kuvaus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kuvaus.
otetaan vaikka Y = {1,3}. f: Y nuoli oikealle Y.
Tästä taitaa tulla 4 kuvausta.

ja menevätkö näin;

lähtöjoukko on

Y

1
3

maalijoukko on

Y

1
3

lähtöjoukon alkiosta 1 nuoli menee maalijoukon alkioon 1 = 1 kuvaus
lähtöjoukon alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 3 = 1 kuvaus

lähtöjoukon alkiosta 1 ja alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 1 = 1 kuvaus
lähtöjoukon alkiosta 1 ja alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 3 = 1 kuvaus

Näin, 4 kuvausta. Menikö oikein?

Kommentit (8)

petsku
Seuraa 
Viestejä1473
Liittynyt6.6.2009

Hmm. Joku saa korjata, jos ja kun olen väärässä mutta:
Jos funktio kuvaa arvon Y:stä Y:hyn, niin pitikös kuvauksen olla yksikäsitteinen? Eli yhtä lähtöjoukon arvoa vastaa tasan yksi arvo maalijoukossa. Siten osa noista neljästä kuvauksesta sulkee toisensa pois.

E: Nyt rupesin pohdiskelemaan, tajusinko asiaa lainkaan oikein. No ehkä tästä viestistä ei haittaakaan ole — jääköön kummittelemaan.

Vierailija
petsku
Hmm. Joku saa korjata, jos ja kun olen väärässä mutta:
Jos funktio kuvaa arvon Y:stä Y:hyn, niin pitikös kuvauksen olla yksikäsitteinen? Eli yhtä lähtöjoukon arvoa vastaa tasan yksi arvo maalijoukossa. Siten osa noista neljästä kuvauksesta sulkee toisensa pois.

Funktio f: Y -> Y kuvaa jokaisen lähtöjoukon alkion yksikäsitteiseksi maalijoukon alkioksi (tässä tapauksessa maalijoukko on myös Y). Itse lasken kyllä funktion ja kuvauksen synonymeiksi ja molemmista edellytän samaa hyväämäärittelyä.

tomit
lähtöjoukon alkiosta 1 nuoli menee maalijoukon alkioon 1 = 1 kuvaus
lähtöjoukon alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 3 = 1 kuvaus

lähtöjoukon alkiosta 1 ja alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 1 = 1 kuvaus
lähtöjoukon alkiosta 1 ja alkiosta 3 nuoli menee maalijoukon alkioon 3 = 1 kuvaus

Näin, 4 kuvausta. Menikö oikein?




Nuo kaksi viimeistä ovat kuvauksia, mutta kaksi ensimmäistä eivät. Kahdessa ensimmäisessä et määrittele, mitä toiselle lähtöjoukon alkiolle kuvauksessa tapahtuu. Funktioita Y -> Y on tosiaan olemassa neljä ja ne ovat

f: Y -> Y; f(1) = 1, f(3)=1

g: Y -> Y; g(1) = 3, g(3)=1

u: Y -> Y; u(1) = 1, u(3)=3

v: Y -> Y; v(1) = 3, v(3)=3

nyt ei pysty kirjotttaan.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006

Jos maalijoukossa Z on 3 alkiota, niin funktioita f:Y->Z on
3^2=9 kpl. Siitä sitten vain yleistämään ja luomaan yhä mahtavampia (funktio)joukkoja!

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10609
Liittynyt16.3.2005

Suosittelen matikankirjan kaivamista esille, ja selvittämään, mitä ovat injektio, bijektio ja surjektio. Minun matikankirjassani kuvaus ei todellakaan ole sama kuin funktio. Funktio vaatii kääntäen yksikäsitteisen kuvauksen olemassaoloa.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija
o_turunen
Suosittelen matikankirjan kaivamista esille, ja selvittämään, mitä ovat injektio, bijektio ja surjektio. Minun matikankirjassani kuvaus ei todellakaan ole sama kuin funktio. Funktio vaatii kääntäen yksikäsitteisen kuvauksen olemassaoloa.



Emme ilmeisesti sitten lue samoja matematiikan kirjoja, omissani nimittäin funktiota ja kuvausta ei noin määritellä (ainakaan siinä tapauksessa, että "map" tai "mapping" kääntyy suomenkielessä "kuvaukseksi"). Tällaiseen määritelmään oma näkemykseni perustuu:

A function (or map) f from a set A to a set B, written f: A -> B, is a subset of A x B with the properties

a) For each a \in A, there is some b \in B such that (a,b) \in f.
b) If (a,b) \in f and (a,c) \in f, then b=c.

More informally, we are requiring that each a \in A be paired with exactly one b \in B. The relationship (a,b) \in f is customarily written b = f(a) and functions are usually described by giving a rule for findind f(a) if a is known (rather than, for example, by giving some geometric or other description of the subset f of A x B).


Lainattu teoksesta
Willard, S. GENERAL TOPOLOGY. Dover Publications, 2004. Sivut 3-4.

Alkuperäistekstissä merkintää \in vastaa siis "kuuluu joukkoon"-symboli ja muutenkin muotoilu hieman nätimpää. Mutta ehkä tästäkin oivaltaa idean.

Vierailija

Funktio ei vaadi kääntäen yksikäsitteisen kuvauksen olemassaoloa. Ajatellaanpa esimerkiksi f(x)=x^2, f:R->R, jolle ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiota koko määrittelyjoukossaan, toki sellainen saadaan jos tuota joukkoa rajoitetaan joko vain negatiivisiin tai positiivisiin reaalilukuihin.

On kuitenkin vähintäänkin hämäävää käyttää sanoja funktio ja kuvaus toistensa synonyymeinä. Esimerkiksi lineaarikuvausten kohdalla ei itselläni tulisi mieleenkään puhua funktioista, tarkoittaen samaa asiaa.

Vierailija
Edup
On kuitenkin vähintäänkin hämäävää käyttää sanoja funktio ja kuvaus toistensa synonyymeinä. Esimerkiksi lineaarikuvausten kohdalla ei itselläni tulisi mieleenkään puhua funktioista, tarkoittaen samaa asiaa.



Mutta funktioita ne lineaarikuvauksetkin ovat, vaikka niitä useimmiten lineaarisiksi operaattoreiksi sanonkin.

Vierailija
tomit
Kuvaus.
otetaan vaikka Y = {1,3}. f: Y nuoli oikealle Y.



Lähtöjoukossa on kaksi alkiota, samoin kuin maalijoukossa. Nyt kuvauksen määritelmän mukaisesti voit (ja pitää) valita jokaisella lähtöjoukon alkiolle jokin kuvajoukon alkio. Siis jos lähtöjoukossa on n alkiota ja maalijoukossa m, niin kuvauksia tulee m^n kappaletta, koska jokainen alkio voidaan kuvata m:lle eri kuva-alkiolle. Tästä juontaa merkintä jossa joukoilla A ja B kaikkien kuvausten joukkoa A:lta B:lle merkitään B^A.

Edup
Funktio ei vaadi kääntäen yksikäsitteisen kuvauksen olemassaoloa. Ajatellaanpa esimerkiksi f(x)=x^2, f:R->R, jolle ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiota koko määrittelyjoukossaan, toki sellainen saadaan jos tuota joukkoa rajoitetaan joko vain negatiivisiin tai positiivisiin reaalilukuihin.

On kuitenkin vähintäänkin hämäävää käyttää sanoja funktio ja kuvaus toistensa synonyymeinä.




En muista aiemmin törmänneeni kuvauksen ja funktion käsitteiden erottamiseen. Esim. prujussa http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/aemt/aemt1.pdf 2. kappaleen alussa funktio ja kuvaus samaistetaan.

Useamman muuttujan tapauksessa joukko-opillinen tulkinta taas on, että kuvaus muodostetaan joltain karteesisen tulon joukolta eli tarkalleen puhuen muuttujia on edelleen yksi tällöinkin. Esim. kahden muuttujan funktio f (tai tutummin f(x,y)) tulkitaan joukko-opillisesti funktioksi esim. f: R^2 -> R ja se pitäisi tarkalleen merkitä tuossa tutummassa notaatiossa f((x,y)).

A function (or map) f from a set A to a set B, written f: A -> B, is a subset of A x B with the properties

a) For each a \in A, there is some b \in B such that (a,b) \in f.
b) If (a,b) \in f and (a,c) \in f, then b=c.




Tässäkin funktio ja kuvaus samaistetaan, mutta käänteiskuvauksesta ei vaadita mitään.

petsku
Hmm. Joku saa korjata, jos ja kun olen väärässä mutta:
Jos funktio kuvaa arvon Y:stä Y:hyn, niin pitikös kuvauksen olla yksikäsitteinen?



Mitä tarkoitat yksikäsitteisyydellä? Yhden kuvauksen pitää olla siinä mielessä yksikäsitteinen, että sitä ei voi tulkita monella tavalla. Käytännössä tämä tarkoittaa, että funktion pitää olla hyvinmääritelty eli sen pitää olla funktion määritelmän mukainen. Kääntyvyydestä ei tarvi olettaa mitään. Esimerkissäsi f(1) = f(3) = 1 on sopiva funktion määritelmä, mutta maalijoukon alkiota "1" vastaa nyt kaksi lähtöjoukon alkiota eli kuvaus ei ole kääntyvä.

Kannattaa suomentaa itselleen samalla surjektio ja injektio, ehkä niiden kautta funktionkin määritelmä käy täsmällisemmin mieleen.

Uusimmat

Suosituimmat