Hypotenuusa paradoksi?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ajatellaan että on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat 10 metriä. Niitä pitkin on siis 20 metriä matkaa kauimmaisten kulmien välillä. Jos kuljetaan siten että 1 metrin välein käännytään 90 astetta (aproksimoidaan hypotenuusaa), niin matka on sama 20 metriä. Kun suorien pätkien pituus lähenee nollaa, niin lopulta kuljetaan hypotenuusaa pitkin, mutta matkaa on silti sama 20 metriä.

Onko tässä ristiriita hypotenuusan pituuden kansa?

Sivut

Kommentit (41)

Vierailija

Muistikolmion klassinen tapaus :

Kun kateetit ovat 1 ja 1 niin hypotenuusa on sqrt(2).

Eli jos kateetit ovat 10m niin hypotenuusa on 14.142m

Eli ajattelusi ei pidä paikkaansa...vaikka miten aproksimoit.

Hypotenuusa on aina 1.414 * kateetti (kyseisessä kolmiossa).

Vierailija

Mutta pitämällä kulma samana (eli liikutaan vain pääilmansuuntiin) se raja-arvo on tosiaan 20 m? Vaikka murtoviiva aproksimoi pistetasolla (äärettömän tarkasti) hypotenuusaa?

Vierailija
msdos464
Mutta pitämällä kulma samana (eli liikutaan vain pääilmansuuntiin) se raja-arvo on tosiaan 20 m? Vaikka murtoviiva aproksimoi pistetasolla (äärettömän tarkasti) hypotenuusaa?

No eipä se ole kyllä hypotenuusakaan enää vaan joukko viivoja jos siksakkia kuljetaan.

se raja-arvo on tosiaan 20 m
Ei ole vaan sqrt(2)

Marssilainen
Seuraa 
Viestejä3337
Liittynyt29.3.2005

Jos sellaista vinkkeliviivaa vetää, niin se on aivan sama kuinka tiheää vinkkeliä piirtää. Suora oikoo ne kantit läpi jokatapauksessa. Jos mennään oikein mahottoman tiheillä käännöksillä, että kaukaa katsottuna viiva näyttää suoralta, niin lähemmäksi zoomaamalla kuitenki nähdään, että läpi vedetty oikeasti suora vain oikasee ihan samassa suhteessa. En tiedä onko maailmankaikkeudessa olemassa jotakin maksimiresoluutiota siellä Blankin mittojen tietämissä, mutta normaalissa tilanteissa kyse on vain mittakaavasta.

Siinä se taas nähtiin, kuinka vilunki rehellistä huiputtaa...

Vierailija

Tosin, jos kysymys koskee sitä että VOIKO sellaisen siksakin piirtää että siksak-viivojen yhteenlaskettu pituus on sama kuin kateettien yhteenlaskettu pituus niin vastaus on luonnollisesti että tottakai voi.

Vierailija
msdos464
Ajatellaan että on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat 10 metriä. Niitä pitkin on siis 20 metriä matkaa kauimmaisten kulmien välillä. Jos kuljetaan siten että 1 metrin välein käännytään 90 astetta (aproksimoidaan hypotenuusaa), niin matka on sama 20 metriä. Kun suorien pätkien pituus lähenee nollaa, niin lopulta kuljetaan hypotenuusaa pitkin, mutta matkaa on silti sama 20 metriä.

Onko tässä ristiriita hypotenuusan pituuden kansa?



Vaikka pätkien pituus lähenee nollaa, ei silti koskaan tuolla tavalla kuljeta hypotenuusaa pisin. Vaan sen yli kuljetaan useampi kerta näiden pätkien pituuksien lähentyessä nollaa.

Vierailija

Eli vaikka tuo d menisikin nollaan, niin siinä ei kuitenkaan kuljeta sitä hypotenuusaa pitkin, koska ei liikuta sen suuntaisesti? No, sehän on vain määrittelykysymys. Sillä päästään sitten tästä näennäisestä paradoksista eroon.

Hannu Tanskanen
Seuraa 
Viestejä8848
Liittynyt26.3.2009

Niin, manifestoituisiko tässä tämä kuuluisa Fermatin yhtälö, jonka todistamiseen matemaatikoilta meni 400 vuotta, kunnes brittimatemaatikko Andrew Wiles sen viimein 1980-luvulla osoitti
paikkansapitäväksi, eli tuo sama Pythagoras:

x^2 + y^2 = z^2 , toteutuu vain, kun eksponentti on ^2

Vierailija
msdos464
Ajatellaan että on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat 10 metriä. Niitä pitkin on siis 20 metriä matkaa kauimmaisten kulmien välillä. Jos kuljetaan siten että 1 metrin välein käännytään 90 astetta (aproksimoidaan hypotenuusaa), niin matka on sama 20 metriä. Kun suorien pätkien pituus lähenee nollaa, niin lopulta kuljetaan hypotenuusaa pitkin, mutta matkaa on silti sama 20 metriä.

Onko tässä ristiriita hypotenuusan pituuden kansa?




Olkoon kateettien pituus a. Jaetaan matka n osaan.

Tällöin matka on (a/n+a/n)*n, koska sehän kuljetaan n kertaa.

Nyt jos n->inf, saadaan

lim(n->inf) ((a/n+a/n)*n)=lim(n->inf)(2a/n*n)=lim(n->)(2a)=2a

ja hypotenuusahan on sqrt(2a^2)=sqrt(2)*a

Siis ei ristiriitaa.

Vierailija
calculator
Olkoon kateettien pituus a. Jaetaan matka n osaan.

Tällöin matka on (a/n+a/n)*n, koska sehän kuljetaan n kertaa.

Nyt jos n->inf, saadaan

lim(n->inf) ((a/n+a/n)*n)=lim(n->inf)(2a/n*n)=lim(n->)(2a)=2a

ja hypotenuusahan on sqrt(2a^2)=sqrt(2)*a

Siis ei ristiriitaa.




Luulin siitä syntyvän ristiriidan, kun tuolle matkalle saadaan eri pituus vaikka kuljetaa samaa reittiä. Kysymys kulminoituukin siihen että vaikka d -> 0, niin onko kyseessä sama reitti vai ei.

Remonttimies
Seuraa 
Viestejä477
Liittynyt9.7.2008
Hannu Tanskanen
Niin, manifestoituisiko tässä tämä kuuluisa Fermatin yhtälö, jonka todistamiseen matemaatikoilta meni 400 vuotta, kunnes brittimatemaatikko Andrew Wiles sen viimein 1980-luvulla osoitti
paikkansapitäväksi, eli tuo sama Pythagoras:

x^2 + y^2 = z^2 , toteutuu vain, kun eksponentti on ^2




Jaahas, Wilesin poika on ilmeisti ottanut oppia ilmastotieteilijöiltä?

1^3+2^3=(9^(1/3))^3
1^3+1^3=(2^(1/3))^3
jne...

No huuli huulena. Fermat'n ns. suuri lause käsittelee tapausta joissa x,y,z oletetaan olevan luonnollisia lukuja ja tämän "potenssin" oletetaan olevan myös luonnollinen luku. Kun taas Pythagoras ei ole niin nirso noiden x,y,z arvojen kanssa, saavat olla ihan luvan kanssa esim. reaalilukuja. Pythgoras sen sijaan päätti nipottaa potenssista ja vain 2 on sallittu siellä. (Ja kolmioiden kanssa Fermat'n suurella lauseella on hyvin vähän tekemistä, paitsi silloin kuin potenssi on 2.)

Marssilainen
Seuraa 
Viestejä3337
Liittynyt29.3.2005

Sitten se ei oikein ole alkuperäisen kysymyksen mukainen. Voiko se olla koskaan nolla, jos kysymyksessä kuljetaan jokin matka? Nollahan on sama kuin ei piirrettäisi viivaa ollenkaan. Silloin siinä olisi pelkkä piste. Kaksi viivaa ja piste, eikä kolmiota ollenkaan. Tai siis eihän se ole muutenkaan kolmio, koska siinä on enemmän kulmia, kuin kolmiossa, mutta ymmärtänette.

Siinä se taas nähtiin, kuinka vilunki rehellistä huiputtaa...

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Eihän ole mikään ongelma löytää käyrää (tai murtoviivaa), joka kulkee lähellä (alle d:n päässä) määrättyä janaa, mutta jonka pituus ei siltikään ole lähellä janan pituutta (pituus > janan pituus + vakio). Vetämällä riittävän tiukkaa siksakkia saadaan vaikka kuinka pitkä murtoviiva alle d:n päähän janasta.

We're all mad here.

Vierailija

Kun sitä väliä pienennetään niin yhden siksakin aikana kuljettu ylimääräinen matka lähestyy nollaa, mutta vastaavasti tehtyjen siksakkien määrä lähestyy ääretöntä. Lopputuloksena 20m. Se että se kaukaa näyttää hypotenuusalta ei tarkoita näköjäänkään että se olisi siltikään hyvä aproksimaatio sille.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat