^n korottaa alkiot potenssiin, oikeaa operaatiota en löytänyt.

Vierailija

Jos lasketaan aluksi todennäköisyys sille, että saadaan kaikki 6 silmäluku 6:lla heitolla, niin eikös se ole 5!/6^5 = 1,54%. Edellä olevalla kaavalla tulee 5,52% ellen sitten väärin laskenut.

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005
korant
Jos lasketaan aluksi todennäköisyys sille, että saadaan kaikki 6 silmäluku 6:lla heitolla, niin eikös se ole 5!/6^5 = 1,54%. Edellä olevalla kaavalla tulee 5,52% ellen sitten väärin laskenut.



En tiedä mitä kaavaa tarkoitat, mutta minun kaavallani tulee 6!/6^6 = 5!/6^5 kun n = 6. Sillä mitä ilmeisimmin tulee myös oikea vastaus kaikilla n >= 6.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat