Miksi -*- = +

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten voidaan perustella, että kahden negatiivisen reaaliluvun tulo on positiivinen? Todistukseksi riittänee osoittaa, että (-1)*(-1) = +1.

Sivut

Kommentit (16)

Vierailija

Kaipaatko aksiomaattista todistusta vai riittääkö epätäsmällisempikin sepustus? Aksiomaattiseen todistukseen tarvitaan aputuloksena yhtäpitävyyttä

x * 0 = 0 kaikilla x.

Tämän jälkeen voidaan osoittaa, että

(-1)*x = -x kaikilla x.

Tuo nimenomainen väite nähdään todeksi huomaamalla, että

(-1)*(-1) = -(-1) = 1.

Tämä ei siis ollut todistus väitteelle vaan pelkkää päättelyketjun kuvailua. Varsinaista todistusta en halua tähän kirjoittaa, kun siitä tulisi pitkä. Lyhyehkö ja epämuodollisempi perustelu (tämä ei siis ole todistus) voisi olla vaikkapa tämmöinen:

(-1)*(-1) = (-1)*(-1) + (-1 + 1) = [(-1)*(-1) + (-1)*1] + 1 = (-1)*(-1 + 1) + 1 = (-1)*0 + 1 = 0 + 1 = 1

Vierailija

Jos menet vaikka pankkiin pyytämään lainaa ja pankinjohtaja sanoo, että kyllä kyllä, niin saat lainan (++=+). Mutta jos johtaja sanoo, että ei nyt kyllä, niin et saa lainaa (-+=-). Ja jos hän sanoo, että nyt kyllä ei, niin et saa lainaa (+-=-). Mutta jos epätoivoisena vielä kerran anot, ja johtaja sanoo, että tällä kertaa ei sanotakaan ei, niin saat lainan (--=+)

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
kurnimaha
Lyhyehkö ja epämuodollisempi perustelu (tämä ei siis ole todistus) voisi olla vaikkapa tämmöinen:

(-1)*(-1) = (-1)*(-1) + (-1 + 1) = [(-1)*(-1) + (-1)*1] + 1 = (-1)*(-1 + 1) + 1 = (-1)*0 + 1 = 0 + 1 = 1




Miksi tuo ei olisi käypä todistus? Ihan yleisiä kuntasääntöjä on käytetty, eikä mitään "erikoistapauksia".

Ainakin itsellä on matemaattisessa todistamisessa neuvottu lisäämään nollaa ja kertomaan ykkösellä ilman että mitään sääntöjä rikotaan. Ja yllä olevalla tavalla olen itsekin ymmärtänyt tuon jutun todistamisen.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
lotkapottilopotti
Voisiko olla näin:

(-1)x(-1)=1 |:(-1)
(-1)=(-1)
1=1


Tässä oletetaan todeksi se, mitä haluttiin todistaa. Syntyy kehäpäätelmä.

Cargo
kurnimaha
Lyhyehkö ja epämuodollisempi perustelu (tämä ei siis ole todistus) voisi olla vaikkapa tämmöinen:

(-1)*(-1) = (-1)*(-1) + (-1 + 1) = [(-1)*(-1) + (-1)*1] + 1 = (-1)*(-1 + 1) + 1 = (-1)*0 + 1 = 0 + 1 = 1




Miksi tuo ei olisi käypä todistus? Ihan yleisiä kuntasääntöjä on käytetty, eikä mitään "erikoistapauksia".

Ainakin itsellä on matemaattisessa todistamisessa neuvottu lisäämään nollaa ja kertomaan ykkösellä ilman että mitään sääntöjä rikotaan. Ja yllä olevalla tavalla olen itsekin ymmärtänyt tuon jutun todistamisen.


Hmm, ehkä käytin vähän turhan voimakasta ilmaisua. Kun sanoin, ettei tuo mielestäni ole todistus, tarkoitin sitä, ettei se ole aksiomaattinen todistus. Kunnan aksiomaattinen määritelmä ei sisällä väitettä

x*0 = 0 kaikilla x,

joten aksiomaattisessa todistuksessa sellaiseen tulokseen ei voi vedota (ellei sitä tarkasti ensin todista). Minusta aksiomaattiset todistukset ovat noin yleisesti aika pahoja, kun ei aina meinaa muistaa, mitä on luvallista tehdä. Helposti käykin niin, että vetoaa todistuksessa johonkin triviaaliin tulokseen (kuten tuohon nollalla kertomiseen tai vasta-alkion yksikäsitteisyyteen) ja päätyy kehäpäätelmiin.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Menisikö wikipedian aksioomilla näin:

Todistetaan ensin Lemma 1:

a*0 = 0 kaikilla a.

a + a*0
= a*1 + a*0 (A7)
= a(1+0) (A9)
= a*1 (A3)
= a (A7)

(A3) --> a*0 = 0.

Ja sitten itse väite yleisemmässä muodossa:

ab = (-a)(-b) kaikilla a,b:

ab
= (a + 0)(b + 0) (A3)
= (a + (b + -b))(b + (a + -a)) (A4)
= (-b + (a + b))(-a + (a + b)) (A1, A2)
= (-b + (a + b))(-a) + ((-b + (a + b))(a + b) (A9)
= (-a)(-b) + (-a)(a + b) + (-b)(a + b) + (a + b)(a + b) (A5, A9)
= (-a)(-b) + ((-a) + (-b) + (a + b))(a + b) (A9)
= (-a)(-b) + (a + (-a) + b + (-b))(a + b) (A1, A2)
= (-a)(-b) + (0 + 0)(a + b) (A4)
= (-a)(-b) + 0 (Lemma 1, A5)
= (-a)(-b) (A3).

EDIT: no pitäisi tietenkin vielä näyttää, että kun a>0, niin -a<0

We're all mad here.

Vierailija
abskissa
Todistetaan ensin Lemma 1:

a*0 = 0 kaikilla a.

a + a*0
= a*1 + a*0 (A7)
= a(1+0) (A9)
= a*1 (A3)
= a (A7)

(A3) --> a*0 = 0.




Hmm, tuossa viimeisessä implikaatiossa taidetaan vedota siihen, että nolla on yksikäsitteinen. Aksiooma A3 ei yksikäsitteisyyttä kuitenkaan sisällä. Tämmöistä todistusta ajattelin itse:

a*0
= a*0 + 0 (A3)
= a*0 + ( a + (-a) ) (A4)
= (a*0 + a) + (-a) (A2)
= (a*0 + a*1) + (-a) (A7)
= a*(0 + 1) + (-a) (A9)
= a*1 + (-a) (A3)
= a + (-a) (A7)
= 0 (A4)

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
kurnimaha

Hmm, tuossa viimeisessä implikaatiossa taidetaan vedota siihen, että nolla on yksikäsitteinen. Aksiooma A3 ei yksikäsitteisyyttä kuitenkaan sisällä.

Juu, totta.

We're all mad here.

Vierailija
kurnimaha
Aksiooma A3 ei yksikäsitteisyyttä kuitenkaan sisällä.



Jos meillä olisi kaksi nollaa 0_a ja 0_b, niin A3:n perusteella 0_a + 0_b = 0_a ja 0_b + 0_a = 0_b, ja koska A1:n mukaan 0_a + 0_b = 0_b + 0_a, niin 0_a = 0_b.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
Zeick
Miten voidaan perustella, että kahden negatiivisen reaaliluvun tulo on positiivinen? Todistukseksi riittänee osoittaa, että (-1)*(-1) = +1.



Negatiivisilla luvuilla lasketaan niin, että aikaisemmin sovitut laskulait pitävät paikkansa:
3*4 = 4+4+4
3*4 = 4*3
0*3 = 0
5*(6-3) = 5*6 - 5*3

Mitä on siis (-3)*(-4)?
3*(-4) =-4+(-4)+(-4) = -12, joten myös (-4)*3 = -12
(-3)*(-4) = (-3)(0-4) = (-3)*0 - (-3)*4 = 0- 4*(-3) = 0-(-12) =12

Tässä ei toki mitään uutta ollut, mutta ei-matemaatikollekin ehkä aika ymmärrettävää.
Samaan tapaanhan on sovittu monet muutkin laskulait.
Esim. a^(-3) = ???
a^7/a^4 = a^(7-4) = a^3
Jos a^4/a^7 lasketaan samoin, saad. a^(4-7)= a^(-3).
Toisaalta supistaen a^4/a^7 = 1/a^3, joten on järkevää määritellä (sopia), että a^(-3) = 1/a^3.

Vierailija
Zeick
Miten voidaan perustella, että kahden negatiivisen reaaliluvun tulo on positiivinen? Todistukseksi riittänee osoittaa, että (-1)*(-1) = +1.

Voi toi olla toisinkin päin:

[code:15j8jnzv]+ * + = -
+ * - = +
- * + = +
- * - = -[/code:15j8jnzv]

Sitten kompleksiolio i^2 oliskin +1. Miks noin on, tai käänteisesti, niin luonnonilmiöiden approksimointi onnistuu ainakin noilla alkeisoperaatiosäännöillä.

Ei kommutatiivinenkin tuntuisi toimivan käytännössä, esmes.:

[code:15j8jnzv]+ * + = +
+ * - = +
- * + = -
- * - = -[/code:15j8jnzv]
Toi algebra itsessään istuu sellaisen kuplan sisään, että on turha miettiä alkeisoperaatioita sen enempää. Luulisin ainakin niin.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Tuli mieleen toinenkin tapa, joka nyt tuskin on mitään uutta ja ihmeellistä mutta kuitenkin:

1 = 1
1 + -1 = 0 | *-1
-1 + -1*-1 = 0
-1*-1 = 1

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

L2K2
Seuraa 
Viestejä150
Liittynyt27.10.2006
Cargo
Tuli mieleen toinenkin tapa, joka nyt tuskin on mitään uutta ja ihmeellistä mutta kuitenkin:

1 = 1
1 + -1 = 0 | *-1
-1 + -1*-1 = 0
-1*-1 = 1



Tuo sisältää kätkettynä aika monta "oletusta" kuten 0*x=0 ja 0 yksikäsitteinen, sekä toki järjestysrelaation aksioomia (koska muutat yhtäsuuruuden molempia puolia).
Jos haluaa perustella tuon matemaatisesti on ketjussa esitetty siihen jo muutama muukin tapa. Toki tuo on "helpommin lähestyttävissä" tavan lukijalle.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
L2K2
Cargo
Tuli mieleen toinenkin tapa, joka nyt tuskin on mitään uutta ja ihmeellistä mutta kuitenkin:

1 = 1
1 + -1 = 0 | *-1
-1 + -1*-1 = 0
-1*-1 = 1



Tuo sisältää kätkettynä aika monta "oletusta" kuten 0*x=0 ja 0 yksikäsitteinen, sekä toki järjestysrelaation aksioomia (koska muutat yhtäsuuruuden molempia puolia).
Jos haluaa perustella tuon matemaatisesti on ketjussa esitetty siihen jo muutama muukin tapa. Toki tuo on "helpommin lähestyttävissä" tavan lukijalle.



0*x = 0 vois todistaa simppelimmin näin :

0*x + x = 0*x + 1*x = (0 + 1)*x = x | -x
0*x = 0

Noi kaksi laskua ovat niin helppoja, että miltei jokainen yläasteelainen jaksaa keskittyä todistamiseen.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat