Kuinkas tällaisen kappaleen tilavuus lasketaan

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Okei, eli ois kappale jonka pohja on xy-tasossa oleva neliö, mutta toisenpään kulmien z-koordinaatit vaihtelevat, eli se ei ole tasainen "suorakaidepalikka". Milläs kaavalla tällaisen tilavuus lasketaan jos nuo koordinaatit tunnetaan.

Numeerista 2d-integraalia ohjelmoin ja pelkkien tasaisten palikoiden summaaminen antoi aika epätarkkaa tulosta aika hitaasti niin ajattelin että saisko tuolla nopeammin parempaa tarkkuutta. Eli siis tavallaan yksiulotteisen integraalin puolisuunnikassäännön laajentaminen olisi kyseessä.

Yritin integroida tuolle kappaleelle kaavaa mutta meni vain aivot solmuun kaikkien koordinaattien kanssa.

Sivut

Kommentit (56)

Vierailija

Kappale jaetaan sopiviin osiin ja lasketaan niiden tilavuus. Tilavuudet lasketaan yhteen.

Koska korkeudet vaihtelee niin jokaisen kyljen muodostaa siis kolmio + neliö....

Kolmiulotteisena palikka koostuu siis kuutiosta ja kiiloista.

Ei tuossa mitään integraalia tarvita.

kuningas
Seuraa 
Viestejä1246
Liittynyt10.12.2007

jos ne z-koordinaatit vaihtelevat siten, että yläreunakin on taso, eli jos yläpinnasta ei tule kaarevaa pintaa, voit käyttää z-koordinaattien keskiarvoa korkeutena.

War doesn't determine who's right but who's left.

There is no such thing as an atheist in a foxhole.

Vierailija
kuningas
jos ne z-koordinaatit vaihtelevat siten, että yläreunakin on taso, eli jos yläpinnasta ei tule kaarevaa pintaa, voit käyttää z-koordinaattien keskiarvoa korkeutena.

Helpompi on täydentää se kaltevan ylätason määräämä kuvio "kuutioksi" ja jakaa tilavuus kahdella...tulee ainakin oikea vastaus.

Vierailija

Hmm.. No sen alimman pisteen kohdalta voi toki leikata poikki jolloin alapuolelle jää tasainen palkki ja yläpuolelle... öh.. jonkinlainen hassu kappale, eli kiila kuten sanoit. Tahtoo 3d ajattelu loppua nyt kesken.

Tossa siis kuva siitä.
http://s469.photobucket.com/albums/rr51 ... palkki.jpg

Milläs ihmeellä ton kiilan tilavuuden laskee? Vai vieläkö sekin pitää jakaa useampiin osiin?

Toisekseen se lopullinen kaava pitäisi varmaankin olla suht yksinkertainen jotta se oikeasti nopeuttaisi ohjelmaa eikä hidastaisi entisestään (+ että osaisin toteuttaa sen..).

Edit:
Joo, olittekin jo vastailleet. Ehkä ton yläkappaleen jotenkin sais osiin jotka on puolikkaita kuutioita, mutta tuo keskiarvo-idea olisi toki paljon helpompi jos se toimii.

Edit2: teenpä aluksi niin että lisään tuon keskiarvometodin ohjelmaan ja katson mitä käy tulosten tarkkuudelle.

Vierailija
Joo, olittekin jo vastailleet. Ehkä ton yläkappaleen jotenkin sais osiin jotka on puolikkaita kuutioita, mutta tuo keskiarvo-idea olisi toki paljon helpompi jos se toimii.
Ei todellakaan ole helpompi tuo keskiarvo.

Siis tuo yläkappale täydennetään niin että saat siitä "kuution".

Sivu * sivu * sivu = tilavuus ---> jaat tilavuuden kahdella ja lisäät "alakuution" tilavuuden ---> tehtävä valmis (laskentatapa on ainoa oikea)

Vierailija

En tajua.. Onko kaksi noista sivuista nyt siis mitoiltaan samat kuin siellä koko homman pohjalla? Eli vaikka dx ja dy? Sen vielä ymmärtäisin, mutta mitenkäs se kolmas sivu? Sillehän on kolme eri korkeutta... Jos nuo kuvassa vasemmalla ja oikealla ylhäällä olevat pisteet olisivat samassa tasossa kuin sen kiilan alin piste (ja se taso siis xy-tason suunnassa) niin sitten tuosta tulisi sellainen yksinkertainen kiila jonka tilavuus taitaisi olla kiilan korkeus kertaa pohjan ala, mutta nyt kun kaikki pisteet ovat eri korkeuksilla niin en kyllä ihan ymmärrä mitä tarkoitat.

Pahoittelut sekavasta tekstistä.

EDIT: On tuo keskiarvoinen korkeus nähtävästi ainakin parempi kuin ei mitään. Sellainen 2-3 merkitsevää numeroa osuu oikein suht nopeassa ajassa. Ja kyseessä ei oo kuitenkaan sen vakavampi asia kuin yhden ohjelmointikurssin lopputyö niin en usko että mikään jää tästä kiinni. Mutta lueskelen kyllä edelleen tätä sivua jos jotain kirjoittelette.

Vierailija

Jos "irrotat" tuon yläkappaleen ja pistät pöydälle niin yksi kulma on pöydän tasossa eli korkeus nolla. Sitten katsot mikä kulma on korkeimmalla ja piirrät siitä kulmasta pöydän pinnan suuntaisen tason. Kaksi kulmaa on siis käsitelty eli nollakorkeus ja max-korkeus.

Kaksi muuta kulmaa törmäävät piirtämääsi tasoon jos jatkat niitä.

Olet täydentänyt kuvion (kappaleen) "kuutioksi". Tämän kuution tilavuus on kantti*kantti*kantti joten tilavuus pitää jakaa kahdella niin saat alkuperäisen kuvion tilavuuden.

(selvenikö ?)

Idea siis tällainen mutta toteutus hiukan eri (koska kuvissa ratkaistaan pyramidia) :

Vierailija
KBolt
Kaksi muuta kulmaa törmäävät piirtämääsi tasoon jos jatkat niitä.

Öh... Kuinka kulmaa jatketaan? Nostetaanko siis sitä vain suoraan ylöspäin (ei, ei voi mennä näin) vai minkä janan suunnassa sitä liikutetaan?

Vierailija

Itse asiassa voit "unohtaa" niiden jatkamisen. xy-tason neliö on myös tuon yläkappaleen "pohja" (kuten myös kansi) ja korkeus on tuon "pöydälle" laittamasi kappaleen suurin korkeus.

Lasket vain : XY-neliön pinta-ala * "suurin korkeus" ---> jaat tuloksen kahdella ---> yläkappaleen tilavuus on selvillä.

Nostetaanko siis sitä vain suoraan ylöspäin
Kyllä, siihen piirtämääsi aputasoon asti jolloin kappaleesta tulee "kuutio". Kuten sanoin, tätä ei tarvitse tehdä kun tiedossa on xy-neliön pinta-ala ja yläkappaleen suurin korkeus.

Vierailija

No nyt ymmärrän kuinka laskea, mutta en käsitä miten se voisi toimia. Jos lasketaan vain suurin korkeus niin silloinhan niiden kahden muun pisteen korkeudet eivät vaikuta tulokseen. Ei se näin voi mennä! Täytyyhän niiden vaikuttaa tilavuuteen.

Jos niitä kulmia nostaa ylöspäin niin sen kappaleen tilavuus kasvaa.

Vierailija
Joza
No nyt ymmärrän kuinka laskea, mutta en käsitä miten se voisi toimia. Jos lasketaan vain suurin korkeus niin silloinhan niiden kahden muun pisteen korkeudet eivät vaikuta tulokseen. Ei se näin voi mennä! Täytyyhän niiden vaikuttaa tilavuuteen.

No ei vaikuta. Minähän sanoin että laske sen KUUTION tilavuus ja jaa kahdella.

Sivutahkojen muoto ei vaikuta tilavuuteen koska lasket KAKSI KERTAA suuremman kappaleen mitoilla ja kappaleet ovat samanmuotoisia.

Sinulla on siinä kuutiossa mukana sekä PIENIN (nolla siis) että SUURIN korkeus...

Kokeile ja vertaa johonkin jo laskettuun. Menetelmä on taatusti oikein.

Vierailija

Anteeksi vaan, mutta en kyllä sulata tätä. Koitin tuon piirtämälläkin. Jos ne kaksi "ylimääräistä" kulmaa laskee esimerkiksi alempaan xy-tasoon on sen kiilan tilavuus selkeästi alle 1/2 kuutiota. Jos taas ne nostaa ylempään xy-tasoon on tilavuus selkeästi yli 1/2 kuutiota. Ei ole mitenkään mahdollista etteikö niiden korkeus vaikkuttaisi tilavuuteen.

EDIT: kuvat
http://s469.photobucket.com/albums/rr51 ... likka1.jpg
http://s469.photobucket.com/albums/rr51 ... likka2.jpg

Ei kyllä näytä samalta tilavuudelta...

Noh, ilmeisesti jotenkin onnistutaan puhumaan eri asioista..

Vierailija

Jaa pohja lävistäjällä kahtia jolloin saat kaksi särmiötä, joilla on suorakulmainen kolmio pahjana. Nyt voit laskea molempien särmiöiden tilavuuden kaavalla pohjan ala x keskikorkeus, ja keskikorkeus on siis kolmen z koordinaatin keskiarvo. (Pohjan z = 0)

Vierailija
korant
Jaa pohja lävistäjällä kahtia jolloin saat kaksi särmiötä, joilla on suorakulmainen kolmio pahjana. Nyt voit laskea molempien särmiöiden tilavuuden kaavalla pohjan ala x keskikorkeus, ja keskikorkeus on siis kolmen z koordinaatin keskiarvo. (Pohjan z = 0)

Ja höpöhöpö noiden keskiarvojen kanssa

Piirrä tällä tavalla..(piiloviivoja ei ole piirretty) :

Siinä näkyy kuutioksi täydennetty yläosa ja alkuperäisen kappaleen (siis yläosan) tilavuus on puolet tuon kuution tilavuudesta.

Aivan sama vaikka kappaleen "reunat" olisivat paraabelin kaaria tms.
Saat aina oikean tuloksen kun täydennät kappaleen kuutioksi ja jaat kahdella.

..keskiarvo...

Jos vielä tahdot tarkemman kuvan niin voin senkin piirtää mutta kyllä tuosta pitäisi jo oivaltaa...

P.S. Piirros on siis SUUNTAA antava..eli KAKSI samanlaista katkaistua suorakulmiota (yläosaa) pitää olla päällekkäin (tuossa kuvassa on yksi virhe mutta en jaksa korjata).

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat