Raja-arvoista

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Voisiko joku ystävällisesti valaista raja-arvolaskuissa. Yritän epätoivoisesti kamppailla yliopiston ainoaa pakollista matikan kurssia läpi ja kaikki on unohtunut lukioajoilta. Miten lasketaan raja-arvot, kun x lähestyy ääretöntä? En nappaa laskutapaa netin muista esimerkeistä.

Yksi laskuesimerkki vaikkapa tästä:

lim (x+4 neliöjuuren sisässä) -2 / x*(neliöjuuressa 2)
x->oo

Jos joku voisi auttaa. Kiitos.

Kommentit (11)

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Funktiosta sqrt(x+4)-2/(x*sqrt(2)) huomataan, että sqrt(x+4) kasvaa rajatta ja 2/(x*sqrt(2))->0, kun x kasvaa rajatta. Siispä koko lauseke kasvaa rajatta kun x kasvaa rajatta.

Tuossa kirjoittamassasi kaavasta puuttuu sulut ja ei voida sanoa "lähestyy ääretöntä", sillä ääretön ei ole kiinteä piste. Puhutaan rajattomasta kasvamisesta.

Vierailija
eltsukka

lim (x+4 neliöjuuren sisässä) -2 / x*(neliöjuuressa 2)
x->oo

Pitääköhän lauseke olla kuitenkin:

(sqrt(x + 4)-2) / (x + sqrt(2)) ??

Vierailija
Puuhikki
Funktiosta sqrt(x+4)-2/(x*sqrt(2)) huomataan, että sqrt(x+4) kasvaa rajatta ja 2/(x*sqrt(2))->0, kun x kasvaa rajatta. Siispä koko lauseke kasvaa rajatta kun x kasvaa rajatta.



Ei kyllä pidä paikkaansa. Et voi päätellä tuota sqrt(x+4)-2/(x*sqrt(2)) kohtaa tuolla tavalla. Tässä kun x kasvaa rajatta niin tuohon tulee epämääräinen ääretön / ääretön muoto ja siitä et voi sanoa yhtään mitään. Tämän tehtävän ratkaisu vaatii vähän sopivaa pyörittelyä jolloin funktio saadaan sellaiseen muotoon että siitä näkee heti mitä se lähestyy. Yleensäkin näissä tehtävissä ei saa mennä tekemään sitä virhettä että päättelee jotain jostain 0/0 tai 0*ääretön tai jostain muusta määrittelemättömästä muodosta.

Niin ja pieni vinkki: Mieti miten voisit laventaa osoittajaa sopivasti että saisit sieltä neliöjuuren katoamaan.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Diquark
Ei kyllä pidä paikkaansa. Et voi päätellä tuota sqrt(x+4)-2/(x*sqrt(2)) kohtaa tuolla tavalla. Tässä kun x kasvaa rajatta niin tuohon tulee epämääräinen ääretön / ääretön muoto ja siitä et voi sanoa yhtään mitään.



Pitäähän se Puuhikin väittämä paikkaansa, jos lauseke luetaan siten kuin se on kirjoitettu.

√(x+4) - 2/(x*√2) -> ∞, kun x -> ∞

mutta lauseke ehkä olikin tarkoitettu olevan

(√(x+4) - 2)/(x*√2)

Edit: ai niin ja jälkimmäisessä tapauksessa

lähtisin itse muokkaamaan tuosta muotoon
√(x+4)/(x*√2) - 2/(x*√2)

ja siitä sitten oletuksella x > 0 on helppo jatkaa

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005

Itse en ole raja-arvoja juuri tarvinnut sitten opiskeluaikojen. Muistini mukaan tällaiset ääretöntä lähestyvät raja-arvot ratkeavat, kun lauseke manipuloidaan muotoon, että siinä on termejä muodoltaan 1/x potenssiin jotakin. Nämä taas menevät nollaan, kun x lähestyy ääretöntä.

Esimerkiksi (x^2-1)/(x^2+1) = (1-(1/x)^2)/(1+(1/x)^2), joka lähestyy arvoa 1, kun x lähestyy ääretöntä.

Vanha jäärä

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
eltsukka
Yritän epätoivoisesti kamppailla yliopiston ainoaa pakollista matikan kurssia läpi ja kaikki on unohtunut lukioajoilta.

Tehtävä on kai lähtenyt jo aiemmilla vinkeillä aukeamaan, mutta ihan mielenkiinnosta: mihin tutkintokokonaisuuteen kuuluu täsmälleen 1 pakollinen matematiikan kurssi? Minkä laajuinen ja niminen tuo kurssi on?

We're all mad here.

Vierailija
bosoni

Pitäähän se Puuhikin väittämä paikkaansa, jos lauseke luetaan siten kuin se on kirjoitettu.

√(x+4) - 2/(x*√2) -> ∞, kun x -> ∞




Niinpä olikin. Itse oletin siinä olevan sulkumerkit vaikka eihän siinä niitä ollutkaan

Uusimmat

Suosituimmat