Derivaatta pisteessä kun funktiota ei tunneta

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen jo jonkin aikaa yrittäyt pähkäillä kuinka ratkaista seuraava tehtävä pääsemättä puusta kovin pitkälle:

Funktio f on derivoituva pisteessä x=1 ja tiedetään, että f(1+h)/h=5 kun h->0. Tehtävänä on ratkaista f(1) ja f'(1).

Vinkkejä?

Kommentit (5)

L2K2
Seuraa 
Viestejä150
Liittynyt27.10.2006
dbqp
Olen jo jonkin aikaa yrittäyt pähkäillä kuinka ratkaista seuraava tehtävä pääsemättä puusta kovin pitkälle:

Funktio f on derivoituva pisteessä x=1 ja tiedetään, että f(1+h)/h=5 kun h->0. Tehtävänä on ratkaista f(1) ja f'(1).

Vinkkejä?




Hmm... en tiedä meneekö tämä nyt ihan oikein (ettei vaan ole koulutehtävä):

Rajalla h->0 f(1+h)/h=5 kuuluu reaalilukuihin => f(1)=f(1+h)=0.
Koska muuten f(1+h)/h -> ääretön, kun h->0.

Tutkitaan sarjaa {h} -> 0, kaikkille h pätee h != 0:
f(1+h)/h=5 <=> f(1+h)=5h

Derivoidaan puolittain:
D[f(1+h)]=D[5h]
f'(1+h)*D(1+h)=5
f'(1+h)=5, h->0
=> f'(1)=5

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
L2K2
dbqp
Olen jo jonkin aikaa yrittäyt pähkäillä kuinka ratkaista seuraava tehtävä pääsemättä puusta kovin pitkälle:

Funktio f on derivoituva pisteessä x=1 ja tiedetään, että f(1+h)/h=5 kun h->0. Tehtävänä on ratkaista f(1) ja f'(1).

Vinkkejä?




Hmm... en tiedä meneekö tämä nyt ihan oikein (ettei vaan ole koulutehtävä):

Rajalla h->0 f(1+h)/h=5 kuuluu reaalilukuihin => f(1)=f(1+h)=0.
Koska muuten f(1+h)/h -> ääretön, kun h->0.

Tutkitaan sarjaa {h} -> 0, kaikkille h pätee h != 0:
f(1+h)/h=5 <=> f(1+h)=5h

Derivoidaan puolittain:
D[f(1+h)]=D[5h]
f'(1+h)*D(1+h)=5
f'(1+h)=5, h->0
=> f'(1)=5


Alku menee suht hyvin, mutta tämä loppuosa on hieman kyseenalainen. Se on siis totta, että f(1) = 0, koska muuten raja-arvo olisi ääretön. Mutta nyt voidaankin kirjoittaa

lim f(1+h)/h = lim [f(1+h) - f(1)] / h = f'(1) = 5

koska tuo toinen lauseke on derivaatan määritelmä.

Vierailija

Juuri noin, derivaattahan siinä alkuarvoissa annettiin. Funktion f(x) tulee lähestyä nollaa kun x lähestyy 1 ja derivaatan piti olla 5 niin eikö f(x) = 5·(x-1)

Stratonovich
Seuraa 
Viestejä358
Liittynyt14.6.2009
korant
Juuri noin, derivaattahan siinä alkuarvoissa annettiin. Funktion f(x) tulee lähestyä nollaa kun x lähestyy 1 ja derivaatan piti olla 5 niin eikö f(x) = 5·(x-1)

Ei ihan, myös esimerkiksi seuraavat käyvät:

f(x) = sin(5x-5)
f(x) = tanh(5x-5)

tai mikä tahansa muu funktio, jolle f(1) = 0 ja f'(1) = 5.

Uusimmat

Suosituimmat