Riemannin summan tapainen epäyhtälö

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten voidaan todistaa, että epäyhtälö
1/2+\sum_{k = 1}^{n - 1} sqrt(1 - k^2/n^2) > n pi/4-1/sqrt(8n) on voimassa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n? Vaikuttaa siltä, kuin neljännesympyrää integroitaessa otettaisiin Riemannin summa, mutta en tiedä, miten approksimaation tarkkuus voidaan osoittaa tarpeeksi pieneksi.

Kommentit (2)

Vierailija

Taylorin kaava kertoo likiarvon ja sen tarkkuuden, kappale 6.2:
http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/aj04l6.pdf

Totea kasvaako jompikumpi toista nopeammin jostain mahdollisimman pienestä n:stä alkaen.

Jos vasen puoli, niin totea että jokin m terminen (m>n) Taylorin polynomi vasemmasta puolesta on vähintään puolikkaan verran suurempi kuin oikea puoli.

Sitten pitää vielä todistaa, että myös kokonaisluvut ]0,m[ toteuttavat yhtälön, esim. sijoittamalla jos niitä on vain pari kappaletta.

Itse ajattelin mennä nukkumaan ja herätä madonsyönnin aikaan tekemään omia huomisia kotiläksyjäni, jotka eivät luojan kiitos ole matikkaa!

Vierailija

Hmm. Mihin funktioon kehitelmää sovelletaan? Taylorissahan tulee kertomia nimittäjään ja tuossa kaavassa niitä ei ole. Ja lisäksi neliöjuuren derivaatassa neliöjuuri menee nimittäjään. En ihan hahmota, miten todistetaan, että on olemassa kokonaisluku m, jolle epäyhtälö on voimassa kaikilla n>m.

Uusimmat

Suosituimmat