Derivointiongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

En ymmärrä allaolevaa, syntyykö vastaus "chain rulea" käyttäen vai miten. Jos ottaa osittaisderivaatan 1/y niin se on 0 eikö vain. Mutta miten kysymyksen yhtälössä ei ole kyse osittaisderivaatasta. Miten ao. vastaus saadaan aikaiseksi?

Kommentit (10)

Vierailija

Sisäfunktion derivaatta, eli yleinen (esm maol taulukosta löytyvä) D g(f(x)) = g'(f(x)) f'(x)

muista että 1/y = (y)^(-1)
jolloin (annettu esimerkki)

d/dx (1/y) = d/dx (y)^(-1)

eli sisäfunktio f(x) = y
ja "ulkofunktio" g(x) = x^(-1)

sitten d/dx y = y' (määritelmä)
ja d/dx x^(-1) = -x^(-2) = -1/(x^2)

niin yhdistämällä kaikki ylläolevat saadaan:
d/dx (1/y) = -(y^-2) d/dx y
eli
d/dx (1/y) = -1/(y^2) y'

Vierailija

No nyt aukee. Tämäkin kysymys liittyi taas Bernouillin differentiaaliyhtälöön.

y' = y/x -y^2
y'/y^2 = (1/x)*(1/y)-1 joka ratkaistaan sijoittamalla: V = 1/y josta V' = (-1/y^2)*y'
ja tuosta sitten jatketaan.Ovela temppu jolla saadaan näköjään yhtälöä yksinkertaistettua.

Eli jos oikein ymmärsin niin
-1/(y^2) y' on sama kuin -1/(y^2)

joten sisäfunktio derivaattaa voi käyttää aina.
esim: d/dx x^2 = 2x*x' = 2x*1

Vierailija
pontus

Eli jos oikein ymmärsin niin
-1/(y^2) y' on sama kuin -1/(y^2)

joten sisäfunktio derivaattaa voi käyttää aina.
esim: d/dx x^2 = 2x*x' = 2x*1




Mmm.. loppu oikein, eli sisäfunktion derivaattaa voi käyttää aina, ja esimerkkisi menee oikein, mutta y' ei ole aina 1.

tuo ' on lyhenne merkintä joka yleensä on sama kun d/dx eli kuvaa derivointia x:n suhteen. x:n derivaatta itsensä suhteenhan on 1, eli sikäli x'=1 on totta.

Mutta jos y on jokin x:n funktio niin y'=d/dx y.

esim:
d/dx (x^2)^2 = ? (siis sama kun d/dx x^4 = 4 x^3 )

merkitään y=x^2
eli d/dx (y)^2 = ?
sisäfunktio sovellus d/dx (y)^2 = 2 (y) y'

nyt kun y=x^2, d/dx y = y'=2x
eli sijoitettuna:
2 (y) y' = 2 ( x^2 ) 2x = 4 x^3 , kuten kuuluukin.

Vierailija

Alkoi avautumaan.

Otetaan vielä yksi. Kun derivoidaan jonkun yhtälön suhteen niin miten toimitaan.
Esimerkkinä:

Vierailija
pontus
Alkoi avautumaan.

Otetaan vielä yksi. Kun derivoidaan jonkun yhtälön suhteen niin miten toimitaan.
Esimerkkinä:




Tuosta et pääse paljoa pidemmälle tietämättä jotain y:stä.

Mutta periaatteessa tuollaista lähtisin ratkomaan niin, että suoritat muuttujan vaihdon. (Ts nimeät uuden muuttujan vanhojen pohjalta)

Tässä tapauksessa esimerkiksi määriteltäisiin a = 1-x
(ja vastaavasti x = 1 - a )

tehtävän y on oletettavasti x:n funktio. Joten jos tiedät y:n (olkoon esim muotoa y=x^2+1) niin sijoitat jokaisen x:n tilalle vastaavan a:n kuvauksen. Eli tässä tapauksessa esimerkin y=x^2+1 muuttuisi y = (1- a)^2 + 1 :ksi

vastaavasti d/d(1-x) muuttuu siis d/da :ksi (juuri tämän vuoksi valittiin a = 1-x, jotta tämä siistiytyisi)

eli jos y olisi tuo y=x^2 +1
niin d/d(1-x) y
olisi d/d(1-x) x^2 +1
joka olisi siis uudella muuttujalla
d/da (1-a)^2 +1 Joka on jo derivoitavissa perinteisillä tempuilla.

Jos taas et tunne y:tä muuten kun että se on x:n funktio, y(x), ei tuosta tosiaan pääse juurikaan eteenpäin. Kun tiedät, niin muuttujan vaihdolla pääset muuttamaan yhtälön suhteen derivoinnin muuttujan suhteen derivoinniksi.

Lisäys: niin ja toki derivoinnin jälkeen voit taas palauttaa alkuperäisen muuttujan yhtälöön, eli korvaat vastavalla tavalla a:t x:illä, siten että a= 1-x. Se uusi muuttuja on siis vain "työkalu" jolla saadaan derivointi siistimmäksi välissä, josta sitten hankkiudutaan eroon kun derovointi on suoritettu.

Vierailija

Tunnen itseni tyhmäksi. Argh.

ja d/da (a+1)^2 +1 käyttämällä vaikka ny sitte chain rulea:
D((a+1)^2)*D(a+1) = 2a+2 ja palautetaan se alkuperäinen a= 1-x ja saadaan: 2(1-x)+2 = 4-2x HIENOA!

Kiitos!

Vierailija

tai siis korjataan, edellisessä meni minulta hiukan väärin:
ja d/da (1-a)^2 +1 käyttämällä vaikka ny sitte chain rulea:
D((1-a)^2)*D(1-a) = 2(1-a) ja palautetaan se alkuperäinen a=1-x ja saadaan: 2(1-1-x) = -2x HIENOA!

Vierailija

tähän jälkimmäiseen kysymykseen vielä, että tässä on helpompikin tapa ratkaista derivaatta.

jossa

Chain rulella:

saadaan lopulta yksinkertaisesti kaksi derivoituvaa yhtälöä jakajan molemmille puolille niin yhtälö voidaan ratkaista näin helposti ilman muuttujan vaihtoja:

Derivoidaan se (1-x) myös suoraan.

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
pontus
tähän jälkimmäiseen kysymykseen vielä, että tässä on helpompikin tapa ratkaista derivaatta.

jossa

Chain rulella:

saadaan lopulta yksinkertaisesti kaksi derivoituvaa yhtälöä jakajan molemmille puolille niin yhtälö voidaan ratkaista näin helposti ilman muuttujan vaihtoja:

Derivoidaan se (1-x) myös suoraan.


Itse asiassa jos on erittäin varovainen, niin voi käyttää myös differentiaalien lineaarisuutta ja sitä, että vakion differentiaali on nolla:

d(1-x) = d(1) + d(-x) = -dx

Siispä saadaan

dy(x) / d(1-x) = -dy(x) / dx

Yleisempi tapaus dy / d(g(x)) saadaan ketjusäännöstä (tai Taylorin sarjasta):

d(g(x)) = g'(x) dx

jolloin

dy/d(g(x)) = dy / d(g'(x) dx) = [1/g'(x)] dy / dx

Tässä on siis kysymys vain muuttujanvaihdosta ja notaatio saattaa mennä hieman sekaisin funktionaaliderivaattojen kanssa, mitkä ovat eri asia.

Uusimmat

Suosituimmat